Контрольная по линейному программированию 1

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Задача 1. Составить план производства продукции, при котором прибыль от ее
реализации максимальна. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на
изготовление единицы продукции, приведены в таблице.
Вид ресурса
Запас ресурса
S1
S2
S3
S4
18
16
5
21
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на
изготовление единицы продукции
Продукт Р1
Продукт Р2
1
3
2
1
1
3
-
Прибыль от единицы продукции P1 и P2 – соответственно 2 и 3.
Решение. Составим математическую модель задачи.
Пусть план производства продукции ( x1 , x2 ) , то есть производится x1 единиц продукции
вида P1 и x2 единиц продукции вида P2 , по смыслу задачи x1 , x2 ≥ 0 . Тогда целевая
функция – прибыль от продажи (реализации) такого количества изделий, составляет
f = 2 x1 + 3 x2 рублей, ее нужно максимизировать: f = 2 x1 + 3 x2 → max .
Составим ограничения, связанные с ограниченным количеством ресурсов (запасов сырья):
На сырье S1 : x1 + 3 x2 ≤ 18 ,
На сырье S2 : 2 x1 + x2 ≤ 16 ,
На сырье S3 : x2 ≤ 5 ,
На сырье S4 : 3 x1 ≤ 21 или x1 ≤ 7 .
Пришли к задаче линейного программирования:
f = 2 x1 + 3 x2 → max,
 x1 + 3 x2 ≤ 18,
2 x + x ≤ 16,
 1 2
 x2 ≤ 5,
 x ≤ 7,
 1
 x1 , x2 ≥ 0.
.
Так как в задаче только две переменные, решим данную задачу графическим методом.
Построим область допустимых решений, ограниченную прямыми:
( I ) x1 + 3 x2 = 18 , точки (9, 3) и (0, 6).
( II ) 2 x1 + x2 = 16 , точки (8, 0) и (6, 4).
( III ) x2 = 5 .
( IV ) x1 = 7 .
1
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Получаем ограниченную выпуклую область ABCDEF .
Строим линию уровня целевой функции 2 x1 + 3 x2 = 0 и вектор градиента n = (2, 3) .
Двигаем линию уровня по направлению градиента (наибыстрейшего роста), пока не
выйдем из области. Видно, это произойдет в точке D пересечения прямых I и II:
 x1 + 3x2 = 18,  x1 = 18 − 3x2 ,
 x1 = 18 − 3x2 ,  x1 = 6,




2 x1 + x2 = 16; 36 − 6 x2 + x2 = 16; −5 x2 = −20;
 x2 = 4.
Итак, оптимальная точка D ( 6; 4 ) , оптимальное значение функции f max = 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 = 24 .
Таким образом, чтобы получить при заданных ограничениях на ресурсы максимальную
прибыль в размере 24, необходимо произвести 6 изделий вида P1 и 4 изделия вида P2 .
2
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Задача 2. Составить задачу, двойственную следующей задаче:
F = −x1+2x2 →max
при ограничениях:
 2 x1 − x 2 ≥1,
− x1 + 4 x 2 ≤ 24,
 x − x ≤3,
 x1 + x 2 ≥5,
 1 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Решение. Запишем задачу в стандартном виде (ограничения вида ≤ ):
F = − x1 + 2 x2 → max,
−2 x1 + x2 ≤ −1,
− x + 4 x ≤ 24,
 1
2

 x1 − x2 ≤ 3,
− x1 − x2 ≤ −5,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Составим двойственную задачу. Так как исходная задача была на максимум, двойственная
задача будет на минимум, причем коэффициенты при переменных соответствуют правым
частям ограничений, число переменных равно числу ограничений и равно четырем:
Z = − y1 + 24 y2 + 3 y3 − 5 y4 → min .
Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в ограничениях. Так как и
первая и вторая переменные были неотрицательны, первое и второе ограничение будут
иметь знаки ≥ . Так как все ограничения имеют знак ≤ , все двойственные переменные
неотрицательны. Правые части ограничений – это коэффициенты при переменных в
исходной целевой функции. Получаем:
−2 y1 − y2 + y3 − y4 ≥ −1,

 y1 + 4 y2 − y3 − y4 ≥ 2,
y1 , y2 , y3 , y4 ≥ 0.
Получили двойственную задачу:
Z = − y1 + 24 y2 + 3 y3 − 5 y4 → min ,
−2 y1 − y2 + y3 − y4 ≥ −1,

 y1 + 4 y2 − y3 − y4 ≥ 2,
y1 , y2 , y3 , y4 ≥ 0.
3