X - Сибирский государственный индустриальный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Элементы топологии и функционального анализа
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 515.1(07)
Э 456
Рецензент
Доктор физико-математических наук,
профессор, зав. кафедрой физики имени
профессора В.М.Финкеля СибГИУ
В.Е.Громов
Э456 Элементы топологии и функционального анализа: метод. указ. /
Сиб. гос. индустр. ун-т; сост.: С.А.Лактионов. – Новокузнецк : Изд.
центр СибГИУ, 2014. – 11 с.
В работе приведены краткие теоретические сведения по теме
«Элементы топологии и функционального анализа», разобраны примеры решения задач и даны задания для самостоятельной работы по
этой теме.
Предназначены для практических занятий по теме «Элементы топологии и функционального анализа» для всех направлений подготовки, включающих изучение дисциплины «Математика».
Печатается по решению Совета
Института фундаментального образования
1. Элементы топологии
1.1. Теоретические сведения
Пусть X – некоторое множество. Рассмотрим набор B его подмножеств, для которого выполняются условия:
(1) объединение любого числа множеств, принадлежащих B ,
также принадлежит B ;
(2) пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих совокупности B , также принадлежит B ;
(3) пустое множество принадлежит B ;
(4) само множество X принадлежит B .
Если условия 1)-4) выполнены, то говорят
а) совокупность подмножеств B есть топологическая структура или топология в множестве X ;
б) множество X вместе с выделенной топологической структурой B , то есть пара (X , B) , называется топологическим пространством;
в) элементы множества X называются точками этого топологического пространства;
г) элементы совокупности B , то есть подмножества X , принадлежащие B , называются открытыми множествами топологического
пространства X , B .
Условия 1)-4), наложенные на совокупность подмножеств B ,
называются аксиомами топологического пространства.
Пример 1. Дискретным топологическим пространством называется
пространство, в котором B является совокупностью всех подмножеств множества X .
Пример 2. Антидискретным топологическим пространством называется пространство, в котором B является совокупностью множества
X и пустого множества .
Пример 3. Вещественная прямая X
– множество всех вещественных чисел, B – совокупность всех интервалов a;b и любых
объединений этих интервалов. Такая топология называется стандартной или канонической на вещественной прямой.
Множество F
X называется замкнутым, если его дополнение X \ F открытое множество, то есть X \ F B .
Из определения замкнутых множеств вытекает, что
1) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;
2) объединение любого конечного числа замкнутых множеств
замкнуто;
3) пустое множество и все пространство замкнуты.
Кроме открытых и замкнутых множеств в топологическом пространстве существуют множества, которые и не открытые и не замкнутые.
Например, полуоткрытый интервал 0;1 на вещественной прямой
с канонической топологией не открыт и не замкнут в , так
как и он и его дополнение \ 0;1
не является
;0
1;
открытым интервалом вида a;b или объединением конечного числа
открытых интервалов. Но 0;1 представим как объединение бесконечного числа замкнутых отрезков 0;1
0;1
n 2
1
и как пересеn
1
;1 .
n
n 2
Окрестностью точки топологического пространства называется
любое открытое множество, содержащее эту точку.
Точка b X называется внутренней точкой множества A X ,
если у нее имеется окрестность, принадлежащая A .
Точка b X называется внешней точкой множества A X ,
если у нее имеется окрестность, не пересекающаяся с A .
Точка b X называется граничной точкой множества A X ,
если у нее каждая окрестность пересекается с A и его дополнением.
Границей множества A называется множество всех его граничных точек.
Внутренностью множества A называется наибольшее (по
включению) открытое множество, содержащееся в нем. Обозначается
Int A
чение бесконечного числа открытых интервалов 0;1
Внешностью множества называется наибольшее не пересекающееся с ним открытое множество, то есть Int X \ A .
Замыканием множества A называется наименьшее (по включению) содержащее его замкнутое множество.
