606КБ, pdf - Нижегородский государственный университет

Математика в высшем образовании
2005
№3
СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ
УДК 51(07)
ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ
Р. Г. Рахманкулов
Нижегородский государственный педагогический университет,
Россия, 603005, г. Нижний Новгород, пл. Минина, 1; тел.: (8312) 363712
Рассматривается схема исследования и построения графика итерации и композиции функций. Изучается связь свойств композиции и составляющих функций. Приведены примеры и контрпримеры. Материал может быть использован
на практических занятиях по математическому анализу.
Ключевые слова: композиция функций, итерация, график функции.
Пусть функция h определена на некотором множестве¡ D ⊂¢ R и задана в
виде композиции двух функций f и g, то есть h(x) = g f (x) при каждом
x ∈ D. В работе на ряде примеров показано, как могут быть использованы
свойства составляющих функций f и g при построении графика их композиции h. Рассматривается вопрос построения уравнений асимптот сложной
функции по уравнениям асимптот составляющих функций. Приводится также схема исследования и построения графика композиции двух функций.
Естественно, что при этом мы касаемся вопроса построения графика итерации функции.
Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве D ⊂ R и
отображает это множество D в себя. Тогда для любой точки x0 ∈ D её последующая x1 = f (x0 ) также принадлежит области определения функции f
и, следовательно, существует вторая последующая x2 = f (x1 ). Поэтому на
множестве D определена функция h = f ◦ f , называемая второй итерацией
¡
¢
функции f . Значение h(x) в точке x ∈ D задается равенством h(x) = f f (x) .
Итерационная степень f n с показателем n функции f для произвольно заданного натурального n определяется рекуррентным соотношением f k+1 = f ◦f k
(k = 1, 2, . . .), где f 1 = f . В дальнейшем рассматриваются итерации только
таких функций, для которых существует итерационная степень с натуральным показателем.
В работе [1] на ряде примеров было показано, как могут быть использованы свойства функции при построении графика её итерации, приведена схема
исследования и построения графика итерации заданной функции, а также
на контрпримерах проверено, что итерация f n может обладать определенным свойством, отсутствующим у исходной функции f . Например, вторая
итерация функции общего вида (в смысле периодичности или симметричности) может оказаться периодической или симметричной.
Настоящая работа построена следующим образом. В первом параграфе
рассмотрены примеры исследования второй итерации функции и композиции двух функций. При этом рассмотрены те свойства, которые обычно
75
Р. Г. Рахманкулов
включаются в схему исследования и построения графика функции. На примерах проиллюстрировано применение того или иного свойства составляющей
функции f или g при исследовании композиции h.
Приведенные примеры, контрпримеры и задания можно использовать на
практических занятиях по математическому анализу.
Следующий параграф посвящен построению уравнений асимптот композиции функций.
В последнем третьем параграфе приводится схема исследования композиции, указывается связь направлений выпуклости графиков составляющих
функций и их композиции.
В заключительной части работы приведены упражнения.
Заметим, что в работе исследуется, как правило, лишь композиция двух
функций. В то же время многие из полученных результатов очевидным образом переносятся на случай композиции трех и большего числа функций.
Затронутые в работе вопросы (например, исследование и построение графика итерации функции или композиции двух функций) могут быть включены
в тематику курсовых и выпускных работ студентов педагогических вузов.
