Оценивание опционов европейского типа с учетом

УДК 519.2
Т.В. Калашникова, А.Ф. Терпугов
ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА
С УЧЕТОМ КОРРЕЛИРОВАННОСТИ ПРИРАЩЕНИЙ ЦЕН
Показывается, что формула Блэка-Шоулса для справедливой цены опционов европейского типа верна для более общей
модели изменения цены, нежели модель Самуэльсона.
Нахождение справедливой цены производных ценных бумаг является одной из основных проблем финансовой математики. Начало этим исследованиям положила знаменитая статья Ф. Блэка и М. Шоулса [1], посвященная нахождению справедливой цены опционов европейского типа. Эта формула выведена для так называемой модели Самуэльсона [2]. Ниже
показывается, что эта формула верна для более общей модели изменения цены, включающей в себя, как частный случай,
модель Самуэльсона.
Описание модели изменения цены
Пусть St – цена финансового актива в момент
времени t. Перейдем от процесса St к процессу
ht = ln (S t S 0 ) .
(1)
Тогда в модели Самуэльсона считается, что процесс ht описывается стохастическим дифференци
σ2 
dt + σ dwt , где µ
альным уравнением dht =  µ −
2 

– коэффициент тренда, σ – коэффициент волантильности, а wt – стандартный винеровский процесс.
Более общей моделью процесса ht является модель
dht = a(ht , t )dt + σ dwt ,
(2)
учитывающая, что коэффициент сноса a(ht , t ) также
может зависеть от ht , и приводящая к коррелированности
σ2
она перехозначений процесса ht . При a(ht , t ) = µ −
2
дит в модель Самуэльсона.
Вывод уравнения для цены актива
через самофинансируемый портфель
Пусть имеется безрисковый актив с процентной
ставкой r, так что если через Вt обозначить цену
этого актива в момент времени t, то имеет место
соотношение
dBt = rBt dt.
(3)
Сформируем портфель, (β t , γ t ), состоящий в
момент времени t из β t безрисковых активов и γ t
рисковых ценных бумаг. Стоимость рисковых ценных бумаг в момент времени t равна
П t = β t Bt + γ t S 0 e ht .
(4)
Пусть V (ht , t ) – стоимость производной ценной бумаги (опциона, фьючерса) в момент времени t. Потребуем, чтобы стоимость нашего портфеля полностью повторяла стоимость производной ценной бумаги, т.е. чтобы
для лю-бых моментов времени t выполнялось соотношение
П t = V (ht , t ); dП t = dV (ht , t ).
(5)
Кроме того, будем рассматривать лишь самофинансируемые портфели, когда верно соотношение
dβ t Bt + dγ t S 0 e ht = 0.
(6)
Используя формулу Ито, получим
1 ∂ 2V 2
∂V
∂V
dht =
dht +
dt +
dV (ht , t ) =
2 ∂ht2
∂ht
∂t
 ∂V ∂V
σ 2 ∂ 2V 
∂V
dwt . (7)
a(ht , t ) +
dt + σ
+
=
2 
2
ht
t
h
∂
∂
∂
∂ht 
t

Для портфеля, используя формулу Ито, получим
1


dП t = β t rBt dt + γ t S 0 e ht  dht + dht2  =
2


2

ht
ht σ 
= β t rBt + γ t S 0 e a(ht , t ) + γ t S 0 e
 dt +
2 

+ γ t S 0 e ht σ dw t .
Условие dП t = dV (ht , t ) дает уравнения
β t r Bt + γ t S 0 e ht a(ht , t ) + γ t S 0 e ht
=
σ2
=
2
σ 2 ∂ 2V
∂V ∂V
,
+
a(ht , t ) +
2 ∂ht2
∂t ∂ht
∂V
.
∂ht
Сюда же надо добавить условие
β t Bt + γ t S 0 e ht = V (ht , t ).
γ t S 0 e ht σ = σ
Из уравнения (10) имеем γ t S 0 e ht =
(8)
(9)
(10)
(11)
∂V
. Подстано∂ht
вка этого выражения в (11) дает
∂V
.
∂ht
Подставляя все это в (9), получим

∂V  ∂V
σ 2 ∂V
=
r V (ht , t ) −
a(ht , t ) +
+
∂ht  ∂ht
2 ∂ht

∂V ∂V
σ 2 ∂ 2V
=
+
a(ht , t ) +
,
∂t ∂ht
2 ∂ht2
β t Bt = V (ht , t ) −
и видно, что слагаемые, содержащие функцию a(ht , t ),
сокращаются и для V (ht , t ) получается уравнение, не
зависящее от коэффициента сноса a(ht ,t ) :
σ 2  ∂V σ 2 ∂V
∂V 

+
− rV (ht , t ) = 0.
+  r −
2  ∂ht
2 ∂ht
∂t 
Переход к переменной S t = S 0 e ht приводит к обычному уравнению Блэка-Шоулса
∂V
∂V σ 2 S t2 ∂ 2V
+ r St
+
− rV = 0,
∂t
∂S t
2 ∂S t2
т.е. формула Блэка-Шоулса верна для более общей
модели процесса ht. Результаты, отличные от фор-
147
мулы Блэка-Шоулса, получаются лишь тогда, когда
коэффициент волатильности σ 2 станет зависеть от
ht так как в этом случае коэффициенты при
∂ 2V ∂ht2 и ∂V ∂ht станут переменными, зависящими от ht, что и приведет к результирующей формуле, отличающейся от формулы Блэка-Шоулса.
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Black,, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of political economy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637–659.
2. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики
Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
148