Раздел 4 Элементы коммутативной алгебры

Раздел 4
Элементы коммутативной алгебры
§14.
Целые расширения колец
В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей , а
гомоморфизмы колец предполагаются отображающими единицу в единицу.
14.1. Целые элементы.
b ∈ B называется целым
Рассмотрим коммутативное кольцо
над
A, если он удовлетворяет условиям идущей далее лем. 14.1.
Лемма 14.1
Следующие три свойства элемента
(1)
bm = a1 bm−1 +
(2)
A-линейная
···
+
B и его подкольцо A ⊂ B . Элемент
b ∈ B попарно эквивалентны:
am−1 b + am для некоторого m ∈ N и некоторых a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A;
оболочка всех целых неотрицательных степеней
ждается над
A конечным числом элементов;
bm
(с
m
>
0) линейно поро-
A-подмодуль M ⊂ B , такой что bM ⊂ M и для каждого
что b0 = 0 (это последнее условие иногда называют B -
(3) существует конечно порожденный
b
0
∈
B
из
bM
0
= 0 вытекает,
точностью подмодуля
Доказательство.
что
M)
Импликации (1)
e1 ; e2 ; : : : ; em порождают M
⇒
над
(2)
⇒
(3) очевидны. Чтобы вывести (1) из (3), допустим,
A и что A-линейный оператор умножения на b:
M
m7→bm -
представляется в этих образующих матрицей
(
Y
M
∈ Matm (A),
т. е. действует по правилу
be1 ; be2 ; : : : ; bem ) = (e1 ; e2 ; : : : ; em ) · Y :
(14-1)
X · E = X · X ∨ , где X | произвольная квадратная матрица, E |
единичная матрица того же размера, что и X , а X ∨ | присоединённая к матрице X матрица из
алгебраических дополнений к элементам матрицы X t , вытекает, что образ оператора умножения на det X содержится в линейной оболочке столбцов матрицы X . Поэтому образ оператора
умножения всех элементов модуля M на число det(bE − Y ) ∈ B содержится в линейной оболочке векторов (e1 ; e2 ; : : : ; em ) · (bE − Y ) , которая равна нулю согласно (14-1). Таким образом,
det(bE − Y ) · M = 0, откуда det(bE − Y ) = 0 в силу B -точности M . Так как все элементы матрицы
Y лежат в A, соотношение det(bE − Y ) = 0 имеет вид, требуемый в условии (1).
Из матричного тождества det
Определение 14.1
b ∈ B , целых над данным подкольцом A ⊂ B , называется целым замыканием A
в B . Если оно не содержит ничего, кроме элементов самого A, то A называется целозамкнутым
в B . Наоборот, если все b ∈ B целы над A, то B называется целым расширением кольца A или
целой A-алгеброй .
Множество всех
Предложение 14.1
A ⊂ B любого подкольца A ⊂ B является подкольцом в B . Для любого кольца
C ⊃ B всякий элемент c ∈ C , целый над A, цел и над A.
Целое замыкание
121
14.1. Целые элементы
pm = xm−1 pm−1 + · · · + x1 p + x0 , qn = yn−1 qn−1 + · · · + y1 q + y0 для
p; q ∈ B , x ; y ∈ A, то A { модуль, натянутый на pi qj с 0 6 i < m, 0 6 j < n, является B -точным
(ибо содержит 1) и переходит в себя при умножении как на p + q , так и на pq . Аналогично, если
Доказательство.
Если
cr = zr−1 cr−1 +
6
(
6
r − 1)
+
z1 c + z0 ; zkmk = ak;mk −1 z mk −1 +
···
+
ak;1 zk + ak;0
ak;` ∈ A , то умножение на c сохраняет B -точный A-подмодуль,
j j
jr
порождённый произведениями ci z11 z22 · · · zr с 0 6 i < r и 0 6 jk < mk .
