Алгебра и теория чисел Типовая учебная программа для высших

Министерство образования Республики Беларусь
Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию
Алгебра и теория чисел
Типовая учебная программа
для высших учебных заведений по специальности
1-31 03 01 «Математика (по направлениям)»
(кроме направления 1-31 03 01-04 "Математика (научноконструкторская деятельность"))
Минск 2008
2
СОСТАВИТЕЛИ:
Беняш-Кривец Валерий Вацлавович, профессор кафедры высшей алгебры Бе­
лорусского государственного университета, доктор физико-математических
наук, профессор;
Курсов Валерий Владимирович, доцент кафедры высшей алгебры Белорус­
ского государственного университета, кандидат физико-математических наук,
доцент.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра алгебры и геометрии Учреждения образования «Белорусский госу­
дарственный педагогический университет им. М. Танка»
Берник Василий Иванович, главный научный сотрудник Государственного
научного учреждения «Институт математики Национальной академии наук
Беларуси», доктор физико-математических наук, профессор.
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:
Кафедрой высшей алгебры механико-математического факультета Белорус­
ского государственного университета
(протокол № 9 от 25 марта 2008 г.);
Научно-методическим советом Белорусского государственного университета
(протокол № 3 от 27 марта 2008 г.);
Научно-методическим советом по математике и механике Учебнометодического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонауч­
ному образованию
(протокол № 3 от 10 апреля 2008 г.);
Ответственный за выпуск: Беняш-Кривец Валерий Вацлавович
3
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Актуальность изучения учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»
Материал дисциплины «Алгебра и теория чисел» находит применение в
преподавании математического анализа, геометрии, топологии, фунционального анализа, дифференциальных уравнений и многих других дисциплин. Этим
определяется актуальность её изучения. Дисциплина имеет общенаучную и
профессиональную направленность. Объем изучаемого материала должен быть
достаточным, чтобы выпускник вуза был компетентен решать следующие
профессиональные задачи:
- вести теоретические и прикладные научные исследования;
- осуществлять педагогическую и методическую работу в области ма­
тематики и ее приложений;
- использовать математические методы исследований при анализе со­
временных естественнонаучных и экономических процессов.
Цели и задачи учебной дисциплины
Программа составлена в соответствии с требованиями образовательного
стандарта высшего образования по специальности 1-31 03 01 «Математика»
(по направлениям) и рассчитана на изучение дисциплины в первых четырех
семестрах.
Цель дисциплины «Алгебра и теория чисел»: обучение студентов фунда­
ментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; зна­
комство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и
полями. При преподавании учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»
ставятся следующие задачи:
• ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и методами
линейной алгебры. Изучить матрицы и определители, методы решения систем
линейных уравнений, теорию векторных пространств и линейных операторов,
теорию квадратичных и билинейных форм;
• дать введение в задачи и методы теории групп, теории колец и полей,
а также теории чисел;
• изучить комплексные числа и многочлены;
• развить у студентов аналитическое мышление и общую математиче­
скую культуру;
• привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и науч­
ную литературу в области математики.
Требования к уровню усвоения содержания учебной дисциплины
Требования к уровню усвоения содержания дисциплины определены об­
разовательным стандартом по специальности 1-31 03 01 «Математика» (по
направлениям). Выпускник должен
знать:
4
- определители и их свойства;
- критерий совместности системы линейных уравнений, метод Гаусса и
правило Крамера решения систем линейных уравнений;
- понятия билинейной и квадратичной формы, их нормальный вид, за­
кон инерции, знакопостоянные квадратичные формы, критерий Сильвестра;
уметь:
- выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и
тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, приме­
нять формулу Муавра;
- находить базис векторного пространства, суммы и пересечения под­
пространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и
системы векторов;
- приводить ортогональные и унитарные операторы к каноническому
виду, приводить квадратичную форму к каноническому виду ортогональным
преобразованием.