Отображение
топологического пространства
f :X
Y
X ; BX
на топологическое пространство Y ; BY
называется непре-
рывным в точке x X , если для любой окрестности V точки
y
f x
Y существует окрестность U точки x X , такая, что
f U
V.
Отображение
топологического пространства
f :X
Y
X ; BX на топологическое пространство Y ; BY называется непре-
рывным, если оно непрерывно в каждой точке.
Отображение f : X
Y называется гомеоморфизмом, если
оно непрерывно и существует обратное отображение f 1 : Y
X,
которое тоже непрерывно.
Два топологических пространства называются гомеоморфными,
если существует гомеоморфизм f : X
Y.
Гомеоморфные отображения фигур – это непрерывные растяжения или сжатия без разрывов. Например, квадрат гомеоморфен кругу,
поверхность куба гомеоморфна сфере. Это означает, что с точки зрения топологии эти фигуры эквивалентны.
1.2. Примеры
Пример 1. Пусть X есть плоскость с заданной на ней декартовой системой координат. Определяет ли топологическую структуру набор
множеств B , состоящих из , X и открытых кругов с центром в
начале координат и всевозможными радиусами?
Решение. Нет, не определяет, так как пересечение двух множеств из
B , не совпадающих с и X не принадлежит B .
Ответ: не определяет.
Пример 2. Пусть X
. Показать, что система подмножеств
0;
B
, X,
a,
|a
0
определяет топологию на X .
Решение. Аксиомы 3 и 4 выполнены. Проверим аксиому 2. Если взять
пересечение конечного числа интервалов вида an ;
, an
0 , то
всегда среди конечного числа чисел an
a
max an ,
которое
n
и
будет
найдется наибольшее
определять
интервал
n
a;
ai ;
, принадлежащий B . Осталось проверить ак-
i 1
сиому 1. Если взять объединение бесконечного числа интервалов вида
an ;
, an
0 , то это объединение является интервалом вида
a;
, где a
inf an .
n
Топологическое пространство
B
, X,
a,
|a
0
X , B , где X
, а
называется стрелкой.
Пример 3. Найти внешность множества M
пространстве X
0;
a,b с топологией T
a
в топологическом
, a , a,b
Решение. Наибольшим, не пересекающимся с M
a открытым
множеством является пустое множество, поэтому оно и является
a .
внешностью множества M
Ответ: пустое множество .
Пример 4. Показать, что пространственные фигуры, заданные на рисунке 1, гомеоморфны между собой.
Рисунок 1 – Фигуры к примеру 4.
Решение. Чтобы показать гомеоморфность этих фигур, нужно представить непрерывное преобразование одной фигуры в другую в виде
растяжений и сжатий без разрывов. Такое преобразование представлено на рисунке 2.
Рисунок 2 – Гомеоморфное преобразование к примеру 4.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть X состоит из четырех элементов: X
a, b, c, d . Выясни-
те, какие из следующих трех наборов его подмножеств являются топологическими структурами в X .
а) , X , a , b , a, c , a,b, c , a,b ;
б)
, X , a , b , a,b , b, d ;
в)
, X , a, c, d , b, c, d ;
2. Проверить аксиомы топологии для указанных систем подмножеств
a,b . Указать, какие из этих систем определяют томножестве X
пологическую структуру на X
а)
б)
, a , b , a,b ;
a , a,b ;
в)
, a
г)
, a , b
3. Найти внешность множества M
странстве X
a,b с топологией T
b
.
в топологическом про-
, a , a,b
.
4. Определить границу множества M
b
странстве X
, a , a,b
a,b с топологией T
5. Найти внутренность множества M
странстве X
a,b с топологией T
a
в топологическом про-
в топологическом про-
, a , a,b
6. Найти внутренность множества M
b
странстве X
, a , a,b
a,b с топологией T
.
.
в топологическом про.
7. Какая из фигур является гомеоморфной к тору
а) «кружка с ручкой»;
б) сфера;
в) «крендель»;
г) куб.