§1. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ
Пример 1.1. Возьмем элементарную функцию f (x) = sin x и построим
график второй итерации h(x) = sin(sin x). Свойства исходной функции sin x
хорошо известны: она определена и непрерывна на R, периодична с периодом
T = 2π, нечетна, выпукла вверх на промежутке [0, π], строго возрастает на
отрезке [0, π/2] и строго убывает на отрезке [π/2, π] (рис. 1). Ясно, что итерация f n при каждом n ∈ N непрерывна на R как композиция непрерывных
функций. Из периодичности исходной функции f следует периодичность, а
из нечетности — нечетность её итерации f n . В
и
³ частности,
´ периодичность
³
´
нечетность её второй итерации: h(x + T ) = f f (x + T ) = f f (x) = h(x)
³
´
³
´
³
´
и h(−x) = f f (−x) = f − f (x) = −f f (x) = −h(x). Поэтому достаточно построить график итерации на отрезке [0; π]. На [0, π/2] вторая
итерация строго возрастает как композиция строго возрастающих функций:
сужения функции f на отрезке [0, π/2] и сужения функции f на множестве
f [0, π/2] = [0, 1] ⊂ [0, π/2]. Из аналогичных соображений вытекает, что h(x)
строго убывает на [π/2, π] как композиция строго убывающей и строго возрастающей функций. Отсюда следует, что x = π/2 остается точкой максимума второй итерации на [0, π]. При этом h(π/2) = sin(sin π/2) = sin 1 ∼
= 0,84.
Исходная функция sin x строго выпукла вверх на [0, π]. Тогда она строго выпукла вверх также на промежутке f ([0, π]), так как f ([0, π]) = [0, 1] ⊂ [0, π].
При этом f строго возрастает на интервале [0, π]. Отсюда вытекает, что и
вторая итерация на интервале [0, π] строго выпукла вверх [2]. При этом из
представления производной второго порядка второй итерации
´
³
´³
´2
³
´
d2 ³
00
0
0
f
f
(x)
=
f
f
(x)
f
(x)
+
f
f
(x)
f 00 (x)
dx2
76
(1.1)
2005
Математика в высшем образовании
№3
следует, что h00 (x) < 0 при всех x ∈ [0, π]. Проведем дополнительное исследование, чтобы определить взаимное расположение кривых f и h. Если
x ∈ (0, π/2], то 0 < sin x < x и, следовательно, 0 < sin(sin x) < sin x < x,
так как f строго возрастает на (0, π/2] и sin x ∈ (0, π/2]. График каждой
π
из функций f и h симметричен относительно вертикальной прямой x = .
2
³π
´
³π
´
³π
´
³π
´
Действительно, sin
− x = sin
+x и h
−x = h
+ x . Теперь
2
2
2
2
нетрудно построить график функции h(x) = sin(sin x) (рис. 1).
Рис. 1. Графики функций sin x и sin(sin x)
Пример
1.2. Обратимся
к функции sin(cos x). Из равенства sin(cos x) =
³
´
= sin sin(x + π/2) следует, что график композиции sin(cos x) получается из
графика второй итерации функции sin x с помощью параллельного переноса
вдоль оси абсцисс на π/2.
Задание 1.1. Проведите исследование и постройте график: а) третьей итерации функции sin x; б) n-й итерации функции sin x; в) второй итерации
функции cos x; г) композиции cos(sin x).
Замечание 1.1. Достаточным условием непрерывности второй итерации
является непрерывность исходной функции. Является ли это условие необходимым? Приведем контрпример.
Контрпример 1.1. Возьмем функцию f , заданную на R равенством

 1 x 6= 0;
x
f (x) =
(1.2)

0, x = 0.
Эта
имеет точку разрыва x = 0. В то же время вторая итерация
³ функция
´
f f (x) = x непрерывна на всей прямой R. При этом функция y = x может
быть представлена как вторая итерация непрерывной функции ϕ(x), например, если ϕ(x) = −kx при x ≥ 0 и ϕ(x) = −x/k для x < 0 (k > 1).
Возникает следующий вопрос: Верно ли, что каждая непрерывная функция представима в виде второй итерации некоторой функции?
Задание 1.2. Докажите, что определенная на R элементарная функция
ψ(x) = ax (0 < a < e−e ) не является второй итерацией никакой функции.
77
Р. Г. Рахманкулов
Другими словами, нужно проверить, что при 0 < a < e−e функциональное
уравнение
³
´
f f (x) = ax (x ∈ R)
(1.3)
не имеет ни одного решения. (Указание: функция ψ(x) имеет лишь три периодические точки x∗ , a1 и a2 , из которых первая является неподвижной точкой:
ψ(x∗ ) = x∗ , а две другие a1 и a2 , где a1 6= a2 , образуют цикл второго порядка:
ψ(a1 ) = a2 и ψ(a2 ) = a1 [3].)