где 0
k
···
и все
Следствие 14.1 (лемма Гаусса { Кронекера { Дедекинда)
f; g ∈ B [x] | приведённые
h(x) = f (x)g(x)
целы над A если и только если все коэффициенты и у f (x) и у g (x) целы над A.
Пусть
A⊂B
| произвольное расширение коммутативных колец, и
многочлены положительной степени. Тогда все коэффициенты произведения
Доказательство.
f и g целы над A, то коэффициенты fg тоже целы над A,
Если коэффициенты
так как целые элементы образуют кольцо. Чтобы показать обратное, рассмотрим какое-нибудь
кольцо
C ⊃ B , над которым f
f (x) =
Y
(
g полностью разлагаются на линейные множители1 :
и
x − ) ; g(x) =
(
=
Q
(
x − )
x − ) ;
для некоторых
; ∈ C :
(x − ) целы над A, то ; целы над целым
A в C , а значит и целы и над самим A. Поскольку коэффициенты f и g являются
многочленами от и , они тоже целы над A.
14.1.1. Пример: кольцо Z целозамкнуто в поле Q ⊃ Z. Действительно, если дробь p=q c
взаимно простыми p; q ∈ Z такова, что
Если все коэффициенты
h(x)
Y
Q
замыканием
pm
qm
=
a1
pm−1
+
qm−1
···
+
am−1
ai ∈ Z, то pm = a1 qpm−1 + · · · + am−1 qm−1 p + am qm
и q возможно только если q = ±1.
с
14.1.2. Пример: целые алгебраические числа.
векторное пространство над
Q.
Элементы
z
∈
K
p
+a
q m
делится на
Пусть
K
q, что при взаимно простых p
⊃ Q
| поле, конечномерное как
называются алгебраическими числами . Усло-
вие (3) лем. 14.1 означает, что алгебраическое число
z
является целым над
тогда, когда существует инвариантное относительно умножения на
z
и некоторый базис в нём, такие что оператор умножения на
z:W
x7→zx -
Z
тогда и только
z подпространство W
⊂K
W
записывается в этом базисе целочисленной матрицей. Именно таким образом целые алгебраические числа и были впервые определены в XIX веке Дедекиндом. Введённое выше понятие целого
элемента исторически возникло как обобщение определения Дедекинда на произвольные ком-
мутативные кольца.
!2 + ! + 1 = 0. Поскольку все
целые над Z элементы Q лежат в Z, достаточно исследовать только числа ∈ Q[! ] r Q. Такое
Опишем, для примера, все целые числа в поле
K
=
Q[! ],
где
число можно записать в виде
=
p1 + p2 !
;
q
где
Если существует ненулевой вектор
умножение на
1
F
такое кольцо
=
h(x)
B [x]=(h)
p1 ; p2 ∈ Z, q ∈ N, p2 6= 0 и нод(p1 ; p2 ; q) = 1 :
(14-2)
w ∈ W , такой что · w = z · w с z ∈ Z, то = z ∈ Z . Если же
записывается целочисленной матрицей в некотором базисе всего пространства
C
можно построить индукцией по deg h: если
6=
Qκ
h
как подкольцо классов констант, и поскольку класс
= (x − κ ) · h1 (x) в
F [x],
и либо
h1
= 1, либо по индукции
h1
=
1, то
=
B
вкладывается в фактор кольцо
x (mod h)
∈
F
является корнем
(x − c ) над некоторым кольцом
C
h,
то
⊃F ⊃B
122
K,
§14. Целые
то след tr ( ) и определитель det( ) оператора умножения на
лежат в
расширения колец
Z.
Так как след
и определитель линейного оператора не зависят от выбора базиса, а в базисе 1
умножения на
имеет матрицу
p1 =q
p2 =q
−p2 =q
(p1 − p2 )=q
;!
оператор
p1 − p2 = q · tr ( ) делится на q, а p21 − p1 p2 + p22 = q2 · det( ) делится на q2 .
