9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция задана

80
§9 Дифференцирование неявных функций
Пусть функция y = f ( x ) задана уравнением F ( x , y ) = 0 . В этом случае говорят,
что функция задана неявно .
Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x ,иначе
F ( x , y ( x ) ) = 0 . Другими словами дифференцируем уравнение F ( x , y ( x ) ) = 0 , считая
y сложной функцией, зависящей от x .
Пример Найти производную функции x 2 + 3xy + y 2 + 1 = 0 , заданную неявно.
2 x + 3( y + xy ′) + 2 yy ′ = 0 ,
y ′(3 x + 2 y ) = −2 x − 3 y ,
y′ = −
2x + 3y
.
3x + 2 y
§10 Логарифмическое дифференцирование.
Производная степенно-показательной функции
Логарифмическое дифференцирование. Пусть функция y = f ( x ) дифференцируема на отрезке [a,b] и f ( x ) > 0 ∀x ∈[ a; b] . Тогда определен ln y = ln f ( x ) . Рассматривая ln f ( x ) как сложную функцию аргумента х, можно вычислить производную
функции y = f ( x ) . Применяем правило дифференцирования сложной функции
( ln x ) ′ =
y′
′
′
= ( ln f ( x )) ⇒ y ′ = y( ln f ( x ) ) .
y
Производная от логарифма функции называют логарифмической производной.
Логарифмическое дифференцирование удобно применять, если требуется найти производную большого числа сомножителей:
y = u1 u2 u3 ... un ⇒ ln y = ln u1 + ln u2 + ln u3 +...+ ln un .
u′
y ′ u1′ u2′
= + +...+ n ⇒ y ′ =
y u1 u2
un
⎛ u′ u′
u′ ⎞
y ⎜ 1 + 2 +...+ n ⎟ .
un ⎠
⎝ u1 u2
( x + 1) 2
Пример Найти производную функции y =
.
( x + 2) 3 ( x + 3) 4
ln y = 2 ln ( x + 1) − 3 ln ( x + 2) − 4 ln ( x + 3) ,
1
2
3
4
y′ =
−
−
,
y
x +1 x + 2 x + 3
2
(
3
4 ⎞
x + 1)
⎛ 2
−
−
y′ =
⎟,
3
4 ⎜
(x + 2) (x + 3) ⎝ x + 1 x + 2 x + 3 ⎠
2
2
2(x + 1)
3(x + 1)
4( x + 1)
y′ =
−
−
(x + 2)3 (x + 3)4 (x + 2)4 (x + 3)4 (x + 2)3 (x + 3)5
Производная степенно-показательной функции.
81
Пусть y = u( x )
v( x)
, где u( x ) > 0 . Логарифмируем степенно-показательную функ-
цию
ln y = v( x ) ln u( x ) ⇒
Откуда
y ′ = u( x )
v(x )
y′
u ′( x )
= v ′( x )ln u( x ) + v ( x )
y
u( x )
ln u( x )v ′( x ) + v ( x )u( x )
v ( x )−1
u′( x )
Таким образом, производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции, если ее рассматривать ее сначала как показательную, а затем
как степенную.
§11 Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция y = y ( x ) задана параметрически:
⎧x = ϕ ( t )
t ∈T
(1)
⎨
⎩ y = ψ (t )
Предположим, что ϕ ( t ),ψ ( t ) дифференцируемы для любого t ∈ T и ϕ ′ ( t ) ≠ 0 .
Кроме того будем считать, что функция x = ϕ ( t ) имеет обратную функцию t = ϕ −1 ( t ) ,
которая также дифференцируема. Тогда функцию y = y ( x ) , заданную параметрически
уравнениями (1), можно рассматривать как сложную функцию y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) , по
правилу дифференцирования сложной функции получим y x′ = ψ ′( t )t x′ . Производную
t x′ найдем по правилу дифференцирования обратной функции:
t x′ =
1
1
=
x t′ ϕ ′( t )
Итак, применяя для удобства записей обозначения ϕ ′( t ) = x t′ ,ψ ′( t ) = y t′
окончательно имеем:
y t′
⎧
x = ϕ ( t ), ⎫ ⎪ y x′ =
x t′
⎬⇒⎨
y = ψ ( t ),⎭ ⎪
⎩x = ϕ ( t )
x = a cos t ⎫
⎬.
y = b sin t ⎭
xt′ = − a sin t , yt′ = b cos t ,
Пример Найти производную функции
b cos t
b
⎧
= − ctgt ,
⎪ y ′x = −
a sin t
a
⎨
⎪⎩ x = a cos t.
82
§12 Производные высших порядков
Общие сведения
Производная от функции y = f ( x ) является также функцией от х и может быть
дифференцируема.