Заметим, что функция ϕ, введенная в контрпримере 1 и зависящая от
параметра k, не является нечетной, но ³
её вторая
´ итерация нечетна. Отметим
еще один момент. Вторая итерация f f (x) функции (1.2) имеет наклон³
´
ную асимптоту y = x, совпадающую с f f (x) , но у исходной функции (1.2)
нет наклонной асимптоты, отличной от горизонтальной (функция (1.2) имеет
вертикальную и горизонтальную асимптоты x = 0 и y = 0). Здесь горизонтальная и вертикальная асимптоты “переходят” при итерировании в одну
наклонную асимптоту.
Перейдем к следующему примеру.
Пример 1.3. Рассмотрим вторую итерацию h(x) = ch(ch x) элементарной
функции f (x) = ch x. Как известно, ch x = (ex + e−x )/2 ≥ 1. Из четности
функции ch x следует³четность
итерации,
в частности, четность второй
´ её ³
´
итерации: h(−x) = f f (−x) = f f (x) = h(x). На промежутке [0, +∞)
функция ch x строго возрастает. При этом ch 0 = 1 и
lim ch x = +∞.
x→+∞
(1.4)
Поэтому из непрерывности и четности функции f (x) = ch x вытекает, что
f (R) = [1, +∞). Вторая итерация строго возрастает на [0, +∞) и строго убывает на (−∞, 0]. Из того, что f строго выпукла вниз на R и строго возрастает
на множестве значений E(f ) = [1, +∞), получаем, что вторая итерация g также строго выпукла вниз на R [2]. Здесь из представления (1.1) вытекает, что
g 00 (x) > 0 при всех x ∈ R. Функция ch x определена и непрерывна на всей
прямой. Поэтому её итерация не имеет вертикальной асимптоты. Из (1.4) и
следующего равенства
lim
x→+∞
´
 ³

f
f
(x)
f
(x)
h(x)
 = +∞
= lim 
·
x→+∞
x
f (x)
x
(1.5)
получаем, что у второй итерации нет ни одной горизонтальной или наклонной асимптоты. Следовательно, h(x) не имеет ни одной асимптоты. График
функции h пересекает ось ординат в точке y = ch 1 (ch 1 ∼
= 1,5). Из неравенств
ch x ≥ 1 + x2 /2 > x следует, что ch x не имеет ни одной неподвижной точки.
Если x > 0, то ch(ch x) > ch x, так как ch x > x и ch x строго возрастает на
[0, +∞). Теперь легко изобразить графики функций ch x и ch(ch x) (рис. 2).
78
2005
Математика в высшем образовании
№3
Рис. 2. Графики функций ch x и ch (ch x)
Контрпример 1.2. Пусть f (x) = sin |x|, x ∈ R. Эта функция не является периодической. Действительно, допустим противное. Пусть существует
период T > 0. Тогда для каждого x > 0 должно выполняться равенство
sin(x + T ) − sin x = 0. Отсюда следует, что T = 2πk при некотором натуральном k. Однако 2πk, где k ∈ N , не может быть периодом, так как равенство
sin |x + 2πk| = sin |x| не выполняется
для
x = −π/2 (рис. 3). С другой сторо¯
¯
¯
¯
ны, вторая итерация g(x) = sin ¯ sin |x|¯ является периодической с периодом π
(рис. 4). Известно, что наименьший положительный период каждой из функций cos x и sin x равен 2π. В то же время наименьший положительный период
итерации cos(cos x) и композиции cos(sin x) вдвое меньше, то есть равен π.
Рис. 3. График функции sin |x|
¯
¯
¯
¯
Рис. 4. График функции sin ¯ sin |x|¯
79
Р. Г. Рахманкулов
Вернемся к примеру 1.2. Вторая итерация h(x) = ch(ch x) непериодической функции ch x не является периодической, так как h(x) строго возрастает
на бесконечном промежутке переменной x, например, на [0, +∞).