Ответы:
1) а) является; б) не является; в) не является;
2) а) определяет; б), в), г) не определяет;
3) множество a ;
4) множество b ;
5) множество a ;
6) пустое множество ;
7) гомеоморфной к тору является «кружка с ручкой».
2. Элементы функционального анализа
2.1. Теоретические сведения
Пусть X произвольное множество. Функция
:X X
R
x R |x
0
называется метрикой (или расстоянием) в множестве X , если выполняются три условия
0 , тогда и только тогда, когда x
1) x, y
y (аксиома
тождества);
y, x для любых x, y X (аксиома симметрии);
2) x, y
3) x, y
x, z
z, y для любых x, y, z X
(аксиома треугольника).
Пара X ,
называется метрическим пространством. Условия
1-3 называются аксиомами метрического пространства.
Примерами метрических пространств являются
1) Множество R вещественных чисел с метрикой
x, y
x y . (Стандартная метрика)
2) Множество R вещественных чисел с метрикой
x, y
arctg x arctg y .
3) Множество R вещественных чисел с метрикой
x y
x, y
.
1 x y
4) Множество Q рациональных чисел с метрикой
x, y
x y .
5) Арифметическое пространство Rn с метрикой
n
x,y
xi
yi
2
.
i 1
6) M – множество матриц. Функция f : M
n
по формуле
M
R , определяемая
n
A, B
| bij
aij | , задает метрику на множе-
i 1j 1
стве матриц.
7) C a;b – множество непрерывных функций на отрезке a;b . Функция
f ,g
max | f t
a t b
g t | задает метрику на этом множестве.
8) C a;b – множество непрерывных функций на отрезке a;b . Функb
ция
f ,g
|f t
a
g t |dt задает метрику на этом множестве.
9) Пусть C a;b – множество непрерывных функций на отрезке a;b .
b
Функция
f ,g
f t
g t
2
dt задает метрику на этом
a
множестве.
Функция x, y называется расстоянием между точками x и y
метрического пространства.
Биективное отображение f метрического пространства X ,
на метрическое пространство Y , r называется изометрией или изометрическим отображением, если для x1, x 2
X
x1, x2
r f x1 , f x 2 .
Изометрия на множестве метрических пространств является отношением эквивалентности
Открытым шаром с центром в точке x 0 и радиусом r называется множество точек x метрического пространства, находящихся от
точки x 0 на расстоянии меньше r .
Открытым множеством в метрическом пространстве называется такое множество каждая точка которого принадлежит этому множеству вместе с некоторым открытым шаром с центром в этой точке.
Задание метрики на множестве определяет на этом множестве
топологию. Открытыми множествами такой топологии являются открытые множества метрического пространства. Такая топология
называется индуцированной топологией.
Наоборот, если с заданной топологией можно связать некоторую
метрику, так, чтобы топология являлась индуцированной, то топологическое пространство называется метризуемым.
Ограниченным множеством называется такое множество, которое можно поместить в некоторый открытый шар с центром в точке
x 0 и радиусом r .
Расстоянием от точки до ограниченного множества называется точная нижняя грань расстояний между этой точкой и точками
данного множества.
Расстоянием между ограниченными множествами называется
точная нижняя грань расстояний между точками одного и точками
другого множества.
2.2. Примеры.
Пример 1. Показать, что для любого множества X функция
0, x
y;
:X X
R :
x, y
1, x
y
является метрикой.
Решение. Выполнение аксиом тождества и симметрии непосредственно следует из задания метрики. Проверим аксиому треугольника
x, y
x, z
z, y .
Если x
y , то слева будет 0 и неравенство выполняется при любых
z . Если x
y , то либо x
z , либо y z , потому слева будет 1, а
справа 1 или 2, то есть неравенство тоже выполняется.