Но тогда разность (2p1 − p2 )2 − (p21 − p1 p2 + p22 ) = 3p1 (p1 − p2 ) тоже делится на q 2 . Это возможно
только тогда, когда каждый простой делитель числа q делит p1 или p1 − p2 . Если делит p1 ,
то в силу того, что 2p1 − p2 делится на q , будет делить также и p2 , что противоречит условию
нод(p1 ; p2 ; q ) = 1. Если делит p1 − p2 , то опять же, в силу того, что 2p1 − p2 делится на q ,
будет делить p1 , что, как мы уже видели, невозможно. Мы заключаем, что у q нет простых
делителей, т. е. q = 1. Таким образом, целые элементы поля Q[! ] исчерпываются целыми числами
Кронекера a + b! с a; b ∈ Z .
√
√
мы заключаем, что 2
Упражнение 14.1. Опишите все целые над
числа в полях
Z
3],
Q[
Q[
5] и
Q[i],
где
i
2
=
−1.
Отметим, что подходящее целочисленное кратное произвольного алгебраического числа
K ⊃ Q является целым алгебраическим числом, поскольку если удовлетворяет уравнению
∈
a0 n + a1 n−1 + · · · + an−1 + an = 0
с целыми коэффициентами
ai ∈ Z, то число n-тая степень числа = a0 будет выражаться через
меньшие свои степени с целыми коэффициентами:
n = an0 n = −an0 a1 n−1 − an0 a2 n−2 − · · · − an0 an = −a0 a1 · n−1 − a20 a2 · n−2 − · · · − an0 an · 0 :
В частности, у любого конечномерного как векторное пространство над
можно выбрать базис над
Q,
14.1.3. Пример: инварианты действия конечной группы.
B кольцевыми автоморфизмами g : B
ствует на кольце
Q
поля
K
⊃Q
всегда
состоящий из целых алгебраических чисел.
BG
def
=
∼
-
Пусть конечная группа
B . Подкольцо
G
дей-
{a ∈ B | ga = a ∀ g ∈ G }
G на B . Если G-орбита элемента b ∈ B состоит
b1 = b; b2 ; b3 ; : : : ; bn , то элемент b является корнем приведённого многочлена
называется подкольцом инвариантов действия
из элементов
B (t) =
Таким образом,
Y
(
t − bi ) ∈ B G [t] :
B цело над подкольцом инвариантов B G ⊂ B .
14.1.4. Пример: характер конечномерного представления конечной группы
C
G над полем
является целым алгебраическим числом. В самом деле, поскольку каждый оператор
аннулируется многочленом
|G|
t
− 1,
g являются
g тоже цел над Z .
все собственные значения оператора
этого многочлена и, стало быть, целы над
Z.
Поэтому след tr
Теорема 14.1
Размерность любого комплексного неприводимого представления конечной группы
G : Z (G)] центра Z (G) группы G.
g
∈
G
корнями
G делит ин-
декс [
Доказательство.
что dim
V
Пусть представление
G
делит |
%
:
C[G]
- End(V ) неприводимо. Покажем сначала,
| . Согласно n◦ 14.1.1, для этого достаточно показать, что число
является целым над
Z.