Диагностика компетенций студента
С целью текущего контроля рекомендуется проведение 1-2 коллок­
виумов и 1-2 контрольных работ в каждом семестре. Рекомендуется разрабо­
тать систему индивидуальных домашних заданий. Для контроля и самокон­
троля знаний и умений студента по отдельным темам или разделам возможно
использование тестовых технологий.
Типовым учебным планом по специальности 1-31 03 01 «Математика»
(по направлениям) на изучение дисциплины «Алгебра и теория чисел» отво­
дится 642 часа, из них 306 аудиторных часов (лекции — 152 часа; практиче­
ские занятия — 154 часа) предлагается следующее их распределение по раз­
делам.
5
ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ
№
Количество аудиторных часов
Наименование раздела
разд.
Всего
лекций
практиче­
ских
8
4
4
основные 4
2
2
п/п
1.
Арифметика целых чисел.
2.
Алгебраическая операция,
алгебраические структуры.
3.
Поле комплексных чисел.
12
6
6
4.
Матрицы и операции над ними.
8
4
4
5.
Перестановки и подстановки.
6
3
3
6.
Определители и их применение.
12
6
6
7.
Многочлены от одной переменной.
10
5
5
8.
Сравнения и кольца вычетов.
8
4
4
9.
Векторные пространства.
24
12
12
10.
Системы линейных уравнений.
12
6
6
11.
Линейные отображения
пространств.
12
12
12.
Инвариантные подпространства. Соб­ 17
ственные векторы и собственные зна­
чения.
8
9
13.
Нормальные формы матриц
12
13
14.
Многочлены от нескольких перемен­ 12
ных.
6
6
15.
Билинейные и квадратичные формы.
20
10
10
16.
Евклидовы и унитарные пространства.
16
8
8
17.
Линейные операторы евклидовых и 20
унитарных пространств.
10
10
18.
Введение в теорию групп.
36
18
18
19.
Введение в теорию колец и полей.
32
16
16
306
152
154
Всего часов
векторных 24
25
6
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Раздел 1. Арифметика целых чисел.
Делимость целых чисел и ее свойства. Теорема о делении с остатком.
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида и запись НОД в виде цело­
численной линейной комбинации. Взаимно простые числа, критерий взаимной
простоты. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа, бесконеч­
ность множества простых чисел. Основная теорема арифметики.
Раздел 2. Алгебраическая операция, основные алгебраические
структуры.
Алгебраическая операция. Свойства алгебраической операции: коммута­
тивность и ассоциативность. Нейтральный элемент множества относительно
алгебраической операции. Теорема о единственности нейтрального элемента.
Симметричные элементы множества относительно алгебраической операции.
Теорема о единственности симметричного элемента относительно ассоциатив­
ной алгебраической операции. Определения группы, кольца, поля. Примеры.
Раздел 3. Поле комплексных чисел.
Определение поля комплексных чисел. Действия в компонентах. Алгеб­
раическая форма комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Комплексная
плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригономет­
рическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными чис­
лами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее применение в веще­
ственных вычислениях. Геометрическая интерпретация действий с комплекс­
ными числами. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы,
первообразные корни из единицы. Группа корней из единицы.
Раздел 4. Матрицы и операции над ними.
Матрица размера тхп. Квадратная матрица порядка п. Диагональная
матрица. Единичная матрица порядка п. Нулевая матрица размера тх п. Век­
тор-строка. Вектор-столбец. Равенство матриц. Сложение матриц, умножение
матрицы на скаляр. Умножение матриц. Транспонирование. Свойства матрич­
ных операций. Многочлен от матрицы. Элементарные преобразования мат­
риц. Теорема о приведении произвольной матрицы к верхней трапециевидной
форме.
Раздел 5. Перестановки и подстановки.
Определения перестановок и подстановок, их число. Инверсии и поряд­
ки, четность перестановки. Транспозиции и циклы. Теорема об изменении чет­
ности перестановки после применения к ней транспозиции. Умножение под­
становок и его свойства. Разложение подстановки в произведение независи­
мых циклов и транспозиций. Четность подстановки. Симметрическая и знако­
переменная группы.
Раздел 6. Определители и их применение.