Задание 1.3. Постройте график: а) второй итерации функций sh x и −sh x;
б) композиций sh(ch x) и ch(sh x); в) композиций ch(cos x) и cos(ch x).
В [1] приведены примеры исследования второй итерации функции: а) параметрически заданной (циклоиды); б) заданной интегралом с переменным
Zx
1
2
верхним пределом (функции Лапласа f (x) = √
e−t /2 dt). Рассмотрена
2π
0
также итерация функции xx .
§2. АСИМПТОТЫ
В работе [1] рассмотрена задача построения уравнений вертикальных,
горизонтальных и наклонных асимптот итерации f 2 = f ◦ f по известным
уравнениям асимптот исходной функции f . В настоящем параграфе мы рассмотрим ³задачу
´ построения уравнения наклонной асимптоты композиции
h(x) = g f (x) в случае, когда известны уравнения наклонных асимптот
составляющих функций f и g.
Нетрудно доказать следующие две леммы.
Лемма 2.1. Пусть существует конечный предел
lim
x→−∞
f (x)
= k1 .
x
(2.1)
Тогда, если k1 > 0 (k1 < 0), то f (x) → −∞ при x → −∞ (f (x) → +∞
при x → −∞).
Лемма 2.2. Пусть существует конечный предел
lim
x→+∞
f (x)
= k2 .
x
(2.2)
Тогда, если k2 > 0 (k2 < 0), то f (x) → +∞ при x → +∞ (f (x) → −∞)
при x →³ +∞).
´ Обратимся к пределу вида (2.1) относительно композиции
h(x) = g f (x) .
Лемма 2.3. Пусть для внутренней функции f существует конечный
предел (2.1), а для внешней функции g существует предел вида (2.2), то
есть
g(x)
lim
= k2 .
(2.3)
x→+∞ x
³
´
g f (x)
Если k1 < 0 и k2 > 0, то lim
= k2 k1 .
x→−∞
x
80
Математика в высшем образовании
2005
№3
Доказательство. Из лемм 2.1 и 2.2 вытекает, что f (x) → +∞ при
¡
¢
x → −∞, а g(x) → +∞ при x → +∞. Отсюда получаем: g f (x) → +∞,
если x → −∞. Тогда
" ¡
#
¡
¢
¢
¡
¢
g f (x) f (x)
g f (x)
g f (x)
f (x)
lim
= lim
·
= lim
· lim
= k2 k1 .
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x
x
x
x
x
Лемма 2.3 доказана.
Лемма 2.4. Пусть наряду с пределами (2.1) и (2.3), где k1 < 0 и k2 > 0,
существуют также следующие конечные пределы:
lim (f (x) − k1 x) = b1 ,
x→−∞
Тогда lim
x→−∞
lim (g(x) − k2 x) = b2 .
x→−∞
(2.4)
¡ ¡
¢
¢
g f (x) − k2 k1 x = b2 + k2 b1 .
Доказательство. Из лемм 2.1, 2.2 и условий (2.3) и (2.4) следует цепочка
равенств
¡ ¡
¢
¢
£ ¡
¢
¤
lim g f (x) − k2 k1 x = lim g f (x) − k2 f (x) + k2 f (x) − k2 k1 x =
x→−∞
x→−∞
¡
¢
¡
¢
= lim g(t) − k2 t + k2 lim f (x) − k1 x = b2 + k2 b1 ,
t→+∞
x→−∞
где t = f (x). Лемма 2.4 доказана.
Из последних двух лемм непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть прямая L1 (x) = k1 x + b1 , где k1 < 0, является
асимптотой при x → −∞ функции f (x), а прямая L2 (x) = k2 x + b2 для
некоторого ³k2 > 0´ — асимптотой при x → +∞ функции g(x). Тогда композиция L2 L1 (x) = k2 k1 x + k2 b1 + b2 является асимптотой композиции
³
´
g f (x) при x → −∞.
Аналогичное утверждение справедливо при условии, что L1 является
асимптотой функции f при x → +∞, а L2 — асимптотой функции g при
x → −∞.