Поскольку представление
|G|= dim V ∈ Q
% неприводимо, скалярный квадрат его характера равен единице:
V ; V ) =
1=(
1
|G|
X
g ∈G
% g−1 ) · tr %(g) :
tr (
(14-3)
123
14.1. Целые элементы
g 7→ tr %(g−1 ) постоянна на классах сопряжённых элементов. Обозначим её значение на
классе K ∈ cl(G) через (K ) ∈ C. Будучи суммой комплексных корней степени |G| из единицы,
(K ) является целым над Z комплексным числом. Из (14-3) вытекает, что
Функция
|G|
dim
=
V
1
dim
V
X
% g−1 ) · tr %(g) =
X
tr (
g ∈G
K ∈clG
(K ) ·
1
dim
V
X
· tr
%( g ) :
(14-4)
g ∈K
Итак, достаточно проверить, что каждое из чисел
1
является целым. Элемент
V
=
P
g ∈K
dim
g ∈K
g
· tr
V
%
g
X g ∈K
лежит в конечно порождённом
Z-подмодуле
P
центра груп-
zg g с zg ∈ Z. Умножение на любой такой элемент m переводит этот подмодуль в себя. В представлении % каждый
такой элемент m действует оператором %(m), перестановочным со всеми операторами из группы G. Из неприводимости представления % и леммы Шура вытекает, что все операторы %(m)
являются скалярными гомотетиями: %(m) = m · IdV , причём коэффициенты m этих гомотетий
составляют конечно порождённый Z-подмодуль в C, а умножение на каждое из чисел m переводит этот подмодуль в себя. Таким образом, все числа m являются целыми над Z. В частности,
цел над Z и коэффициент гомотетии %(gK ) = · IdV . Но
повой алгебры
C[G],
gK
dim
1
X
· tr
%( g ) =
образованном всеми центральными элементами
1
dim
V
% gK )
dim V
tr (
X
· tr
%( g ) =
g ∈K
Итак, правая часть (14-4) цела над
Z,
· IdV )
dim V
tr (
=
=
m=
:
что и требовалось.
Докажем теперь утверждение теоремы. Достаточно убедиться, что все натуральные степени
G : Z (G)]= dim V
рационального числа [
[
G : Z (G)]
dim V
n
содержатся в конечно порождённом
Z·
1
dim
V
Z-подмодуле
⊂ Q:
Gn = G × G × · · · × G в пространстве W
· · · ⊗ vn 7→ %(g1 )v1 ⊗ %(g2 )v2 ⊗ · · · %(gn )vn .
Для этого рассмотрим представление группы
g1 ; g2 ; : : : ; gn ) : v1 ⊗ v2 ⊗
заданное правилом (
=
V ⊗n ,
Упражнение 14.2. Убедитесь, что это представление неприводимо.
Подгруппа
C
⊂
Gn ,
состоящая из элементов (
c1 ; c2 ; : : : ; cn )
с
ci
∈
Z (G)
и
c1 c2 : : : cn
= 1, со-
держится в ядре этого представления, поскольку по лемме Шура каждый центральный элемент
ci
действует в неприводимом представлении
%
умножением на некоторую константу, и в силу
%(c1 c2 : : : cn ) = 1 произведение этих констант равно единице. Подгруппа C лежит в
и имеет порядок |Z (G)|n−1 . Таким образом, пространство W размерности (dim V )n
является неприводимым представлением фактор группы Gn =C порядка |G|n =|Z (G)|n−1 . По уже
равенства
центре
Gn
доказанному
что и требовалось.
|G|n
(dim V )n |Z (G)|n−1
=
|Z (G)| ·
[
G : Z (G)]
dim V
n
∈ Z;
124
§14. Целые
расширения колец
A = k является полем. В этой ситуации всякое кольцо B ⊂ k называется коммутативной k-алгеброй . Коммутативная k-алгебра B
14.2. Алгебраические элементы.
Пусть теперь кольцо
называется конечно порожденной , если она является фактор алгеброй кольца многочленов от
конечного числа переменных с коэффициентами из
: k[x1 ; x2 ; : : : ; xm ]
зующими алгебры
-
B,
а
k,
т. е. если имеется эпиморфизм
k-алгебр
B . В этом случае образы переменных bi = (xi ) ∈ B называются обраядро ker ⊂ k[x1 ; x2 ; : : : ; xm ] называется идеалом соотношений между
ними.
Любой набор элементов
b1 ; b2 ; : : : ; bm любой k-алгебры B порождает k-подалгебру
k[b1 ; b2 ; : : : ; bm ] ⊂ B
которая представляет собою образ гомоморфизма вычисления
evb1 ;b2 ;:::;bm :
k[x1 ; x2 ; : : : ; xm ]
f (x1 ;x2 ;:::;xm )7→f (b1 ;b2 ;:::;bm ) -
и состоит из всех элементов, что можно получить из
сложения и умножения. Это наименьшая
Целость над
элемента
k
b
∈
B
k-подалгебра
k
в
и
b1 ; b2 ; : : : ; bm
B;
при помощи операций
B , содержащая k и b1 ; b2 ; : : : ; bm .
