Тема 3. Возможности применения нечетких методов управления

Тема 3.
Возможности
применения
нечетких
методов
управления
технологическими объектами. Основные термины. Архитектура нечеткого
управления. Нечеткая логика в задачах управления. Основы нечеткой логики:
математическое
определение
нечеткого
множества;
определение
лингвистической переменной (2 часа)
Архитектура или модель нечёткого управления основана на замене
классической системы управления системой нечёткого управления, в качестве
которой используются системы нечёткого вывода. В этом случае модель нечёткого
управления строится с учётом необходимости реализации всех этапов нечёткого
вывода, а сам процесс вывода реализуется на основе алгоритмов нечёткого вывода.
В настоящее время нечёткое моделирование является одним из наиболее
активных и перспективных направлений прикладных исследований в области
управления и принятия решений. Математической основой нечётких систем
являются противоположные традиционным компьютерным вычислениям, «мягкие
вычисления», одной из составляющих которых является нечёткая логика.
Сущность мягких вычислений состоит в том, что в отличие от традиционных
жёстких вычислений, они нацелены на приспособление к всеобъемлющей
неточности реального мира. Руководящим принципом мягких вычислений является:
«терпимость к неточности, неопределенности и частичной истинности для
достижения удобства манипулирования, робастности, низкой стоимости решения и
лучшего согласия с реальностью». Исходной моделью для мягких вычислений
служит человеческое мышление.
Понятие «нечёткая логика» введено математиком Л.А. 3аде (1965г.), который
предложил теорию «нечётких множеств», на основе которой можно строить
нечёткие аналоги всех математических понятий и создавать необходимый
формальный
аппарат
для
моделирования
человеческих
рассуждений
и
человеческого способа решения задач. Нечёткое множество представляет собой
совокупность элементов, относительно которых нельзя с полной определённостью
утверждать – принадлежит тот или иной элемент данной совокупности или нет.
Для реализации управления на основе нечёткой логики необходима система
нечёткого управления, способная формировать управляющее воздействие на объект
управления.Структурная схема системы автоматического управления на базе
нечёткой логики показана на рис. 3.1.
Система нечёткого управления
u(t)
Нечёткий
вывод
Фаззификация
Дефаззификация
Объект
управления
x(t)
База правил
нечётких продукций
Рисунок 3.1 Структурная схема системы автоматического управления на базе
нечёткой логики
Функциональная схема автоматической системы управления на базе нечёткой
логики состоит из объекта управления, системы нечёткого управления (общего
логического вывода), цепи обратной связи и сравнивающего устройства.
В общем случае под нечеткой моделью понимается информационно
логическая модель системы, построенная на основе теории нечетких множеств.
Таким образом, отдельными этапами процесса нечеткого моделирования являются:
- анализ проблемной ситуации;
- структуризация предметной области и построение нечеткой модели;
- выполнение вычислительных экспериментов с нечеткой моделью;
- применение результатов вычислительных экспериментов;
- коррекция или доработка нечеткой модели.
Одним из характерных признаков сложности построения модели является
неопределенность в представлении структуры или поведения системы-оригинала.
При этом сама категория неопределенности может быть рассмотрена с различных
точек зрения. В рамках современной методологии системного моделирования
неопределенность
представлений.
может
характеризовать
следующие
аспекты
модельных
Неясность или нечеткость границы системы.
Так, например, использование дихотомических признаков «высокий-низкий»,
«большой-маленький»,
«дорогой-дешевый»,
«молодой-старый»,
«быстрый-
медленный» и подобных им для определения состава элементов системы
сталкивается с принципиальной трудностью представления структуры модели
системы.
Характерный пример этого аспекта неопределенности – собственно класс
сложных систем в контексте ответа на вопрос: «Какие системы следует считать
сложными?»Другим
примером
может
служить
проблема
распознавания
рукописного текста компьютером, которая и сейчас не решена в полном объеме.
Неоднозначность семантики отдельных терминов, которые используются
при построении концептуальных моделей систем.
