УДК 519.7 При определении собственных частот колебаний оболочек экспериментаторы встречаются с

УДК 519.7
С.А. Тусупова
ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ АСИММЕТРИИ ОБОЛОЧЕК НА СПЕКТР
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ
При определении собственных частот колебаний оболочек экспериментаторы встречаются с
рядом трудностей, преодоление которых немыслимо без знания особенностей спектров
собственных частот. Рассмотрим некоторые основные сведения, необходимые при проведении
экспериментальных исследований.
Мода колебаний оболочек полностью определяется двумя параметрами m и n, равными
числу продольных полуволн и окружных волн деформаций соответственно. Частотное уравнение
для фиксированных m и n дает три действительных корня [5]. Это обстоятельство свидетельствует
о том, что любой моде колебания соответствуют три собственные частоты, связанные с
единственным соотношением амплитуд колебаний по трем направлениям. Для тонких оболочек
значения двух частот на целый порядок превышают третью частоту и лежат почти всегда в
ультразвуковой области [6].
Низкая частота, представляющая наибольший практический интерес, соответствует
максимальной амплитуде колебания в направлении нормали к срединной поверхности оболочки.
Количество мод колебаний неограниченно, так как любое число продольных полуволн
может сочетаться с любым числом окружных волн деформаций.
Совокупность частот колебаний, соответствующих всевозможным модам, называют
спектром собственных частот оболочки. Снизу спектр ограничен минимальной (основной)
частотой, сверху его условно ограничивают высшими звуковыми частотами. Однако, на практике
ограничение сверху накладывается отсчетом, за которым амплитуды возбуждаемых колебаний
настолько малы, что определение резонансов становится сомнительным.
Спектр собственных частот тонких оболочек существенно отличается от спектров частот
таких упругих тел, как струны, балки, мембраны и плиты. Это различие заключается в характере
следования частот в возрастающем порядке. Для поперечных колебаний однородной свободно
опертой балки располагаются пропорционально n 2 . Для прямоугольной мембраны частоты
поперечных колебаний следуют зависимости:
 m;n ~
m2 n2

