Тригонометрические функции При изучении свойств

Тригонометрические функции
При изучении свойств тригонометрических функций особое внимание следует
обратить на:
- область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть
ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области
определения;
- периодичность всех тригонометрических функций, т.к. существует наименьший
ненулевой аргумент, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент
называют периодом функции и обозначают буквой T. Для синуса/косинуса и
тангенса/котангенса эти периоды различны.
D(f) - область определения – это множество значений независимой переменной,
при которых функция имеет смысл
E(f) - область значений - множество, в которое входят все значения, которые может
принимать функция на своей области определения.
Четность или/нечетность - если область определения функции симметрична
относительно нуля и для любого x из области определения выполняется равенство: f(x)=f(x), то функция четная, а если f(-x)=-f(x), то функция нечетная. Если не выполняется
ни одно из равенств, то функция ни четная, ни нечетная.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (Oy).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O).
Период. Если существует такое число t≠0, что для любого x из области определения
функции y=f(x) числа x+t и x-t принадлежат области определения и f(x+t)=f(x-t)=f(x), то
функция называется периодической, а число t периодом функции.
Монотонность Если для любых x1, x2∈X и таких, что x1>x2 выполнено условие
f (x1)>f (x2), то функция y=f(x) называется монотонно возрастающей на X. Если f
(x1)<f (x2), то функция y=f(x) называется монотонно убывающей на X. Если f (x1)=f (x2), то
функция постоянна на X.
Для объяснения нового материала в условиях среднего профессионального
образования гуманитарного профиля удобно пользоваться сравнительной таблицей
2π
2π
Период
/
нечетная
возрастает
на
промежутках
[- +2πn; +2πn], n
,
убывает на промежутках,
[ +2πn; +2πn], n
.
возрастает
на
промежутках
[-π+2πn; π+2πn], n
,и
убывает на промежутках
[2πn; π+2πn], n
2
n,
;
Монотонно возрастает на
всей области
определения
π
х
четная
D(f)= (-∞; +∞)
1;1
y=tgx
Четность
нечетность
E(f) - область
значений
1;1
y=cosx
Монотонность
(-∞; +∞)
нечетная
y=sinx
D(f) - область
определения
Функция
х
π
n
;
нечетная
y=ctgx
Монотонно убывает на
всей области
определения
Правила преобразования графиков функций
1) Параллельный перенос графика ф ункции y=f(x)+b, где b – постоянное
число, на вектор (0; b) вдоль оси ординат.
2) Растяжение графика вдоль оси Оу с коэффициентом k, которое задается
х х
формулами
Для построения графика ф ункции у= kf(х) надо
у kу.
растян уть график функции у= f(х) в k раз вдоль оси ординат.
3) Параллельный перенос в доль оси абсцисс на вектор (а;0) задается
х х а,
формулами
График ф ункции у= f(х-а) получается из графика f
у у.
переносом ( вдоль оси абсцисс) на вектор (а;0).
х kх,
4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k задается формулами
у у.
х
Для построения графика ф ункции у= f( ) надо подвергн уть график ф ункции
k
f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс.
Савченко И.В.
Ирк утский областной колледж к ульт уры