равносильна его алгебраичности над
k,
удовлетворяет какому-нибудь | необязательно приведённому | уравнению
вым
f
∈ k[x].
b
Алгебраичность элемента
∈
B
гомоморфизм вычисления
evb :
k[x]
над
k,
(14-5)
т. е. тому, что
b
f (b) = 0 с ненуле-
в свою очередь, равносильна тому, что
f (x)7→f (b) -
B
(14-6)
b ∈ B , не являющийся алгебраическим, называется трансценk. В этом случае гомоморфизм вычисления (14-6) является изоморфизмом алгебры
k[b] кольцом многочленов. В частности, k[b] не является полем и бесконечномерна как векторное
пространство над k.
Если элемент b ∈ B алгебраичен над подполем k ⊂ B , ядро гомоморфизма вычисления (14-6),
будучи идеалом в кольце главных идеалов k[x], представляет собой ненулевой главный идеал
имеет ненулевое ядро. Элемент
дентным над
b ) ;
ker(evb ) = (
b ∈ k[x] однозначно определяется по b как приведённый многочлен наиb
мента b над k. Алгебра k[b] = k[x]=(b ) в этом случае конечномерна как векторное пространство
над k и dimk k[b] = deg b .
образующая которого
меньшей степени, аннулирующий . Этот многочлен называется минимальным многочленом эле-
Предложение 14.2
Пусть элемент
k[x].
b из алгебры B
над полем
k
алгебраичен и имеет минимальный многочлен
b ∈
Тогда следующие три свойства эквивалентны друг другу:
(1) подалгебра
k[b] = k[x]=(b ) ⊂ B
является полем
(2) подалгебра
k[b] = k[x]=(b ) ⊂ B
не имеет делителей нуля
(3) минимальный многочлен
Доказательство.
Импликация (1)
=
f ·g
⇒
(2) очевидна. Импликация (2)
⇒
(3) доказывается от про-
f; deg g < deg b , то оба класса [f ], [g] в кольце вычетов k[t]=(b )
f g
fg] = [b ] = 0, что противоречит (2). Для доказательства импликации (3) ⇒ (1) достаточно убедиться, что всякий ненулевой вычет [f ] в фактор
кольце k[t]=(b ) обратим. Поскольку b неприводим и f не делится на b , многочлены b и f
тивного: если
b
b (t) ∈ k[t] элемента b над k неприводим в k[t]
с deg
отличны от нуля, а их произведение [ ] · [ ] = [
не имеют общих неприводимых делителей, а значит, взаимно просты, т. е. существуют такие
h; q ∈ k[t], что h(t) · b (t) + q(t) · f (t) = 1 в k[t]. Но тогда [q] · [f ] = 1 в k[t]=(b ).
125
14.3. Нормальные кольца
Предложение 14.3
Пусть кольцо
B цело над подкольцом A ⊂ B . Если B | поле, то A
A | поле, и в B нет делителей нуля, то B | поле.
также является полем.
Наоборот, если
A, то обратный элемент a−1 ∈ B к произвольному
ненулевому a ∈ A удовлетворяет уравнению a−m = 1 a1−m + · · · + m−1 a−1 + 0 с ∈ A.
Умножая обе части на am−1 , получаем a−1 = 1 + · · · + m−1 am−2 + 0 am−1 ∈ A. Обратно,
если A | поле, и B | целая A-алгебра, то все неотрицательные целые степени bi любого b ∈ B
порождают конечномерное векторное пространство V над A. Если b 6= 0, и в B нет делителей
x7→bx V не имеет ядра, а потому | биективен. Прообраз
нуля, то линейный оператор V
1 ∈ V относительно этого оператора и есть b−1 .
