Программа весеннего семестра

Программа курса «Дискретный анализ: 2 семестр»
1. Теория Рамсея. Числа Рамсея R(s,t): точные значения для s = 1, 2 и
разных пар «малых» s,t; верхняя оценка Эрдеша – Секереша
(рекурсия), ее следствие для недиагональных и диагональных чисел
Рамсея, уточнение Конлона (б/д); нижняя оценка диагональных чисел с
помощью простого вероятностного метода. Локальная лемма Ловаса:
симметричный случай, вывод из него наилучшей нижней оценки
диагонального числа Рамсея (теорема Спенсера), орграфы
зависимостей с примерами, несимметричный случай ЛЛЛ, вывод из
него симметричного случая и доказательство его самого; вывод из
несимметричного случая нижней оценки для R(3,t): нужно доказывать,
что параметры удовлетворяют системе неравенств, но не нужно
объяснять, почему еще лучших параметров не бывает; самые точные
известные оценки для R(3,t) (б/д). Конструктивная нижняя оценка
Франкла – Уилсона. Замечание о распределении простых в
натуральном ряде и его роли в аккуратном доказательстве оценки.
Числа Рамсея R_k(l_1, …, l_r) и их верхняя оценка (рекурсия). Следствие
из этой рекурсии для R_3(s,t). Нижняя вероятностная оценка для
R_3(s,s). Двудольные числа Рамсея b(s,t): нижние оценки простым
вероятностным методом и с помощью ЛЛЛ; их отличие от аналогичных
нижних оценок для R(s,t); верхняя оценка Конлона: лемма с
конкретными
l,m,r,s;
ее
аналог
с
последовательностями;
доказательство теоремы без слишком детальной возни с бесконечно
малыми, но с пониманием, где эта возня нужна.
2. Системы общих представителей (с.о.п.). «Тривиальные» нижние и
верхние оценки. Верхняя оценка с помощью жадного алгоритма.
Теорема о конструктивной нижней оценке. Вероятностная нижняя
оценка. Следствие из нее. Нижняя оценка с помощью обобщенных
с.о.п. Соотношения между полученными результатами.
3. С.о.п. в геометрии (теорема о треугольниках на плоскости).
Размерность
Вапника–Червоненкиса.
Подсчет
размерности
пространства (R^n,H): теорема Радона (б/д). Лемма о числе областей в
пространстве заданной мощности и размерности. Лемма о
размерности измельчения (с не очень подробными выкладками).
Эпсилон-сети. Теорема Вапника – Червоненкиса об эпсилон-сетях (две
леммы и – с не слишком подробными выкладками – завершение
доказательства) и теорема о треугольниках как частный случай.
Приложения в статистике: равномерная сходимость в ЗБЧ (УЗБЧ) и
теорема Гливенко – Кантелли как частный случай.
4. Матрицы
Адамара.
Нормализация.
Необходимое
условие
существования. Гипотеза Адамара. Неудачная попытка построить
матрицу Адамара «строча за строчкой». Достаточное условие
существования. Теорема о плотности порядков матрицы Адамара в
натуральном ряде (б/д). Интерпретация в терминах дистанционного
графа, возникающего в теореме Франкла – Уилсона (клики и
независимые множества). Приложения к задаче о раскраске
гиперграфа: определение уклонения, верхняя оценка вида \sqrt{2n
ln(2s)} с д-вом и оценка вида 6\sqrt{n} (б/д), нижняя оценка с помощью
матриц Адамара.