Определители второго и третьего порядков. Определитель квадратной
матрицы произвольного порядка и его свойства. Определитель транспониро­
ванной матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Разложение определителя по строке и столбцу. Определитель треугольной
7
матрицы. Методы вычисления определителей. Определитель Вандермонда.
Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, методы ее
вычисления. Невырожденные матрицы, полная линейная группа. Матричная
запись системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Метод Гаусса.
Раздел 7. Многочлены от одной переменной.
Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом
с единицей. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком
для многочленов. Алгоритм Евклида, теорема о наибольшем общем делителе
многочленов. Взаимно простые многочлены. Неприводимые многочлены. Раз­
ложение многочлена на неприводимые множители. Значение многочлена в
точке, функциональное равенство многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера.
Корень многочлена, теорема о числе корней. Производная многочлена и ее
свойства. Кратные корни и производная. Освобождение от кратных корней.
Интерполяционная задача, интерполяционная формула Лагранжа. Рациональ­
ные корни целочисленного многочлена. Многочлены над полем комплексных
чисел. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена над
полями комплексных и вещественных чисел. Простейшие дроби, разложение
правильной дроби в сумму простейших.
Раздел 8. Сравнения и кольца вычетов.
Сравнения и их свойства. Классы вычетов. Теоретико-числовая функция
Эйлера, ее мультипликативность. Полная и приведенная системы вычетов.
Теоремы Эйлера и Ферма. Решение линейных сравнений от одной неизвест­
ной. Китайская теорема об остатках. Кольцо классов вычетов. Обратимые
классы вычетов. Конечные поля.
Раздел 9. Векторные пространства.
Определение и примеры. Система образующих, конечномерные про­
странства. Линейная независимость векторов. Теорема Штейница о замене. Ба­
зис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса.
Матрица перехода, преобразование координат вектора. Подпространство, его
размерность. Ранг системы векторов. Ранг матрицы как размерность линейной
оболочки ее строк, столбцов. Эквивалентность разных определений ранга.
Факторпространство. Сумма и пересечение подпространств, связь их размер­
ностей. Прямая сумма и дополнение подпространств.
Раздел 10. Системы линейных уравнений.
Матричная запись линейной системы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Число решений линейной системы. Однородные системы, усло­
вия существования нетривиального решения. Фундаментальная система реше­
ний. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной
систем. Задание подпространства системой линейных уравнений.
Раздел 11. Линейные отображения векторных пространств.
Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Матрица ли­
нейного отображения. Алгебраические действия над линейными отображе­
ниями. Пространство линейных отображений, его связь с пространством мат­
риц. Композиция линейных отображений. Линейный оператор и его матрица.
Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису. Матрица ком-
8
позиции и суммы линейных операторов. Условия обратимости оператора.
Раздел 12. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и
собственные значения.
Инвариантное подпространство. Сужение оператора на инвариантное
подпространство; индуцированный оператор на факторпространстве. Матрица
оператора при наличии инвариантного подпространства, при разложении про­
странства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственное число
и собственный вектор оператора. Характеристический многочлен оператора,
теорема Гамильтона-Кэли. Собственное подпространство и его свойства. Опе­
ратор, имеющий диагональную матрицу в некотором базисе; критерий диагонализируемости.
Раздел 13. Нормальные формы матриц.
Жорданова матрица. Корневой вектор и корневое подпространство.
Нильпотентный оператор, его характеристический многочлен. Построение
жордановой матрицы нильпотентного оператора. Жорданова матрица произ­
вольного оператора. Циклическое подпространство, клетка Фробениуса. Нор­
мальная форма Фробениуса.
Раздел 14. Многочлены от нескольких переменных.
Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический
порядок. Отсутствие делителей нуля. Симметрические многочлены. Основная
теорема о симметрических многочленах.
Раздел 15. Билинейные и квадратичные формы.
Линейная форма, двойственное пространство. Двойственные базисы.
