Числа Рамсея.

с1
08.02.2013
Числа Рамсея.
Определение 1. Числом Рамсея R(m, n) называется минимальное такое число x, что для произвольной
раскраски рёбер графа Kx в два цвета найдётся либо m-клика, состоящая из рёбер цвета 1, либо n-клика,
состоящая из рёбер цвета 2.
Замечание 1. Иногда, когда это удобно, мы будем говорить красный цвет и синий цвет вместо цвет 1 и
цвет 2, и употреблять термины типа красная (синяя) степень вершины.
1. Доказать, что для любого n:
а) R(1, n) = 1;
б) R(2, n) = n.
Решение. а) очевидно, что 1-клика первого цвета найдётся в любом графе; б) 2-клика — это просто
ребро. Поэтому условие такое: надо, чтобы либо нашлось ребро первого цвета, либо n-клика второго.
Очевидно, что для n − 1-клики, покрашенной во второй цвет условие не выполнено, и что для любой
раскраски графа на n вершинах выполнено.
2. Доказать, что а) R(m, n) 6 R(m − 1, n) + R(m, n − 1); б) R(m, n) 6 R(m − 1, n) + R(m, n − 1) − 1,
если R(m − 1, n), R(m, n − 1) — чётные числа.
Решение. а) Нам надо доказать, что для любой раскраски рёбер графа R(m − 1, n) + R(m, n − 1) в два
цвета найдётся либо m-клика, состоящая из рёбер цвета 1, либо n-клика, состоящая из рёбер цвета 2.
Рассмотрим произвольную раскраску рёбер, выберем вершину x. По принципу Дирихле из этой вершины
выходит либо R(m−1, n) ребер первого цвета, либо R(m, n−1) ребер второго. Рассмотрим первый случай
(второй аналогично). Тогда среди концов ребер первого цвета, выходящих из x по условию найдётся либо
n-клика второго цвета (и тогда всё получилось), либо m − 1-клика первого цвета. Добавляя вершину x
получаем m-клику первого цвета, и всё ок.
б) Доказательство второго неравенства аналогично доказательству первого. Надо только воспользоваться тем, что красная степень всех вершин не может быть нечетной, если всего вершин нечетное
число (единственный вариант, когда данная оценка не получается аналогично первой, это когда красная
степень каждой вершины равна R(m − 1, n) − 1, а синяя равна R(m, n − 1) − 1).
3. Докажите, что а) R(3, 3) 6 6; б) R(3, 4) 6 9; в) R(3, 5) 6 14; г) R(4, 4) 6 18; д) R(5, 5) 6 62.
Решение. Используем рекуррентное соотношение. (оба пункта предыдущей задачи).
4. Докажите, что а) R(3, 3) > 5; б) R(3, 4) > 8.
в) Рассмотрим граф на 13 вершинах, причём ребро ij нарисовано цветом 1 тогда и только тогда, когда
i−j — кубический вычет по модулю 13. Используя его, докажите, что R(3, 5) > 13. г) Рассмотрим граф
на 17 вершинах, причём ребро ij нарисовано цветом 1 тогда и только тогда, когда i − j — квадратичный
вычет по модулю 17. Используя его, докажите, что R(4, 4) > 17.
Решение. а)б) надо нарисовать контрпример: для R(3, 3) красные ребра - стороны пятиугольника, для
R(3, 4) — ребра восьмиугольника и две диагонали (например, соединяющие вершины 1 и 5;2 и 6) в) Рассмотрим данный граф. Если бы там была красная тройка i, j, k, то (i−j)+(j −k) = (i−k), то есть сумма
двух вычетов равняется третьему, а это не выполнено (вычеты равны ±1, ±5). Пусть есть синяя пятёрка.
Без ограничений общности, одна из вершин - 13. Тогда оставшиеся вершины могут быть только с номерами 4, 3, 2, 7, 6, 11, 10, 9, причём запрещены ребра 4−3, 3−2, 2−7, 7−6, 6−11, 11−10, 10−9, 9−4, 2−10, 3−11
- получаем ровно восьмиугольник из пункта б), в котором нет подграфа K4 нужного цвета.
г) Вычетами являются числа ±1, ±2, ±4, ±8. Чтобы проверить отсутствие графа K4 красного цвета,
достаточно проверить, что нету 3 вычетов, попарная сумма которых снова даёт вычеты (это просто
условие на разности xi − xj , для i, j = 1, 2, 3, 4). Посчитав, получаем, что у следующих пар вычетов
сумма тоже вычет: (±1, ±8), (±1, ∓2), (±2, ∓4), (±4, ∓8). Как видно, такой тройки нет.
Аналогично, рассматривая невычеты ±3, ±5, ±6, ±7, получаем, что и там нет искомой тройки вычетов (пары вычетов: (±3, ±7), (±3, ∓6), (±5, ±6), (±5, ±7).
n−1
5. Докажите оценку R(m, n) 6 Cn+m−2
.
Решение. Следует из рекуррентного соотношения по индукции. База n = 1, 2.
2
2
6. Докажите, что, если Cnk pCk + Cnl (1 − p)Cl < 1, то R(k, l) > n.
Указание. случайная покраска ребер, вероятность покрасить ребро в красный равна p.
2
2
7. Докажите, что, если Cnk pCk + Cnl (1 − p)Cl < s, то R(k, l) > n − s.
Указание. То же, что и до этого. Кроме того, после выбора покраски, в которой одноцветных клик
не более s выкинуть из каждой одноцветной клики по одной вершине.