Возможен также случай, когда окрестности бесконечно удаленных точек −∞ и +∞ отображаются друг в друга, например, lim f (x) = +∞ и
x→−∞
lim g(x) = −∞.
x→+∞
Теорема 2.2. Пусть прямая L1 (x) = k1 x+b1 для k1 < 0 является асимптотой для f при x → −∞, а прямая L2 (x) = k2 x³+ b2 , ´
где k2 < 0, — асимптотой для g при x → +∞. Тогда композиция L2 L1(x) = k2 k1 x + k2 b1 + b2
³
´
(L1 L2 (x) = k1 k2 x + k1 b2 + b1 ) будет асимптотой при x → −∞ (при x →
³
´
→ +∞) композиции g f (x) .
Аналогичная теорема справедлива, если каждая из составляющих функций переводит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки +∞
(−∞) в себя. Примеры отыскания асимптот второй итерации можно найти
в [1].
81
Р. Г. Рахманкулов
Замечание 2.1. Композиция h = g◦f может иметь наклонную асимптоту
и в том случае, когда у составляющих функций f и g нет ни одной асимптоты [1]. При некоторых естественных условиях (например, если хотя бы одна
из составляющих функций ограничена) композиция h = g ◦ f не имеет ни
одной наклонной асимптоты, отличной от горизонтальной.
Задание 2.1. Сформулируйте несколько достаточных условий отсутствия
асимптоты у композиции двух функций.
Задание 2.2. Сформулируйте утверждения, аналогичные теоремам 2.1 и
2.2, для нелинейных асимптот из класса многочленов [4, глава 7, §4].
§3. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ И НАПРАВЛЕНИЕ
ВЫПУКЛОСТИ. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИИ
Будем предполагать, что функция h определена на некотором множестве
D ⊂ R и представлена в виде композиции двух функций f и g , свойства и
¡
¢
графики которых известны. Итак, h(x) = g f (x) при x ∈ D. При построе¡
¢
нии графика композиции h(x) = g f (x) можно придерживаться следующей
схемы.
1. Периодичность и симметричность. Если T является периодом
внутренней функции f , то T будет также периодом композиции h:
¡
¢
¡
¢
h(x + T ) = g f (x + T ) = g f (x) = h(x).
При этом, если T — основной период функции f (то есть — наименьший положительный период функции f ), то может оказаться, что основной период
композиции меньше T или не существует. В то же время, если f не является
периодической, то для проверки периодичности h требуется дополнительное
исследование. Например, пусть функция f — дробная доля числа. Тогда f —
периодическая функция с основным периодом T = 1. При этом композиция
h = g ◦ f , где g — функция Дирихле, также является периодической, но не
имеет наименьшего положительного периода. В то же время из периодичности внешней составляющей g не следует, вообще говоря, периодичность
композиции h = g ◦ f , например, функция sin(x2 ) не является периодической,
а для функции sin 2x число T = π является наименьшим положительным
периодом. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при исследовании на
симметричность. Например, если внутренняя функция f четна, то свойством
четности обладает и h. При этом h может оказаться четной и в том случае,
когда f не является четной. Очевидно, что в случае нечетной внутренней
функции f композиция h — четная (нечетная), если внешняя составляющая
g является четной (нечетной).
2. Область непрерывности, точки разрыва, асимптоты. Если f
и g непрерывны, то и h непрерывна. В то же время, композиция может
оказаться непрерывной и в том случае, когда составляющие имеют точки
разрыва. У композиции могут появиться точки разрыва, отличные от точек
82
2005
Математика в высшем образовании
№3
разрыва функции f или g. Например, если x1 — точка разрыва функции g
и f непрерывна в точке x0 , где f (x0 ) = x1 , то x0 является точкой разрыва
композиции h.
Связь уравнений наклонных асимптот композиции и составляющих функций была рассмотрена выше в §2.