Доказательство.
Если
B
| поле, целое над
Следствие 14.2
Если поле
является конечномерным векторным пространством над своим подполем
F
все элементы
F
алгебраичны над
Теорема 14.2
Конечно порожденная
алгебраичны над
k-алгебра
в
F,
то
k,
и
B
может быть полем только при условии, что все её элементы
a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ F, является полем.
k-подалгебра
k ⊂ F,
порождённая любым набором элементов
k.
Пусть B имеет образующие {b1 ; b2 ; : : : ; bm } и является полем. Доказывать алB будем индукцией по m. Случай m = 1, B = k[b] уже разбирался в n◦ 14.2: если b
трансцендентен, то гомоморфизм (14-6) отождествляет B с кольцом многочленов k[x], которое
Доказательство.
гебраичность
не является полем.
m > 1. Если bm алгебраичен над k, то k[bm ] | поле и B алгебраично над k[bm ] по предположению индукции. Тогда по предл. 14.1 B алгебраично и над k. Таким образом, достаточно
показать, что bm алгебраичен над k.
Допустим, что bm трансцендентен. Тогда гомоморфизм (14-6) продолжается до изоморфизма
поля рациональных функций k(x) с наименьшим подполем k(bm ) ⊂ B , содержащим bm . По предположению индукции, B алгебраично над k(bm ), так что каждая из образующих b1 ; b2 ; : : : ; bm−1
удовлетворяет некоторому полиномиальному уравнению с коэффициентами из k(bm ). Умножая
эти уравнения на подходящие многочлены от bm , мы можем добиться того, чтобы все их коэффициенты лежали в k[bm ], а также сделать все их старшие коэффициенты равными одному
и тому же многочлену, который мы обозначим через p(bm ) ∈ k[bm ]. В результате поле B оказывается целым над подалгеброй F = k[bm ; 1=p(bm )] ⊂ B , порожденной над k элементами bm и
1=p(bm ). По лемме предл. 14.3 эта подалгебра F должна быть полем, что невозможно, поскольку,
скажем, 1 + p(bm ) не обратим в F .
Действительно, если есть многочлен g ∈ k[x1 ; x2 ], такой что g ( bm ; 1=p(bm ) ) · (1 + p(bm )) = 1 ,
то, записывая рациональную функцию g ( x ; 1=p(x) ) в виде h(x)=pk (x), где h ∈ k[x] не делится
на p, и умножая обе части предыдущего равенства на pk (bm ), мы получим на bm полиномиальное
уравнение h(bm ) · (p(bm ) + 1) = pk+1 (bm ), нетривиальное, поскольку h(x)(1 + p(x)) не делится в
k[x] на p(x).
Пусть
Следствие 14.3
Всякое поле
F, которое конечно порождено как алгебра над своим подполем k ⊂ F, конечномерно
k.
как векторное пространство над
14.3. Нормальные кольца.
A без делителей нуля называется нормальQA . Отметим, что любое поле нормально.
Коммутативное кольцо
ным , если оно целозамкнуто в своём поле частных
◦
Дословно также, как в примере n 14.1.1, устанавливается, что любое факториальное1 кольцо
1
напомним, что кольцо
мый элемент
a
∈A
A
называется
факториальным ,
если в нём нет делителей нуля, и каждый необрати-
является произведением конечного числа неприводимых, причём для любых двух разложений
126
§14. Целые
расширения колец
A нормально: многочлен a0 tm + a1 tm−1 + · · · + am−1 t + am ∈ A[t] аннулирует дробь p=q ∈ QA с
нод(p; q ) = 1, только если q |a0 и p|am , поэтому из a0 = 1 вытекает, что q = 1. В частности,
кольцо многочленов от любого числа переменных над факториальным кольцом нормально.
Прямо из определений и леммы Гаусса { Кронекера { Дедекинда (сл. 14.1) вытекают следующие полезные свойства, отчасти проясняющие эпитет «нормальный».