Речь идет о присущей естественным языкам полисемии или неоднозначности
смысла понятий (модель прически и математическая модель, игральный автомат и
автомат как стрелковое оружие, географическая карта местности и игральная карта,
стрела башенного крана и стрела, пущенная из лука, замок двери и средневековый
замок).
Неполнота модельных представлений о некоторой сложной системе,
особенно в связи с решением слабо формализуемых проблем.
В этом случае сама попытка построить адекватную модель сложной системы
или предметной области сталкивается с принципиальной невозможностью учесть
все релевантные особенности решаемой проблемы.
Противоречивость отдельных компонентов модельных представлений или
требований, которым должна удовлетворять модель сложной системы.
Так, например, требование решить проблему за минимальное время и с
минимальными финансовыми затратами содержит в себе элемент противоречия.
Элементы противоречий содержатся в законодательных актах и являются
предметом юридической практики.
Неопределенность наступления тех или иных событий, относящихся к
возможности нахождения системы-оригинала в том или ином состоянии в
будущем.
Речь идет о том, что анализ процесса поведения системы не дает оснований
для однозначного ответа на вопрос: «будет ли находиться система-оригинал в
некотором состоянии в момент времени, который относится к ее будущему?» Этот
аспект
неопределенности
часто
называют
стохастическим,
поскольку
он
традиционно исследовался средствами теории вероятностей и математической
статистики.
Возвращаясь к характеристике методологии нечёткого моделирования,
следует отметить, что исходной предпосылкой ее развития являлась разработка
адекватных
модельных
средств
для
представления
первого
аспекта
неопределенности, связанного, прежде всего, с неясностью или нечеткостью
описания границы системы или отдельных ее состояний. Тем не менее, появление и
последующее развитие концепции нечеткой меры и теории возможностей позволяет
утверждать то, что и другие аспекты неопределенности могут быть подвергнуты
нечеткому анализу.
Таким образом, нечеткая модель системы-оригинала, или нечеткая система в
первую очередь характеризуется неопределенностью типа неясности (нечеткости)
границы системы, а также, возможно, отдельных ее состояний, входных и выходных
воздействий. В этом случае исходная структуризация нечеткой системы может быть
изображена графически в виде фигуры с расплывчатыми границами, как показано на
рис. 3.2.
Процесс общего логического вывода занимает центральное место в системах
автоматического управления на базе нечёткой логики и включает все основные
концепции теории нечётких множеств: лингвистические переменные, функции
принадлежности, нечёткие логические операции, методы нечёткой импликации и
нечёткой
концепции.
композиции.
Рассмотрим
более
подробно
перечисленные
выше
Рисунок 3.2 Нечеткая система с нечёткой границей
Математическое определение нечёткого множества.
Формально,
нечёткое
множество
A
определяется
в
виде
множества
упорядоченных пар или кортежей: <x, µA(x)>, где х является элементом некоторого
универсального множества или универсума Х, а µA(x) – функция принадлежности,
которая
ставит
в
соответствие
каждому
из
элементов
xХ
некоторое
действительное число из интервала [0, 1], т.е. данная функция определяется в форме
отображения:µA: X → [0, 1].
При этом значение µA(x) = 1 для некоторого x  Х означает, что элемент х
определённо принадлежит нечёткому множеству A, а значение µA(x) = 0 означает,
что элемент х определённо не принадлежит нечёткому множеству A.Будем
записывать
конечное
нечёткое
множество
в
виде:
A = {<x1, µA(x1)>,
<x2, µA(x2)>, …, <xn, µA(xn)>}, а в общем случае – в виде: A = {<x, µA(x)>}.
Нечеткое множество называется пустым, если его функция принадлежности
тождественно равна нулю и обозначается черезØ для всех элементов.
~
~
Высота (height-hgt) нечеткого множества A : hgt A  sup  A ( x ) .
x X
~
Нечеткое множество A с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 ~
субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества A :
~
~
core A ={xX/A(x)=1}. Основание (support – supp) нечеткого множества A :
~
supp A ={xX/A(x)>1}. Поперечными точками (crossoverpoint) нечеткого множества
~
A называется совокупность core {xX/A(x)=0,5}. Уровень , или –разрез
~
~
(сечение) нечеткого множества A : A ={xX/A(x)}. –разрез нечеткого
~
~
множества A еще обозначают: -cut A .