Билинейная и полуторалинейная форма на линейном пространстве, их матри­
ца. Матрица Грама, ранг формы. Эрмитовы и симметрические билинейные
формы, их матрицы Грама. Ортогональность относительно билинейной сим­
метрической формы, существование ортогонального базиса. Квадратичная
форма и ее матрица. Квадратичная форма как однородный многочлен. Кано­
нический вид. Приведение квадратичной формы к каноническому виду мето­
дом Лагранжа. Нормальный вид вещественной и комплексной квадратичных
форм. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра положитель­
ной определенности квадратичной формы. Знакоопределенные квадратичные
формы. Полуторалинейные и эрмитовы формы.
Раздел 16. Евклидовы и унитарные пространства.
Определение евклидова и унитарного пространства. Длина вектора, угол
между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированные се­
мейства векторов. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации
Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом
или унитарном пространстве. Разложение пространства в ортогональную пря­
мую сумму.
Раздел 17. Линейные операторы евклидовых и унитарных про­
странств.
Сопряженный оператор, его существование и свойства. Инвариантные
подпространства для сопряженных операторов. Условие ортонормальной диа­
гонализуемости оператора. Нормальный оператор в унитарном и евклидовом
9
пространстве. Унитарные и ортогональные операторы, канонический вид их
матриц. Унитарная и ортогональная группы. Самосопряженный оператор. Су­
ществование ортогонального преобразования, приводящего вещественную
квадратичную форму к диагональному виду. Пары форм. Полярное разложе­
ние.
Раздел 18. Введение в теорию групп.
Определение группы, подгруппы, примеры. Гомоморфизм, изоморфизм,
автоморфизм. Порядок элемента. Порождающие множества. Циклические
группы, их классификация. Смежные классы по подгруппе, индекс подгруппы.
Теорема Лагранжа, разложение Лагранжа, следствие о порядке элемента. Нор­
мальная подгруппа. Факторгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. Первая (ос­
новная) теорема о гомоморфизмах, ее применение к вычислению факторгруп­
пы. Связь подгрупп факторгруппы и промежуточных подгрупп. Вторая и тре­
тья теоремы о гомоморфизмах. Прямое произведение групп и разложение
группы в прямое произведение своих подгрупп. Свободные абелевы группы.
Теорема о строении конечно порожденной абелевой группы. Центр и комму­
тант. Критерий абелевости факторгруппы.
Раздел 19. Введение в теорию колец и полей.
Определение кольца, подкольца, поля, подполя, примеры. Мультиплика­
тивная группа кольца. Гомоморфизм, изоморфизм колец, ядро гомоморфизма.
Идеалы колец. Факторкольца. Основная теорема о гомоморфизмах для колец.
Главные идеалы. Идеалы в К[х] и Z. Максимальные идеалы и соответствую­
щие им факторкольца. Внутреннее и внешнее прямое произведение колец.
Строение кольца Z/nZ и арифметические следствия. Характеристика поля.
Простые поля. Степень расширения, конечные расширения. Мультипликатив­
ность степени. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный
многочлен алгебраического элемента. Алгебраические расширения, алгебраичность конечного расширения. Простые расширения полей. Алгебраически
замкнутые поля, алгебраическое замыкание. Поле частных кольца без делите­
лей нуля. Число элементов конечного поля. Теорема о существовании и един­
ственности поля, содержащего р" элементов. Подполя конечного поля. Муль­
типликативная группа конечного поля. Неприводимые многочлены над конеч­
ным полем.
10
ИНФОРМАЦИОННАЯ ЧАСТЬ
Основная литература
1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитиче­
ская геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.
2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгеб­
ра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература,
2000—2001.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние из­
дания).
6. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
8. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.
9. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.
10. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник за­
дач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.
П.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.
12.Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий
и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск:
БГПУ, 2005.
13.Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоя­
тельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.
14.Монахов B.C., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум.
Минск: Изд. центр БГУ, 2007.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Дополнительная литература
Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию
чисел. М.: Мир, 1987.
Бейкер А. Введение в теорию чисел. Мн.: Вышэйшая школа, 1995.
Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука,
1972.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука,
1983.
Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.