Лекция №8 Тех Мех_2015

Тема 7
Расчет прочности и жесткости простых балок.
Лекция №8
7.1Основные типы опорных связей и балок. Определение опорных реакций.
7.2 Внутренние усилия при изгибе
7.3 Дифференциальные зависимости между M,Q и q.
7.4 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
7.5 Проверка правильности построения эпюр.
7.6 Примеры задач для самостоятельного построения эпюр M,Q.
Основные понятия.
Поперечный плоский изгиб. Внутренние усилия при изгибе: поперечная сила Q,
изгибающий момент M. Правило знаков для M и Q. Дифференциальные зависимости
между поперечной силой Q и интенсивностью распределенной нагрузки q, между
изгибающим моментом M и поперечной силой Q, между изгибающим моментом M и
интенсивностью распределенной нагрузки q.
7.1 Основные типы опорных связей и балок. Определение опорных реакций.
Элементы перекрытий зданий и сооружений, пролетных строений мостов, эстакад,
оси машин и механизмов и т.д., представляющие собой установленные на опоры и
сопротивляющиеся изгибу стержни, называются балками.
Чаще всего в инженерной практике применяются следующие типы опор:
Рис. 7.1 Типы опорных частей балок
Недопустимо соединение балки с основанием при помощи трех шарнирноподвижных опор, направление которых были бы параллельны друг другу или пересекались
в одной точке.
Рис. 7.2 Недопустимое соединение балки с основанием
В инженерной практике чаще всего балки соединяются с основанием при помощи
указанных выше опор или их сочетаний. Наиболее распространены следующие типы
балок:
1) консоль (рис. 7.3, а) – балка с одним жестко защемленным и другим свободным
концом;
2) простая (рис. 7.3, б) – однопролетная балка, имеющая по концам шарнирные
опоры, расстояние между опорами l называется пролетом балки;
3) консольная со свесами (рис. 7.3, в, г) – простая балка, имеющая одну или две
консоли.
Рис. 7.3 Типы балок
При определении опорных реакций в балках следует использовать следующие
уравнения равновесия:
Консоль
Простая балка
 Fx  0, M A  0,  M B  0 ;
 Fx  0, Fy  0,  M A  0 .
Проверка
 Fy  0
Геометрически неизменяемые системы, в которых опорные реакции могут быть
найдены из уравнений равновесия, называются статически определимыми.
7.2 Внутренние усилия при изгибе
В инженерной практике часто применяются балки с поперечным сечением,
имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия
лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка
будет изгибаться в той же плоскости (ось изгибаемого стержня не выходит из этой
плоскости). Такой изгиб называют плоским (рис 7.4 а,б).
Далее будем рассматривать случаи, когда при плоском изгибе внешняя нагрузка
перпендикулярна продольной оси балки. Поэтому в поперечном сечении балки возникают
только поперечная сила Q y и изгибающий момент M z , а продольная сила равна нулю.
Такой изгиб называется поперечным.
Рис. 7.4 Плоский поперечный изгиб
Поперечная сила Q y  Q и изгибающий момент M z  M в данном поперечном
сечении балки являются соответственно главным вектором и главным моментом
относительно центра тяжести сечения внутренних сил, действующих в
рассматриваемом сечении.
Условимся (рис. 7.5):
1) поперечную силу считать положительной, если она направлена так, что
стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки;
2) изгибающий момент считать положительным, если он изгибает элемент
балки выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон.
а)
б)
в)
г)
Рис. 7.5 Правило знаков для M и Q
Поперечная сила численно равна сумме проекций на нормаль к оси балки (на ось y)
внутренних сил, а изгибающий момент – сумме моментов тех же сил относительно
центра тяжести сечения.
7.3 Дифференциальные зависимости между M,Q и q.
Рассмотрим балку с внешней распределенной нагрузкой интенсивностью q y ,
направленной вниз вдоль положительной оси y (рис.7.6 а). Такую нагрузку будем считать
положительной. Выделим из нее в произвольном месте элемент длиной dx (рис 7.6 б).
Действие левой отброшенной части на элемент заменим поперечной силой Q y и
изгибающим моментом M z , а действие правой отброшенной части силой Q  dQy и моментом M  dM z .
Рис 7.6 К выводу дифференциальных зависимостей
Здесь dQy , dM z - приращение поперечной силы и изгибающего момента на элементе dx .
На малом элементе dx интенсивность нагрузки q y можно считать постоянной. Составим
уравнения равновесия:
(7.1)
 Q y  (Q y  dQy )  q y dx  0
 Fy  0
Mo  0
M z  ( M z  dM z )  q y dx
Из уравнения (7.1) получим
dQy
dx
dx
 Q y dx  0
2
 q y
(7.2)
(7.3)
Первая производная от поперечной силы по продольной координате x равна
интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.
dx2
Из уравнения (7.2), пренебрегая слагаемым q y
как величиной второго порядка
2
малости, получим
dM z
 Qy
dx
(7.4)
Первая производная от изгибающего момента по продольной координате x равна
поперечной силе.