3. Промежутки монотонности. Пусть функция f является кусочномонотонной, то есть её область определения представима в виде объединения конечной совокупности промежутков, на каждом из которых f монотонна. Промежуток I = Ia,b с концами в точках и b, где a < b, будем называть промежутком монотонности функции f , если f монотонна на Ia,b ,
но на всяком большем промежутке, включающем Ia,b , функция f не является монотонной. Совокупность всех граничных точек промежутков монотонности функции f обозначим S. Предположим, что вторая составляющая
g также является кусочно-монотонной. Пусть a < b — две соседние точки
объединения множеств S и M−1 , где M−1 = f −1 (M ), а M — совокупность
всех концевых точек промежутков монотонности
³
´ функции g. Если интервал
(a, b) лежит в области D, то композиция g f (x) монотонна на этом интервале (a, b), так как f монотонна на (a, b), а g — на f (a, b). Таким образом
можно построить промежутки монотонности второй итерации и найти точки
экстремума. Иногда аналогичным образом удается построить все промежутки монотонности композиции, когда составляющая имеет бесконечное число
промежутков
монотонности.
Например, вернемся к функции cos(sin x). Здесь
o
nπ
+ πk | k ∈ Z , M = {πk | k ∈ Z} и M−1 = f −1 (M ) = M . Отсюда
S =
2
получаем, что отрезки [πk, π/2 + πk], k ∈ Z являются промежутками монотонности композиции cos(sin x).
Задание 3.1. Рассмотрим нечетную функцию f , заданную на всей прямой
R. Пусть f монотонна на интервале (0, +∞). Для определенности пусть f
возрастает на этом интервале. Докажите, что тогда f возрастает также на
интервале (−∞, 0).
³
´
Верно ли, что вторая итерация f f (x) возрастает на каждом из интервалов (−∞, 0) и (0, +∞)? Исследуйте также случай, когда рассматривается
четная функция.
4. Выпуклость. Начнем с определения выпуклой функции. Функция f
называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если выполнено условие
∀x1 ∈ (a, b) ∀x2 ∈ (x1 , b) ∀x3 ∈ (x1 , x2 ) [l(x3 ) ≤ f (x3 )],
(3.1)
³
´
где y = l(x) — уравнение прямой, проходящей через точки M x1 , f (x1 ) и
³
´
M x2 , f (x2 ) , то есть
l(x) = [f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x)]/(x2 − x1 ) =
= [f (x2 ) − f (x1 )](x − x1 )/(x2 − x1 ) + f (x1 ).
83
Р. Г. Рахманкулов
Если заменить условие (3.2) условием ∀x1 ∈ (a, b) ∀x2 ∈ (x1 , b) ∀x3 ∈
∈ (x1 , x2 ) [l(x3 ) ≥ f (x3 )], то функция называется выпуклой вниз на (a, b). Известно, что возрастающая выпуклая вниз (вверх) функция от выпуклой вниз
(вверх) функции выпукла вниз (вверх) [2,5]. Пусть f (a0 , b0 ) = (a1 , b1 ). Можно
также проверить справедливость следующего утверждения: если функция g
убывает и выпукла вниз (вверх) на (a1 , b1 ), а функция f выпукла вверх (вниз)
на (a0 , b0 ), то композиция h выпукла вниз(вверх) на (a0 , b0 ).
Задание 3.2. Пусть f — четная функция, определенная на R и является
выпуклой вниз на интервале (0, +∞). Верно ли, что тогда³f выпукла
вниз и
´
на интервале (−∞, 0)? Покажите, что вторая итерация f f (x) может оказаться не выпуклой на (0, +∞). Рассмотрите случай, когда исходная функция
является нечетной.
Замечание 3.1. Обычно находят точки пересечения графика функции
с осями координат, точки экстремума и перегиба. При построении графика
композиции целесообразно также указать неподвижные точки составляющих.
Если x0 — неподвижная точка функции f или g, то график композиции пересекается с графиком соответствующей составляющей функции в точке с
абсциссой x0 .
Прежде чем завершить краткое обсуждение схемы построения графика
итерации функции, обратимся к функциональному уравнению Коши
f (x + t) = f (x) + f (t).
