А В = +

Алгебра событий
Пример. Что означает событие А ⋅ В .
Решение. Событие А не произойдёт, так же, как и событие В, т. е. нет А и
нет В. Тогда событие А ⋅В означает, что хотя бы одно из событий А или В
имеет место, а это означает сумму событий А+В, т.е. А⋅ В =А+В.
Пример. Когда возможно равенство:
А+ В = А.
Решение. В соответствии с лекцией 6.25 представим события как
попадания в область:
A + А = U ⇒ А = U − A, тогда A + B = U − A; отсюда A + A + B = U . Тогда
A+B = U ⇒ U = А ⇒ A = V ⇒ V+B = U ⇒ B = U.
Задачи.
6.1.1. Когда возможны равенства: А ⋅ В = А ; А + В = А ⋅ В .
6.1.2. Доказать, что C + D = C ⋅ D .
6.1.3. Когда возможно равенство А ⋅ В = А .
6.1.4. Событие А- хотя бы один из трёх проверяемых приборов бракованный,
В- все приборы доброкачественные. Что означает события: А + В ; А ⋅ В .
Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
В соответствии с формулой (6.1) и примерами разделами (6.1) теории,
решить указанные ниже задачи.
Пример. Куб, все стороны которого окрашены, распилен на тысячу кубиков
одинакового размера, которые затем перемешали. Найти вероятность того,
что на удачу извлечённый кубик имеет ни одной окрашенной стороны, одну,
две или три окрашенных стороны.
Решение. Три окрашенных стороны могут только у кубиков, расположенных
в вершинах разрезанного куба, т.е. их число равно 8. Тогда вероятность будет
равна Р3 =
8
= 0,008 .
1000
Две окрашенных стороны расположены по граням разрезанного куба (12
граней), за исключением кубиков, расположенных в вершинах, т.е. число
таких кубиков равно 12 ⋅ 8 = 96 . Тогда вероятность равна Р2 =
96
= 0,096 .
100
Количество кубиков с одной окрашенной стороной равно 8 ⋅ 8 ⋅ 6 , где 6-
8⋅8⋅6
= 0,384 .
1000
Количество кубиков без окрашенных сторон равно 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 512 , т.е.
512
= 0,512 . Эту же вероятность можно получить из
вероятность равна Р0 =
1000
соотношения Р0 = 1 − ( Р1 + Р2 + Р3 ) = 1 − (0,384 + 0,096 + 0,008) = 0,512 .
количество сторон куба. Тогда вероятность равна Р1 =
Пример1. В партии из N деталей имеется n стандартных. На удачу отобраны
m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k
стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно
числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т.е. CN −
числу сочетаний из N элементов по m.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас
событию (среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей
m
k
можно взять из n стандартных деталей C n способами; при этом остальные
m-k деталей должны быть нестандартными; взять же m-k нестандартных
деталей
из
N-n
нестандартных
деталей
можно
m−k
CN−n
k
способами.
m−k
Следовательно, число благоприятствующих исходов равно C n C N − n .
Искомая
вероятность
равна
отношению
числа
исходов,
благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
k
m− k
m
P = Cn ⋅ CN−n / CN
.
Задачи.
6.2.1.На складе имеется 20 кинескопов, причём 10 из них изготовлены
заводом города Елец. Найти вероятность того, что среди пяти взятых на
удачу кинескопов окажутся три кинескопа Елецкого завода.
6.2.2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку на
удачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов пять отличников.
6.2.3. В «секретном » замке на общей оси четыре диска, каждый из которых
разделён на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок
открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на
них составляют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность
того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
6.2.4. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в
партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту
появления бракованных книг.
Решение. относительная чистота события А (появление бракованных
книг) равна отношению числа испытаний, в которых появилось событие А, к
общему числу произведённых испытаний: W ( A) =
5
= 0,05 .
100
6.2.5. При испытании партии приборов относительная чистота годных
приборов оказалось равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего
было проверено 200 приборов.
Геометрические вероятности.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу
поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на
отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его
расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на
отрезок l определяется равенством
P=
Длина l
.
Длина L
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуре
G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания
брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не
зависит ни от её расположения относительно G, ни от формы g, то
вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством
P=
Площадь g
.
Площадь G
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную
фигуру v, которая составляет часть фигуры V:
P=
Объём v
.
Объём V
Задачи.
6.3.1. На отрезке L длины 20 см помещён меньший отрезок l длины 10 см.
Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший
отрезок, попадает также и на меньший отрезок. Предполагается, что
вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и
не зависит от его расположения.
6.3.2. В круг радиуса R помещён меньший круг радиуса r. Найти вероятность
того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадёт также и в малый
круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг
пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
6.3.3. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг
от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r <
a. Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из прямых.
6.3.4. Задача Бюффона (французский естествоиспытатель XVII в.).
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга
на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l<a). Найти
вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую.
6.3.5. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в
определённом месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждёт
второго в течение ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что
встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего
прихода (в промежутке от 12 и 13 часов).