Производная от производной функции y = f ( x ) называется производной второd2y
го порядка и обозначается y ′′( x ) , f ′′( x ), 2 . Таким образом
dx
def
′
y ′′( x ) = ( y ′) .
Вторая производная имеет простой механический смысл. Пусть s = s( t ) -закон
движения материальной точки , тогда первая производная определяет скорость движения v = s ′( t ) . Вторая же производная есть скорость изменения скорости движения
т.е. ускорение
a=
dv
= s′′( t )
dt
Аналогично вводятся производные третьего, четвертого и других порядков.
Примеры Найти производные n-го порядков от функций
1) y = ln(1 + x ) ,
2) y = sin x .
Производные высших порядков от функций, заданных неявно
В §9 найдено было правило для нахождения производной функции, заданной
неявно. Для нахождения второй производной необходимо продифференцировать результат еще раз. Для получения производной высших порядков необходимо процесс
дифференцирования провести нужное количество раз.
Пример Найти производную третьего порядка функции, заданной уравнением
2
2
x + y = a2 .
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
Пусть функция y = y ( x ) задана параметрически:
⎧x = ϕ ( t )
t ∈T
⎨
⎩ y = ψ (t )
Поскольку вторая производная от y по x есть первая производная от y x′ по x
то задача нахождения второй производной сводится к нахождению производной от
функций, заданной параметрически :
y t′ ⎫
⎪
x t′ ⎬ .
x = ϕ ( t ) ⎪⎭
y x′ =
Следовательно, по определению первой производной для функции, заданной
параметрически, имеем
83
′ ⎫
y′ ⎫
y x′ ) t ⎪
(
y x′ = t ⎪
x = ϕ(t) ⎫
⎪
x t′ ⎬ ⇒ y x′′ = x ′ ⎬
⎬⇒
t
y = ψ (t )⎭
⎪
x = ϕ ( t ) ⎪⎭ x = ϕ ( t )
⎪⎭
Аналогично третья производная
( y x′′) ′t ⎫
⎪
x t′ ⎬ .
x = ϕ (t ) ⎪⎭
y x′′′=
Пример Найти y ′′′ , если
x = a cos t ⎫
⎬.
y = b sin t ⎭
b
⎧
⎪ y ′x = − ctgt ,
Используем этот результат
Мы ранее получили ⎨
a
⎪⎩ x = a cos t.
1
⎧
−
⎪⎪
b sin 2 t
b
1
⎨ y ′x′ = − a ⋅ − a sin t = − 2a 2 ⋅ sin 3 t ,
⎪
⎪⎩ x = a cos t.
Найдем третью производную
⎧
b − 3 sin −4 t ⋅ cos t
3b cos t
′
′
′
=
−
⋅
=− 3⋅ 5 ,
y
⎪ x
2
− a sin t
2a
2a sin t
⎨
⎪ x = a cos t.
⎩
Замечание Если в формулу для вычисления второй производной y x′′
′
y′ )
(
=
x
t
x t′
y t′
и выполнить дифференцирование по t, можно получить другую
x t′
формулу для вычисления y x′′ :
′
⎛ y t′ ⎞
′
⎜ ⎟ t
y x′ ) t ⎝ x t′ ⎠
(
y ′′x ′ − y ′x ′′
=
y x′′ =
= t t 3t t .
x t′
x t′
( x t′ )
подставить y x′ =
В принятых в механике обозначениях последнюю формулу можно записать в виде :
&&&
&&& ⎫
yx − yx
⎪
3
x&
⎬
⎪⎭
(
)
x =ϕ t
y x′′ =
84
§ 13 Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию y = f ( x ) . Дифференциал этой функции dy = f ′( x ) dx зависит от х и dx = Δx , причем Δx не зависит от х, так как приращение в данной точке х
можно выбирать независимо от х. В этом случае dx в формуле первого дифференциала будет постоянным. Тогда выражение f ′( x ) dx зависит только от х и его можно
дифференцировать по х.
Дифференциал от дифференциала функции y = f ( x ) в данной точке х называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом.
def
d 2 y = d ( dy )
Аналогично
d 3 y = d(d 2 y) .
Найдем формулу для вычисления второго дифференциала
d 2 y = d ( dy ) = d ( f ′( x ) dx ) = d ( f ′( x ) ) dx = ( f ′′( x ) dx ) dx = f ′′( x )( dx ) ,
2
т.е.
d 2 y = f ′′( x )( dx ) .
2
Аналогично получаем
d 3 y = f ′′′( x )( dx )
3
Можно установить справедливость формулы
d ( n ) y = f ( n) ( x )( dx )
В дальнейшем скобки при степенях dx будем опускать:
d ( n ) y = f ( n ) ( x ) dx n
n
Отсюда получаем
f ( n) ( x ) =
d nx
.
dx n
В частности, при n=1,2,3...
f ′( x ) =
d3y
d2y
dy
, f ′′( x ) = 2 , f ′′′( x ) = 3 .
dx
dx
dx
При этом предполагалось. что x - независимая переменная.