(3.2)
Пусть определенная на R функция y = f (x) является решением этого
уравнения, то есть для любых действительных чисел x1 и x2 выполняется
равенство f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ). Такая функция называется эндоморфизмом аддитивной группы R. Всякий эндоморфизм группы переводит нейтральный элемент группы в нейтральный. Поэтому точка x = 0 является
неподвижной точкой, то есть
f (0) = 0.
(3.3)
Далее,
f (−x) = −f (x),
(3.4)
так как образ элемента −x, противоположного элементу x, есть элемент, обратный образу исходного элемента x. Таким образом, функция f нечетна.
Известно, что для каждого рационального числа r выполняется равенство
f (r) = r f (1).
(3.5)
Доказательство этого равенства приведено, например, в [2]. Композиция h
двух³ решений´ уравнения
(3.2) является
³
´
³ решением
´
³ этого
´ уравнения: h(x + t) =
= g f (x + t) = g f (x) + f (t) = g f (x) + g f (t) = h(x) + h(t). Поэтому
свойства (3.3)–(3.5) остаются справедливыми и для функции h.
Очевидно, что любая линейная однородная функция y = kx является решением уравнения (3.2): k(x + t) = kx + kt. Более того, можно показать, что
84
Математика в высшем образовании
2005
№3
множество K всех определенных на R непрерывных решений уравнения (3.2)
совпадает с классом линейных однородных функций [2]. Очевидно, что композиция любых двух функций из семейства K входит в это семейство.
Известно также, что наряду с линейными однородными функциями существуют эндоморфизмы группы R, то есть решения уравнения (3.2), которые
не являются непрерывными функциями [5, с. 119]. Такие решения обладают
весьма необычным поведением. Пусть решение f имеет точку разрыва. Тогда
график функции f является всюду плотным множеством плоскости R2 [6].
Отсюда следует, что f всюду разрывна, не имеет промежутков монотонности или выпуклости. Естественно возникает вопрос: является ли композиция двух разрывных решений уравнения (3.2) непрерывным решением этого
уравнения?
УПРАЖНЕНИЯ
1. Провести исследование и построить график второй итерации функции
f , если a) f (x) = ex ; б) f (x) = e−x ; в) f (x) = xex .
2. Построить график второй итерации w-функции Ламберта, то есть
функции w0 (x) = f −1 (x), где f (x) = xex при x ∈ [−1, +∞].
3. Построить график сложной функции (композиции функции и её сужения на соответствующем множестве): а) y = ln(ln x); б) y = log1/2 (log1/2 x);
в) y = tg(tgx).
4. Построить график функции h(x), где
r
а) h(x) =
a2
h¡
¢3/2 i2
;
− a2/3 − x2/3
·
2/3
б) h(x) = a
−
³p
a2
−
x2
´2/3 ¸3/2
.
Указание. Обратитесь к дугам астроиды и окружности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахманкулов Р. Г. Исследование и построение графика итерации функции // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: периодич. межвуз. сб. научно-метод. работ. Вып. 7. — Киров: Изд-во ВятГГУ, 2005. С. 148–166.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд.
Т. 1. — М.: Физматлит, 2001. 680 с.
3. Максимов В. В., Рахманкулов Р. Г. Итерации элементарных функций. — Горький,
Горьк. гос. пед. ин-т, 1990. 31 с.; Деп. ВИНИТИ 23.03.90, № 1595-В90.
4. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учебник. Ч. 1 /
Под ред. А. Н. Тихонова. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ТК Велби, изд-во Проспект,
2004. 672 с.
5. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. 456 с.
6. Рахманкулов Р. Г. Элементарные функции с точки зрения высшей математики // Вестник матем. факультета Нижегородского госуд. педаг. ун-та. 2001. № 1. С. 71–77.
85
Р. Г. Рахманкулов
THE INVESTIGATION AND CONSTRUCTION OF A COMPOSITE
FUNCTION GRAPH
R. G. Rakhmankulov
Investigation and construction scheme of graph of iteration and composition of functions is considered. Some properties of functions and their compositions are compared.
Examples and counterexamples are given. The material can be helpful for practical training in mathematical analysis.
Keywords: composite function, iteration, graph of function.
86