~ ~
Строгий –разрез нечеткого множества A : A ={xX/A(x)>}. Выпуклое
~
(convex) нечеткое множество A :
x1,x2,x3X:x1x2x3A(x2)min(A(x1),A(x3)).
При
невыполнении
неравенства
нечеткое
множество
~
A
называется
невыпуклым. На рис. 3.3 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.
А(х)
1

0,5
hgt A
х
core A
supp A
Рисунок 3.3 Иллюстрация свойств нечеткого множества
~
Отдельным видом нечеткого множества A является нечеткое число (нечеткий
~
синглтон) при выполнении условий: A является выпуклым, высота является
~
нормальной (hgt A =1), А(x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или
центр множества A (coreA) содержит одну точку.
Определение лингвистической переменной.
Методами теории нечетких множеств описывают смысловые понятия,
например, для понятия «надежность работы узла» можно определить такие
составляющие, как «небольшая величина надежности узла», «средняя величина
надежности узла», «большая величина надежности узла», которые задаются как
нечеткие множества на базовом множестве, определяемом всеми возможными
значениями величин надежности.
Обобщением описания лингвистических переменных с формальной точки
зрения является введение нечетких и лингвистических переменных.
Нечеткой переменной называется тройка множеств
~
  , X ,C (  )  ,
(3.1)
где  - наименование нечеткой переменной,
~
X - область определения, C (  )  {  C (  ) ( x ) / x  }, x  X - нечеткое подмножество
в множестве X, описывающее ограничения на возможные значения переменной .
Лингвистической переменной называется набор множеств
<,T(),X,G,M>,
где
(3.2)
- -название лингвистической переменной;
- T() – множество лингвистических (вербальных) значений переменной ,
называемое еще терм-множеством лингвистической переменной;
- X- область определения;
- G- синтаксическое правило, имеющее форму грамматики, порождающее
наименования T() вербальных значений лингвистических переменных ;
- М-семантическре правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой
~
переменной  нечеткое множество C (  ) - смысл нечеткой переменной .
Из определения следует, что лингвистической переменной называется
переменная, заданная на количественной (измеряемой) шкале и принимающая
значения, являющиеся словами или словосочетаниями естественного языка
общения. Нечеткие переменные описывают значения лингвистической переменной.
На рис. 3.4 показана взаимосвязь основных понятий.
Лингвистическая переменная
Множество нечетких
переменных
Задание функций
принадлежности
Синтаксическое
правило G
Группа экспертов
Семантическое правило М
Базовое множество Х
Рисунок 3.4 Взаимосвязь основных понятий вербального описания
Таким
образом,
лингвистическими
переменными
можно
описать
трудноформализуемые понятия в виде качественного, словесного описания.
Лингвистическая переменная и все ее значения связываются при описании с
конкретной количественной шкалой, которая по аналогии с базовым множеством
иногда называется базовой шкалой.
Применяя лингвистические переменные, можно формализовать качественную
информацию в системах
управления, которая специалистами (экспертами)
формулируется в словесной форме. Это позволяет строить нечеткие модели систем
управления (нечеткие регуляторы).
Вопросы для самоконтроля.
1. В чем состоит суть мягких вычислений?
2. Приведите структурную схему системы автоматического управления на
базе нечёткой логики.
3. Что понимается под нечеткой моделью?
4. Что представляют собой этапы процесса нечеткого моделирования?
5. Какие
аспекты
модельных
представлений
методологии системного моделирования Вы знаете?
6. Приведити определение нечеткого множества.
7. Приведите пример задания нечеткого множества.
в
рамках
современной
8. Что такое –разрез нечеткого множества?.
9. Какие точки называю поперечными точками нечеткого множества?.
10. Определите понятие высоты нечеткого множества.
11. Определите понятие ядра нечеткого множества.
12. Приведите пример задания лингвистической переменной.
13. Приведите пример задания нечеткой переменной.
14. Что собой представляет взаимосвязь основных понятий вербального
задания параметров объекта?