;
a2 b2
для свободно опертой плиты
 m;n ~
m2 n2

;
a2 b2
где m и n – целые числа, a и b – линейные размеры.
Собственные частоты балок, мембран и плит при других краевых условиях и формах имеют
менее регулярный характер следования, чем приведенный выше, однако, общие закономерности
идентичны.
В противоположность этому исследования спектров собственных частот оболочек показали,
что расположение частот исключительно редко подчиняется какому-либо простому правилу.
Кроме того, спектр собственных частот оболочек обладает значительно большей плотностью и
сильной неоднородностью в области высоких значений частот.
Для иллюстрации сказанного достаточно указать на странное явление, обнаруженное в
первых исследованиях [1, 6] и заключающееся в том, что минимальной (основной) частоте
колебаний оболочки соответствует далеко не самая простая мода колебания. Если при этом,
m  1 , то значение n , присущее этой моде, зависит от физических свойств и геометрических
размеров оболочки и может быть весьма большим. Неожиданная на первый взгляд аномалия была,
затем теоретически объяснена на основании анализа энергий деформации для различных мод
колебаний.
Экспериментально установлено также, что различные условия по разному воздействуют на
регулярность следования собственных частот оболочек. Так, увеличение относительной длины или
толщины оболочки приводит к вырождению частоты аномалии [3]. Аналогичное действие оказывает
увеличение внутреннего давления [7]. И наоборот, заполнение оболочки жидкостью или нагружение
ее статическими моментами почти всегда ухудшает регулярность следования собственных частот [2,
9].
Все теории колебания упругих систем основываются на допущении об идеальности
динамических свойств тел. В случае цилиндрических оболочек считают, что оболочка изотропна,
однородна, идеально круговая, то есть динамически симметрична. В действительности это не
имеет места, так как оболочки, используемые в экспериментах, почти всегда имеют продольные
клеевые или сварные швы и неизбежные отклонения от идеальной формы поперечного сечения.
Иногда динамическая асимметрия вводится конструктивно - подкреплением оболочек элементами
жесткости или ослаблением стенок.
Исследуя узловую картину динамически совершенной оболочки, колеблющейся на одной из
собственных частот, можно установить, что по окружности поперечного сечения оболочки
располагается четное число радиальных узлов, положение которых определяется только местом
приложения возбуждающей силы. Таким образом, при отсутствии асимметрии каждая точка
окружности может стать радиальным узлом. При этом максимальное перемещение стенки
оболочки наблюдается непосредственно в точке приложения возбуждающей силы.
Если возбуждать колебания оболочки, обладающей значительной асимметрией, то
максимальное перемещение стенки в общем случае не будет совпадать с точкой приложения силы.
Вращая вибратор по окружности оболочки, можно обнаружить два положения, в которых
амплитуда радиальных перемещений наибольшие [10]. По амплитуде частотные кривые, снятые в
этих точках, имеют по одному резонансному пику (рис. 1а)
Рис. 1
Об этом свидетельствуют и фазовые соотношения между возбуждающей силой и
радиальным перемещением (рис. 1б). Резонансные частоты f1 и f 2 , соответствующие
максимумам радиальных перемещений, также не совпадают, причем различие между ними
увеличивается с возрастанием степени динамических несовершенств.
Если возбуждающая сила действует в одном из промежуточных положений, то амплитудночастотная кривая имеет вид, обусловленный суперпозицией кривых для точек 1 и 2 с учетом углов
между узловыми точками и точкой приложения силы.
Основываясь на этих исследованиях, можно сделать следующие выводы:
1. наличие несовершенств исключает неопределенность угловой координаты радиальных
узлов;
2. для каждой моды колебания существуют две узловые конфигурации, которым
соответствуют различные собственные частоты;
3. разность между этими частотами зависит от меры существующих несовершенств.
Для динамически совершенных оболочек собственные частоты f1 и f 2 совпадают. Две
различные узловые конфигурации и соответствующие им частоты для одной и той же моды
колебания наблюдались при исследовании спектров частот оболочек с продольными сварными
швами [8, 10] и оболочек с продольными элементами жесткости [4].
ЛИТЕРАТУРА
1.Бреславский В.Е. О колебаниях цилиндрических оболочек, Инженерный сборник, 1953, 16, ч.109118.
2.Вейнгаартен. Свободные колебания тонкостенной цилиндрической оболочки, находящейся под
действием изгибающего момента, Ракетная техника и космонавтика, 1965, 3, № 1, с. 171 – 176.
3.Ефимов В.Е. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при некоторых граничных условиях,
Изв. ВУЗов, Машиностроение, 1962, № 2, с. 96-104.
4.Меньшов А.И. Влияние элементов жесткости на частоты свободных колебаний круговых
цилиндрических оболочек. Инженерный журнал, 1964, 4, № 4, с.773-781.
5.Флюгге. Статика и динамика оболочек, Госстройиздат, Москва, 1961.
6.Arnold R.N., Warburton B.B. Flexural vibrations of the walls of thin cylindrical shells having free
supported ends, Proc. of the Roy.Soc. of London, (A), 1949, p. 238.
7.Fung Y.C., Sechler E.E., Kaplan A. On the vibration of thin cylindrical shells under internal pressure, J.
Aeronaut. Sci., 1957, V.24, # 9, p.650-660.
8.Koval L.R. Note of the effect of dynamic asymmetry on the vibration of cylindrical shells, J. Acoust. Soc.
of Amer., 1963, V. 35, #32, p.252-253.
9.Lindholm A., Ormicki A., Kana D.D., Abramson H/. Breathing vibrations circular cylindrical shell filled
liquid., J. Aero/ Space Sci., 1962, v 29, p. 1052 -1059
10. Tobias S.A. A theory of imperfection for the vibrations of elastic bodies, of revolution, Engineering,
1951, 172, p.409-411.
11. Triol J. Etude des modes fondamentaux de respiration des reser voirs de fluids cryogeniues, J. de
mechanique, 1965, 4 # 2, 133-150.
12. Warburton G.B. Free vibrations of thin cylindrical shells having finite lengths with freely supported and
clamped edges, J. Appl. Mech., 1956, # 3, p.484-487.
13. Wengarten V.I. Investigation of the free vibrations of multilayered cylindrical shells, Experimental
Mech., 1964, V. 4, # 7, p.200-205.
14. Yu-Yi-Yuan. Vibrations of thin cylindrical shells analyzed by means of Donnell-type equations, J. Aero/
Space Sci., 1958, V. 25, # 11, p.699-715.
15. Yu-Yi-Yuan. Viscoelastic damping of vibrations of sandwich plate and shells, Bull. de l’academie
polonaise des sciences, 1964, # 11, a, p. 45.
Резюме
Мақалада, асимметриялы қабыршықтың меншікті тербеліс жиілігі спектрінің ерекшеліктері
қарастырылған. Талдау, эксперименттік зерттеу тұрғысынан жүргізілген. Қабыршықтың динамикалық
асимметриясының, меншікті тербеліс жиілігінің спектріне әсері көрсетілген. Асимметриясы біршама
қабыршық тербелісін қоздырудың эксперименттік мәліметтері келтірілген. Жұмыс қортындылары
келтірілген.
Summary
The features of the spectrums of the natural frequencies of oscillations of asymmetric shells has been
covered. The analysis has been done basis on experimental research. The influence of the dynamic asymmetry of
shells on spectrum of the natural frequencies of oscillations has been shown. The experimental data on stimulation
of oscillation of significantly asymmetric shell has been presented. The conclusions are given.
Key words: dynamic asymmetry – динамическая асимметрия, shell – оболочка, natural frequencies –
собственные частоты, oscillations – колебания.
Поступила 5.06. 2010 г.