Пример 2. В пространстве R2 определена функция f : R2 R2
R
f x,y
max | x 2
x1 |,| y2
y1 | , где x
x1; y1 , а y
x 2 ; y2 .
Проверить определяет ли эта функция метрику в пространстве R2 .
Решение. Проверим выполнение аксиом метрического пространства
1) Аксиома тождества.
Очевидно, что f x , y
max | x 2 x1 |,| y2 y1 |
0 тогда и
только тогда, когда x1
x 2 и y1 y2 , то есть только в случае, когда
x
y , то есть аксиома тождества выполнена.
2) Аксиома симметрии.
Так как
max | x 2 x1 |,| y2 y1 |
max | x1 x 2 |,| y1 y2 | , то
f x,y
f y , x и аксиома симметрии выполнена.
3) Аксиома треугольника.
Пусть z
x 3 ; y3 . Так как
| x2
x1 | | x 2
x3
x3
x1 | | x 3
| y2
y1 | | y2
y3
y3
y1 | | y3
x1 |
| x2
x1 |
и
y1 |
| y2
y1 | ,
то
max | x 2
x1 |,| y2
y1 |
max | x 3 x1 | | x 2 x1 |,| y3 y1 | | y2 y1 |
max | x 3 x1 |,| y3 y1 |
max | x 2 x1 |,| y2 y1 | .
Аксиома треугольника выполнена.
Ответ: все аксиомы выполнены, следовательно данная функция определяет метрику в R2 .
Пример 3. Найти расстояние между функциями f x
cos x x 2 и
g x
x2
функций,
f ,g
2 пространства всех непрерывных действительных
определенных
max
2
x 2
|f x
на
2 ;2
отрезке
с
метрикой
g x |.
Решение. Подставляем выражения для функций в формулу
f,g
max | cos x x 2 x 2 2 |
max | cos x
2
x 2
2
Так как на отрезке
1 cos x 1, то
f ,g
max | cos x
2
x 2
2 ;2
2|
выполняются
max
2
x 2
x 2
|2
cos x |
2 |.
неравенства
3.
Ответ:
f,g
3.
2.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Каким аксиомам метрического пространства не удовлетворяет
x 2 x1 , где x1, x 2 – действительные числа?
функция f x1, x 2
2. Пусть A1
верить
f A1, A2
x 2, y2 – точки пространства R2 . Прометрики
для
функции
x1, y1 и A2
аксиомы
| x2
x1 |4
| y2
y1 |4 ,
заданной для точек этого пространства.
3. Найти расстояние между матрицами
1
2 4
5
0
2
3
A
7 2
1 0
5 2
n
в метрике
2
1
2
3
3
иB
1
3
4
0
2
1
1
3
0
2
0
1
1
5
n
A, B
| bij
aij | .
i 1j 1
Ответы:
1) эта функция не является отображением на R , поэтому не может
служить метрикой;
2) аксиомы тождества и симметрии выполняются, аксиома треугольника не выполняется. Например, для точек A1 0;0 , A2 0;2 , A3 0;1
по формуле f A1, A2
f A1, A2
4 , f A1, A3
f A1, A2
f A1, A3
4
3)
| x2
x1 |4
1 , f A2, A3
| y2
y1 |4 получаем
1 , но тогда
f A2, A3 ;
4
A, B
| bij
aij |
43 .
i 1j 1
Библиографический список
1. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные
конструкции: Учебное пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. –336 с.
2. Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю., Харламов В.М.
Элементарная топология. М.: 2010. – 441 с.
3. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. М.: РХД, 2009. – 724 с.
4. Гуревич А.П., Корнев В.В., Хромов А.П. Сборник задач по
функциональному анализу. Лань, 2012. – 192 с.
Учебное издание
Составитель
Лактионов Сергей Андреевич
Элементы топологии и функционального анализа
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 03.03.14
Формат бумаги 60 84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ.л.0,72. Уч.-изд. л. 0,81.Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42
Издательский центр СибГИУ