Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2016 Ôóíäèðîâàííûå è âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî êîòîðîãî ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò. (Íàïîìèíàíèå: ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ òîò, ìåíüøå êîòîðîãî íåò; íàèìåíüøèì òîò, êîòîðûé ìåíüøå âñåõ îñòàëüíûõ). Ñâîéñòâó ôóíäèðîâàííîñòè òàêæå ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: à) íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîé ñòðîãî óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà; á) èçâåñòíî, ÷òî åñëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî A âûïîëíåíî ïðè âñåõ x < y , òî âûïîëíåíî A(y). Òîãäà A âûïîëíåíî ïðè âñåõ x. Äîêàæèòå, ÷òî â ôóíäèðîâàííîì ìíîæåñòâå ëþáàÿ íåñòðîãî óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòàáèëèçèðóåòñÿ, è íàîáîðîò. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò ðàâíîìîùíîå åìó ôóíäèðîâàííîå ìíîæåñòâî. íàçûâàåòñÿ ôóíäèðîâàííîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíäèðîâàííîãî, íî íå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, à òàêæå ïðèìåð ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî, íî íå ôóíäèðîâàííîãî ìíîæåñòâà. Äëÿ ïîñëåäíåãî íåïîñðåäñòâåííî ïîêàæèòå íàðóøåíèå âñåõ òð¼õ óñëîâèé.  íåêîòîðîì óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ëþáîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ñîäåðæèò ýëåìåíò. Âåðíî ëè, ÷òî îíî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå? Ïîäìíîæåñòâî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ , åñëè ëþáûå äâà åãî ýëåìåíòà ñðàâíèìû. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ôóíäèðîâàííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ åãî öåïü âïîëíå óïîðÿäî÷åíà. ßâëÿåòñÿ ëè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ñëîâ èç áóêâ ëàòèíñêîãî àëôàâèòà ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì? Âñïîìíèòå, êàê îïðåäåëÿþòñÿ ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Âñåãäà ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ ôóíäèðîâàíû? Ìîãóò ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå èëè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íåôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ áûòü ôóíäèðîâàííûìè? Âñåãäà ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ âïîëíå óïîðÿäî÷åíû? Åñëè íå âñåãäà, ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå. Âåðíû ëè äëÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ïðàâèëà êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè (ïðàâîé è ëåâîé)? À äëÿ ôóíäèðîâàííûõ? Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî A + B ' B? Ôóíäèðîâàííûì Ïðèíöèï íåâîçìîæíîñòè áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà: Ïðèíöèï èíäóêöèè: 1. 2. Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì 3. 4. íàèìåíüøèé 5. öåïüþ 6. 7. 8. 9. 1 Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, à f : A → A òàêîâà, ÷òî ïðè x > y âåðíî f (x) > f (y), òî ïðè âñåõ x âûïîëíåíî f (x) > x. Âåðíà ëè ýòà òåîðåìà äëÿ ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ? Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ? âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî B , ÷òî èç x ∈ B è y 6 x ñëåäóåò y ∈ B . íà÷àëüíûì îòðåçêîì íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûé îòðåçîê, íå ðàâíûé ñàìîìó ìíîæåñòâó. Äîêàæèòå, ÷òî: à) Íà÷àëüíûé îòðåçîê âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ñàì ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. á) Íà÷àëüíûé îòðåçîê íà÷àëüíîãî îòðåçêà A ñàì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îòðåçêîì A. â) Ìíîæåñòâà âèäà [0, a] = {x | x 6 a} è [0, a) = {x | x < a} ÿâëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè îòðåçêàìè. ã) Ëþáîé ñîáñòâåííûé íà÷àëüíûé îòðåçîê èìååò âèä [0, a). Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî íå ìîæåò áûòü èçîìîðôíî ñîáñòâåííîìó íà÷àëüíîìó îòðåçêó. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî A + B ' A? Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ A · B ' A ñðåäè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè A è B âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, ïðè ýòîì A êîíå÷íî è íåïóñòî, à B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, òî A · B ' B . Äîêàæèòå, ÷òî âî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ó êàæäîãî ýëåìåíòà a (êðîìå ìàêñèìàëüíîãî) åñòü íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé, ò.å. òàêîé c > a, ÷òî íè äëÿ êàêîãî b íåâåðíî c > b > a. âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò, íå ÿâëÿþùèéñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèì íè çà êàêèì äðóãèì. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûé íà÷àëüíûé îòðåçîê íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå [0, a] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ðàâåí [0, a), ãäå a ïðåäåëüíûé. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî A èçîìîðôíî ñóììå B + C , ãäå B è C âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, ïðè ýòîì B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, à C êîíå÷íî. Äîêàæèòå, ÷òî íà÷àëüíûå îòðåçêè âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A òîæå îáðàçóþò âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïî îòíîøåíèþ ¾áûòü íà÷àëüíûì îòðåçêîì¿. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàéä¼òñÿ ïðåäåëüíûé ýëåìåíò b 6 a, òàêîé ÷òî ìåæäó b è a ëåæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Îïèøèòå âñå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ïðåäåëüíûõ ýëåìåíòîâ. 10. Íà÷àëüíûì îòðåçêîì Ñîáñòâåííûì 11. 12. 13. 14. 15. 16. Ïðåäåëüíûì ýëåìåíòîì 17. 18. 19. 20. 21. 2 Äîêàæèòå, ÷òî a ïðåäåëüíûé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéä¼òñÿ ñåìåéñòâî a1 < a2 < a3 < . . . , òàêîå ÷òî âñå ai ìåíüøå a, íî ëþáîé ýëåìåíò, ìåíüøèé a, òàêæå ìåíüøå êàêîãî-òî ai. óòâåðæäàåò, ÷òî èç ëþáûõ äâóõ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ îäíî èçîìîðôíî íà÷àëüíîìó îòðåçêó äðóãîãî. Áóäåì îáîçíà÷àòü òàêîå ñðàâíåíèå ÷åðåç A . B . Åñëè A èçîìîðôíî ñîáñòâåííîìó íà÷àëüíîìó îòðåçêó B , áóäåì ïèñàòü ïðîñòî A < B . Äîêàæèòå, ÷òî ñðàâíåíèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà òðàíçèòèâíî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ A è B âûïîëíåíî ðîâíî îäíî èç óñëîâèé A < B , B < A, A h B . ßâëÿþòñÿ ëè îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìîíîòîííûìè? Èíûìè ñëîâàìè, åñëè A < B (A . B ), òî âåðíî ëè, ÷òî äëÿ âñåõ C èñòèííî A+C < B +C , C +A < C +B , A · C < B · C , C · A < C · B (òî æå äëÿ . âìåñòî <)? ∗ 22 . ñ÷¼òíîå Òåîðåìà î ñðàâíèìîñòè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ 23. 24. 25. 3