Пусть теперь x = ϕ ( t ) . Тогда
dx = d (ϕ ( t ) ) = ϕ ′( t ) dt
Поэтому при вычислении d 2 y = d ( f ′( x ) dx ) будем считать его как дифференциал от
произведения двух функций
d 2 y = d ( f ′( x ) dx ) = d ( f ′( x ) ) dx + f ′( x ) d 2 x =
= ( f ′′( x ) dx ) dx + f ′( x ) d 2 x = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x
Итак
d 2 y = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x
Для дифференциала третьего порядка имеет место формула
d 3 y = f ′′′( x ) dx 3 + 3 f ′′( x ) dxd 2 x + f ′( x ) d 3 x
85
Из полученных формул следует, что при вычислении дифференциалов более
высоких порядков от сложной функции происходит нарушение инвариантности формы.
§ 14 Теоремы о среднем
Теорема Ролля Пусть функция f ( x ) удовлетворяет следующим условиям на
отрезке [a;b]
1) f ( x ) определена и непрерывна на [a;b].
2) f ( x ) дифференцируема на [a;b].
3) f ( a) = f ( b) .
Тогда существует по крайней мере одна точка ξ ∈[ a; b] , такая что f ′(ξ ) = 0 .
> Известно, что если f ( x ) непрерывна на [a;b], то она на отрезке принимает
свое наибольшее М и наименьшее m значения. Возможны два случая:
1. M = m ⇔ f ( x ) = const ⇒ f ′( x ) = 0 ∀x ∈[ a; b]
2. M>m. Тогда из условия f ( a) = f ( b) следует, что одно из двух значений M или
m принимает в некоторой внутренней точке ξ отрезка [a;b]
Пусть для определенности f (ξ ) = m . Это означает, что f ( x ) ≥ f (ξ ) ∀x ∈[ a; b] .
y
0
A
B
a
b
x
Покажем, что f ′(ξ ) = 0 . Согласно условию 2 теоремы для функции f ( x ) существуют конечные производные f ′(ξ ) ∀x ∈(a; b) . Это условие равносильно существованию односторонних пределов :
f (ξ + Δx ) − f (ξ )
∀ξ ∈( a; b) ∃f ′(ξ ) = lim
⇔
Δx
f (ξ + Δx ) − f (ξ )
f (ξ + Δx ) − f (ξ )
⇔ lim
= lim
Δx → 0 − 0
Δx → 0 + 0
Δx
Δx
Найдем односторонние пределы. Так как M>m, то f (ξ + Δx ) − f (ξ ) ≥ 0 ∀ξ ∈( a; b) . СлеΔx → 0
довательно,
86
⎫
f (ξ + Δx ) − f (ξ )
= f ′(ξ − 0) ≤ 0,⎪
Δx → 0 − 0
⎪
Δx
⎬ ⇒ f ′(ξ ) = 0
f (ξ + Δx ) − f (ξ )
⎪
lim
= f ′(ξ + 0) ≥ 0,⎪
Δx → 0 + 0
Δx
⎭
lim
<
Геометрически, теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если непрерывная на отрезке [a;b] и дифференцируемая в интервале (a;b) функция f ( x ) принимает на концах этого отрезка равные значения , то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка С с абсциссой x = ξ , в которой касательная параллельна оси ОХ.
Биографическая справка
Ролль Мишель (Rolle Michel) 21.4.1652 -8.11.1719 французский математик,
член Парижской АН (1685) В "Трактате по алгебре" 1690г. развил метод отделения
действительных корней алгебраических уравнений, основанный на частном случае
теоремы Ролля. Автор исследований, относящихся к решению в целых числах неопределенных линейных уравнений с двумя неизвестными. В 18 веке выступал с критикой исчисления бесконечно - малых Г. Лейбница.
Биографическая справка
Лагранж Жозеф Луи (Lagrange Joseph Louis)
25.1.1736 - 10.4.1813 - французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской
АН (1776),член Парижской АН, Самостоятельно изучал математику. В 19 лет стал профессором в артиллерийской школе Турина, В 1759 избран членом Берлинской АН, а в 1766-87 директором его математического класса. В 1787г переехал в Париж, с 1797 года
професор Политехнической школы.
Наиболее важные труды по вариационному исчислению. Лагранжу принадлежат выдающиеся исследования по различным вопросам математического
анализа ( построение анализа на базе представлений
функций в виде степенных рядов, формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений - формула конечных приращений Лагранжа, теории экстремумов (метод множителей Л.), метод приведения квадратичной формы к каноническому виду в алгебре,
в теории дифференциальных уравнений, теория особых решений, метод вариации
постоянных и др.