Зависимость (7.3) с учетом (7.4) можно записать в виде
2
d Mz
2
dx
 q y
(7.5)
Вторая производная от изгибающего момента по продольной координате x равна
интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком .В дальнейшем
индексы у q y , Q y , M z будем опускать.
7.4 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
График изменения поперечной силы или изгибающего момента по длине балки
будем называть эпюрой Q(x) или M(x) соответственно.
Построение эпюр выполняется по участкам загружения, в пределах которых
аналитические выражения для функций Q(x) и M(x) не меняются. Границами участков
являются:
1) точки, отвечающие началу или концу балки;
2) точки приложения сосредоточенной силы или пары сил;
3) точки начала или конца распределенной нагрузки.
Эпюры вычерчиваются с указанием масштаба под расчетной схемой балки.
Положительные значения поперечной силы откладываются от базовой линии вверх,
изгибающего момента – вниз (со стороны растянутого волокна). На эпюре Q
проставляется знак плюс на участках, расположенных выше базовой линии, и знак минус
на участках ниже базовой линии; на эпюре M – наоборот. При линейных функциях M(x)
и Q(x) вычисляются их значения на концах участков загружения, для нелинейных
выражений M(x) и Q(x) – на концах и в середине участков загружения. Кроме того,
находятся сечения, в которых поперечная сила обращается в нуль, и приводятся значения
M в этих сечениях.
Пример 7.1 Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для
простой балки, нагруженной как показано на рис. 7.7 а.
Решение. Горизонтальная
реакция в опоре А равна нулю, так как внешние
нагрузки перпендикулярны оси балки. Определим вертикальные составляющие V A ,V B
из уравнений равновесия:
Рис. 7.7 К примеру 7.1
MB  0
V A 6a  q 4a(2a  2a)  qa 2a  0
V A  3qa
(7.6)
M A  0
 VB 6a  q 4a 2a  qa 4a  0
VB  2qa
(7.7)
00
(7.8)
Проверяем правильность определенных реакций:
 Fy  0
3qa  q4a  qa  2qa  0
В соответствии с характером нагружения разобьем балку на два участка (рис. 7.7,
а). Для составления выражений для Q и M применим метод сечений. Проведем сечение 11 в произвольном месте первого участка и рассмотрим равновесие левой части балки (рис.
7.8,а, начало координат в точке А).
Рис. 7.8 Равновесие отделенной части балки
Первый участок: 0  x1  4a
 Fy  0;
 3qa  qx1  Q1  0;
Q1  3qa  qx1 ;
Значения поперечной силы по концам участка:
Q1 (0)  3qa;
Q1 (4a)  qa.
Находим точку, в которой Q обращается в нуль:
Q1  0
x1  3a.
*
Сумма моментов всех сил относительно точки С:
 M C  0;
3qax1  qx1 0,5 x1  M 1 0;
2
M 1  3qax1  0,5q x1 .
Вычисляем значения M по концам участка и в точке экстремума
M 1 (0)  0;
M 1 (4a)  4qa 2 ;
M 1 (3a)  4,5qa 2
Проведем сечение 2-2 в произвольном месте второго участка (рис 7.8,б) и
рассмотрим равновесие правой части балки (начало координат в точке В). Второй
участок 0  x2  2a
M Д
 Fy  0;
 0;
 2qax 2  M 2  0;
 2qa  Q2  0;
M 2  2qax 2 ;
Q2  2qa;
M 1 (0)  0;
M 1 (2a)  4qa 2
Строим эпюры (рис 7.7 ,б,в).
7.5 Проверка правильности построения эпюр.
1) в точке приложения сосредоточенной силы эпюра Q делает скачок равный по
величине этой силе;
2) в точке приложения сосредоточенной пары сил эпюра M делает скачок равный по
величине этой паре;
3) Первая производная от изгибающего момента по продольной координате x равна
поперечной силе.
dM z
 Qy
dx
4) на участках где Q>0 , M – возрастает; где Q<0 , M – убывает; в точке где Q=0,
M - имеет экстремум (правило паруса: в точке экстремума эпюра M выгибается как
парус от ветра, направление которого, задает вектор распределенной нагрузки).
7.6 Примеры задачи для самостоятельного построения эпюр Q,M.
Приведем примеры эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для различных
схем простых загружений. Данные примеры позволяют проследить идеализацию нагрузки
и эволюцию эпюр.
Каждый студент должен уметь самостоятельно составить выражения для
Q и М на участках для представленных схем загружения. (рис. 7.9-7.11).
Рис. 7.9 Положительные ординаты Q отложены ниже базовой линии
Рис. 7.10 Положительные ординаты Q отложены ниже базовой линии
Влияние каждого вида нагрузок на характер эпюр поперечной силы и изгибающего
момента показано на рис.7.11
Рис. 7.11 Законы изменения Q,M в зависимости от нагружения