Предложение 14.4 (лемма Гаусса { 2)
Пусть A | нормальное кольцо с полем частных QA . Если многочлен f ∈ A[x] раскладывается в
QA [x] в произведение приведённых множителей, то эти множители лежат в A[x] .
Лемма 14.2
Пусть
k
элемент
=
QA
является полем частных коммутативного кольца
A
без делителей нуля. Если
b какой-либо QA -алгебры B цел над A, то он алгебраичен над QA и все коэффициенты
b ∈ QA [x] целы над A.
его минимального многочлена
A, он удовлетворяет уравнению f (b) = 0, в котором
f ∈ A[x] приведён. Тем самым, ker evb 6= 0 и f = b ·q в кольце QA [x]. По сл. 14.1 все коэффициенты
b целы над A.
Доказательство.
Поскольку
b
цел над
Следствие 14.4
A | нормальное кольцо с полем частных QA , и B | произвольная QA -алгебра.
b ∈ B цел над A, то его минимальный многочлен над полем QA лежит в A[x].
Пусть
Если
элемент
Пусть k-алгебра A не имеет делителей нуля. Обозначаем
k(a1 ; a2 ; : : : ; am ) ⊂ QA | наименьшее подполе, содержащее
14.4. Базисы трансцендентности.
через
QA
её поле частных, а через
a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A.
Элементы a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A называются алгебраически независимыми над k, если между ними нет никаких полиномиальных соотношений вида f (a1 ; a2 ; : : : ; am ) = 0 с f ∈ A[x1 ; x2 ; : : : ; xm ] ,
заданные элементы
т. е. если отображение вычисления
ev(a1 ;a2 ;:::;am ) :
k[x1 ; x2 ; : : : ; xm ]
xi 7→ai -
A
инъективно. В этом случае отображение вычисления продолжается до изоморфизма полей
k(x1 ; x2 ; : : : ; xm )
переводящего рациональную функцию
тах
ai .
- k(a1 ; a2 ; : : : ; am ) ⊂
∼
QA ;
f (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) в её значение f (a1 ; a2 ; : : : ; am ) на элеменa1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A называется базисом транс∈ A алгебраичен над k(a1 ; a2 ; : : : ; am ). В этом
k(a1 ; a2 ; : : : ; am ), поскольку по предл. 14.3 целое
Алгебраически независимый набор элементов
цендентности алгебры
A
над
k,
если любой
q ∈ QA также алгебраичен над
k(a1 ; a2 ; : : : ; am ) в QA является полем,
случае, любой
замыкание
p
содержащим
A, а значит, и QA .
Отметим, что любое собственное подмножество любого базиса трансцендентности алгебраически независимо, однако, не является базисом трансцендентности. Поэтому базис трансцендентности можно иначе определить как минимальный по включению набор
такой что алгебра
a1 ; a2 ; : : : ; am
∈
A,
A алгебраична над k(a1 ; a2 ; : : : ; am ), или же как максимальный по включению
a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A.
алгебраически независимый набор
a = p1 p2 · · · pn = q1 q2 · · · qm в произведение неприводимых множителей m = n и (после надлежащей перенумерации) pi = si qi для некоторых обратимых si ∈ A; например, факториальными являются любое поле, любое
кольцо главных идеалов (в частности, кольцо целых чисел
факториальным кольцом
K
Z)
и кольца многочленов
K [x1 ; x2 ; : : : ; xn ]
над любым
127
14.4. Базисы трансцендентности.
Лемма 14.3
a1 ; a2 ; : : : ; an ∈ A, такой что A алгебраична над k(a1 ; a2 ; : : : ; am ), содерA над k (пустой, если алгебра A алгебраична
над k). В частности, любая система образующих A как k-алгебры содержит в себе некоторый
Любой набор элементов
жит в себе некоторый базис трансцендентности
базис трансцендентности.
Доказательство.
