УДК 519.2 Е.В. Сухушина, А.Ф. Терпугов АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ СО СКАЧКАМИ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ Рассматривается авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов с изменением цен в моменты сделок, образующих пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Находятся основные характеристики процесса изменения цены (среднее значение, дисперсия, функция корреляции) и показывается его асимптотическая нормальность. Модели изменения цен финансовых активов в настоящий момент привлекают к себе очень большое внимание, так как они необходимы для прогнозирования цены актива, расчета стоимости вторичных ценных бумаг и т.д. Пусть S t есть цена актива в момент времени t . Тогда при построении модели изменения цены S t обычно переходят к процессу ht по формуле ht = ln(S t | S 0 ) , (1) где S 0 – начальная цена актива (в момент времени t = 0 ). Дальнейшее развитие модели сводится к описанию процесса ht . Одной из наиболее часто используемых моделей процесса ht является авторегрессионная модель. В этом случае считается, что время меняется дискретно с интервалом ∆t , так что t n = n∆t. В случае авторегрессионной модели первого порядка значения hn = h(t n ) процесса ht удовлетворяют уравнению hn = µ + ρ(hn −1 − µ ) + σε n , (2) где µ − среднее значение (тренд) процесса hn ; ρ − коэффициент авторегрессии; σ − волатильность; ε n считаются независимыми стандартными нормальными случайными величинами N (0,1). Однако в приложении к финансовому рынку такая модель не совсем адекватно отражает реальность. Дело в том, что цена актива изменяется и устанавливается в момент сделки, а моменты совершения сделок являются случайными. Представляется естественным считать, что изменения процесса ht происходят лишь в те случайные моменты времени, когда совершаются сделки. Именно эта модель и рассматривается в данной работе. Описание модели Будем считать, что моменты совершения сделок t1 , t 2 , K , t N являются случайными и образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности λ . Пусть hn = h(t n ), т.е. значение процесса ht после совершения сделки в момент времени t n . Для hn снова возьмем модель (1): hn = µ + ρ(hn −1 −µ ) + σε n , но теперь моменты t n будут случайными. Рассмотрим момент времени T . Тогда на интервале [0, T ] было заключено N сделок в моменты времени t1 , t2 ,K, t N . Число сделок N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона: (λT )N e −λT . P(N ) = N! N Обозначим H T = ∑ hn , где число слагаемых N слуn =1 чайно. Тогда в момент времени T S T = S 0 exp(H T ) и для нахождения статистических характеристик процесса S T надо иметь статистическое описание процесса HT . Математическое ожидание и дисперсия Вычислим математическое ожидание и дисперсию процесса HT , считая λT >> 1, т.е. считая, что на интервале T было много сделок. Для этого запишем hn в ∞ виде hn = µ + σ∑ ρ s ε n −s . Тогда ясно, что M {hn } = µ и s =0 cov(hn , hk ) = N σ2 n− k ρ [1]. Так как H T = ∑ hn , то 2 1− ρ n =1 { } при фиксированном N имеем M HT N = µN и, усредняя еще и по N с учетом того, что для распределения Пуассона M {N } = λT , получим M {H T } = µλT . N N Для H T2 можно записать H T2 = ∑ ∑ hn hk . Так как n =1 k =1 M {hn , hk } = µ 2 + cov( hn , hk ) = µ 2 + σ2 ρ n− k , 1 − ρ2 фиксированном N 2 N N σ n−k M H T2 N = µ 2 N 2 + × × ∑ ∑ ρ . Суммируя 1 − ρ2 n =1 k =1 по диагоналям, получим то при { N N ∑∑ ρ } n−k n =1 k =1 N −1 = N + 2 ∑ (N − s )ρ s . При больших N асиs =1 ρ ∞ s =1 N >> 1 N (1 − ρ)2 N ∞ s =1 s =1 N ∑ ρs ~ N ∑ ρs = N мптотически ~ ∑ sρ s = N −1 ∑∑ ρ } N −1 ∑ sρ s ~ s =1 , и поэтому асимптотически при n−k = N + 2N n =1 k =1 { ρ , 1− ρ M H T2 N = µ 2 N 2 + σ2 (1 − ρ)2 1+ ρ ρ =N , так что 1− ρ 1− ρ N . Усредняя еще и по N с учетом того, что для распределения Пуассона 2 2 M N 2 = (λT ) + λT , получим M H T2 = µ 2 (λT ) + { } { } 1 , так что для дисперсии величи σ2 . ны HT имеем выражение D{HT } = λT µ 2 + (1 − ρ)2 σ2 + λT µ 2 + (1 − ρ)2 Докажем, что при λT → ∞ величина HT сходится по распределению к нормальной случайной величине. Пусть число событий N фиксировано. Тогда характеристическая функция величин h1 , h2 , K , h N с учетом нормальности величин ε k имеет вид [2]: N M expi ∑ ω n hn N = n =1 N N N σ2 n−k ωn ωk ρ = exp iµ∑ ω n − ∑ ∑ 2 2 1 − ρ n =1 k =1 n =1 Функция корреляции процесса HT Пусть T и T / – два момента времени. Найдем явное выражение для функции корреляции R T , T / процесса ( ( ) ) HT , где R(T , T ) = cov HT , HT / . Будем считать, что / ( N N/ ) T > T и λ T − T >> 1 . Тогда H T H T / = ∑ ∑ hn hk и / / { n =1 k =1 } σ2 N N n− k ∑ ∑ρ . 1 − ρ2 n = 1 k = 1 Суммируя по диагоналям, получим / M HT HT / N , N / = µ 2 NN / + ∑ ∑ ρ n − k = N (1 + ρ+K+ρ N N N. n =1 k = 1 N −1 + / N −1 −N ∑ ( N − s)ρ s + ∑ ( N − s)ρ N s =1 / − N +s ∑ (N − s )ρ s s =1 N −1 ∑ ( N − s)ρ N / − N +s s =1 ∞ ~ N ∑ ρs = N s =1 ~ N ∑ρ N / − N +s s =1 и асимптотически при N/ ∑∑ρ N , N >> 1 n−k = n =1 k =1 / / ρ ρ N − N +1 1 − ρ N − N +1 1+ ρ =N +N +N =N . 1− ρ 1− ρ 1− ρ 1− ρ { +N σ2 (1 − ρ)2 } ( ) M HT HT/ N, N / = µ2 N N / − N + N + Подставляя и усредняя по N и N / − N , получим { } ( ) ) = M {H ( ) }− µ λ TT M H T H T / = µ 2 (λT ) + λT + µ 2 λ2T T / − T + + λT σ 2 (1 − ρ)2 2 ( , т.е. R T , T / T HT/ 2 2 / = σ 2 . Учитывая симметричность фун= λT µ 2 + (1 − ρ)2 кции корреляции по обоим аргументам, окончательно запишем 2 σ R T , T / = λ µ 2 + min T , T / и для коэффи2 (1 − ρ) ( ) ( M {exp{ωH T } N } = M expiω ∑ hn N , и получим из n = 1 предыдущего выражения, положив в нем все ω n = ω : ) циента корреляции значений HT / и HT / corr( HT , HT / ) = min T / , T T . T Асимптотическая нормальность процесса HT N N ∑∑ ρ n−k σ 2 ω 2 −1 . g H = expλT expiωµ − 2 2(1 − ρ) Перейдем к нормированной величине H − M {H T } H T − µλT ~ . HT = T = D{H T } 2 σ2 λT µ + (1 − ρ)2 Для нее кумулянтная функция имеет вид ωµ σ 2 ω2 ϕ H~ (ω) = λT expi − − 1 − 2 λTs 2 2(1 − ρ) λTs 2 λTµω −i , где для краткости обозначено s2=м2+ 2 Tλ s σ2 . Разложим экспоненту в ряд Тейлора: + (1 − ρ)2 , откуда очевидно, что при ~ ω2 λT → ∞ lim ϕ H~ (ω) = − и H T сходится по распреN →∞ 2 делению к стандартной нормальной случайной величине. Аналогичными выкладками можно показать, что ~ при λ → ∞ процесс H T сходится по распределеϕ H~ (ω) = − 1 ω2 + ο 2 λT нию к нормальному случайному процессу. ЛИТЕРАТУРА 2 σ 2 ω 2 N N n−k ∑ ∑ ρ . 2(1 − ρ 2 ) n =1 k =1 1+ ρ ~N , так что 1− ρ σ 2 ω 2 N . 2 2(1 − ρ ) Усредняя еще и по N , получим характеристическую функцию величины H T в виде ρN − N +s =N , 1− ρ N n =1 M {exp{ωH T } N } = exp(iωµN − ρ , 1− ρ / N ∑ hn . Тогда N n =1 k =1 . / ∞ HT при фиксированном N равна При N >> 1 Но при больших N асимптотически N −1 ) M {exp{ωH T } N } = exp(iωµN − )+ s =1 ( . 1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с. 2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с. Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г. 3