Многоцветные числа Рамсея. Числа Рамсея для гиперграфов

с2
Многоцветные числа Рамсея. Числа Рамсея для гиперграфов
15.02.2013
Многоцветные числа Рамсея.
Определение 1. Числом Рамсея R(n1 , . . . , nr ) называется минимальное такое число x, что для произвольной раскраски рёбер графа Kx в r цветов найдётся ni -клика i-ого цвета.
1. а) Докажите, что верна оценка
R(n1 , . . . , nr ) 6 R(n1 − 1, . . . , nr ) + R(n1 , n2 − 1, . . . , nr ) + · · · + R(n1 , . . . , nr − 1).
б) Насколько хорошо можно её улучшить?
Решение. Доказательство аналогичное верхней оценке для обычных чисел Рамсея. Выберем произвольную вершину x, если из неё выходит более чем R(n1 , . . . , ni − 1, . . . , nr ) ребер i-ого цвета, то мы найдём нужную клику. Для того, чтобы это условие выполнилось хотя бы для одного цвета достаточно
(R(n1 − 1, . . . , nr ) − 1) + (R(n1 , n2 − 1, . . . , nr ) − 1) + · · · + (R(n1 , . . . , nr − 1) − 1) + 1 ребер. Тогда достаточно R(n1 − 1, . . . , nr ) + R(n1 , n2 − 1, . . . , nr ) + · · · + R(n1 , . . . , nr − 1) − r + 2 вершин в графе, то есть
R(n1 , . . . , nr ) 6 R(n1 − 1, . . . , nr ) + R(n1 , n2 − 1, . . . , nr ) + · · · + R(n1 , . . . , nr − 1) − r + 2.
2. Докажите, что для любых p, q а) R(1, p, q) = 1, б) R(2, p, q) = R(p, q).
3. Докажите, что R(p, q, 3) > 2R(p, q) − 2.
Решение. Надо взять два графа-контрпримера для R(p, q) − 1, с ребрами, покрашенными в 1-й и 2-й
цвет, а все ребра между ними покрасить в третий цвет.
4. а) Докажите, что 10 6 R(3, 3, 3) 6 17. б)* Докажите, что R(3, 3, 3) = 17.
Решение. а) Нижняя оценка из предыдущей задачи, верхняя оценка — из неравенства. б) контрпример
можно посмотреть в википедии.
Замечание 1. R(3, 3, 3) — единственное точно посчитанное многоцветное число Рамсея. Про R(4, 3, 3)
известно, что 30 6 R(4, 3, 3) 6 31.
5. Найдите нижнюю и верхнюю оценки на R(4, 3, 3).
Решение. R(4, 3, 3) > 2R(4, 3) − 2 = 16, R(4, 3, 3) 6 R(3, 3, 3) + 2 · R(4, 3, 2) − 3 + 2 = 17 + 18 − 1 = 34.
Число Рамсея для гиперграфов.
Определение 2. Числом Рамсея R(k; l; r), k > l, называется минимальное такое число x, что для произвольной раскраски l-элементных подмножеств множества {1, . . . , n} в r цветов найдется подмножество
размера k, у которого все l-элементные подмножества покрашены в один цвет.
6. Найти R(k; 2; r).
Решение. Это R(k, k, . . . , k) (k повторяется r раз).
7. Найти R(3; 3; 2).
Решение. По определению, это 3.
Замечание 2. Единственное известное число Рамсея для гиперграфов с k > l > 2 — это R(4; 3; 2) = 13.
l
8. Докажите, что, если Cnk r1−Ck < 1, то R(k; l; r) > n.
Указание. Та же случайная раскраска, что и в обычном случае.
9. Докажите что для любых k, l, r число Рамсея R(k; l; r) конечно.
Указание. Сначала надо свести к случаю r = 2, доказав оценку R(k; l; r) 6 R(R(k; l; r − 1); l; r − 1).
Эту оценку можно доказать за счет объединения первого и второго цвета в один цвет. Чтобы доказать
конечность R(k; l; 2) для всех k, l, нужно рассмотреть несимметричное число R(k1 , k2 ; l; 2), т.е. такое, что
мы ищем либо k1 -элементное подмножество со всеми l-элементными подмножествами красными, либо ...
Надо доказать оценку R(k1 , k2 ; l; 2) 6 R(R(k1 − 1, k2 ; l; 2), R(k1 , k2 − 1; l; 2); l − 1; 2) + 1. Таким образом, мы
ведем индукцию сначала по l, а потом по k1 +k2 . Чтобы доказать нужное соотношение, нужно взять точку
x и рассмотреть индуцированную покраску на l − 1-подмножествах вида χ(S 0 ) = χ({x} ∪ S 0 ). Из количества точек и предположения индукции следует, что мы найдем, б.о.о., множество R из R(k1 − 1, k2 ; l; 2)
точек, все (l − 1)-подмножества которых покрашены в красный. Тогда ситуация с l-подмножествами такая. Либо мы сразу находим в R нужное k2 -элементное синее подмножество, либо мы находим (k1 − 1)элементное красное подмножество, и добавляем к нему точку x, все подмножества с которой и с точками
R красные по определению R.