Если имеется полиномиальное соотношение
f (a1 ; a2 ; : : : ; am ) = 0, скажем, со-
am , то мы удалим am . Если остающиеся a1 ; a2 ; : : : ; am−1 удовлетворяют полиномиальam−1 , мы удалим am−1 и т. д. В конечном счете мы получим
либо алгебраически независимый набор элементов, скажем, a1 ; a2 ; : : : ; ar , либо все ai , а значит,
и вся алгебра A, окажутся алгебраичны над k. В первом случае все выкинутые ai (а значит, и
алгебра A) алгебраичны над k(a1 ; a2 ; : : : ; ar ).
держащее
ному соотношению, содержащему
Лемма 14.4
A алгебраична над k(a1 ; a2 ; : : : ; am ), где a1 ; a2 ; : : : ; an ∈ A, то любой алгебраически незавиb1 ; b2 ; : : : ; bn ∈ A состоит из n 6 m элементов и может быть дополнен до
базиса трансцендентности A над k подходящими элементами из набора a1 ; a2 ; : : : ; am .
Если
симый набор элементов
По лем. 14.3 набор a1 ; a2 ; : : : ; am содержит базис трансцендентности. Будем
a1 ; a2 ; : : : ; ar . Поскольку b1 алгебраичен над k(a1 ; a2 ; : : : ; ar ), имеется полиномиальное соотношение f (b1 ; a1 ; a2 ; : : : ; ar ) = 0. Так как b1 трансцендентен, а a1 ; a2 ; : : : ; ar алгебраически независимы, в этом соотношении реально присутствуют как b1 , так и какие-нибудь
ai , например, a1 . Тогда a1 алгебраичен над k(b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar ), а значит, алгебра A алгебраична над k(b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar ). Элементы b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar алгебраически независимы, поскольку
a2 ; a3 ; : : : ; ar алгебраически независимы и b1 не может быть алгебраичен над k(a2 ; a3 ; : : : ; ar ):
в противном случае A была бы алгебраична над a2 ; a3 ; : : : ; ar , и элементы a1 ; a2 ; : : : ; ar были бы
алгебраически зависимы. Тем самым, набор b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar тоже является базисом трансцендентности для A.
Элемент b2 алгебраичен над k(b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar ), и значит, существует полиномиальное соотношение f (b1 ; b2 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar ) = 0. Так как b2 трансцендентен, а набор b1 ; b2 и каждое
собственное подмножество набора b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar алгебраически независимы, в этом соотношении реально присутствуют как b2 , так и какие-нибудь из ai | скажем, a2 . Тогда a2 алгебраичен над k(b1 ; b2 ; a3 ; : : : ; ar ), а значит, алгебра A алгебраична над k(b1 ; b2 ; a3 ; : : : ; ar ).
Элементы b1 ; b2 ; a3 ; : : : ; ar алгебраически независимы, поскольку b1 ; a3 ; : : : ; ar алгебраически
независимы и b2 не может быть алгебраичен над k(b1 ; a3 ; : : : ; ar ): в противном случае A была бы
алгебраична над b1 ; a3 ; : : : ; ar , и элементы b1 ; a2 ; a3 ; : : : ; ar были бы алгебраически зависимы.
Тем самым, набор b1 ; b2 ; a3 ; : : : ; ar тоже является базисом трансцендентности для A.
Продолжая в том же духе (и, если необходимо, перенумеровывая по ходу дела элементы ai ),
мы по индукции получим для каждого i 6 n базис трансцендентности b1 ; : : : ; bi ; ai+1 ; : : : ; ar
алгебры A над k. Отсюда получаются неравенства n 6 r 6 m, и при i = n мы приходим к
искомому базису трансцендентности вида b1 ; : : : ; bn ; an+1 ; : : : ; ar .
Доказательство.
считать, что это
Следствие 14.5
Все базисы трансцендентности конечно порождённой коммутативной алгебры
A
над полем
k
состоят из одинакового числа элементов (это число называется степенью трансцендентности
алгебры
A над k и обозначается tr degk A).