Квадрат из подобных прямоугольников

Квадрат из подобных прямоугольников
Сергей Дориченко, Олеся Малиновская, Михаил Скопенков
Задача. Когда из прямоугольников, подобных данному, можно составить квадрат?
Наводящие вопросы
— У меня есть мысль! — сказал удав, открывая глаза. — Мысль. И я её думаю.
— Какая мысль? — спросила мартышка.
— Так сразу не скажешь...
— Ух ты! — подпрыгнула мартышка. — Ох, какая хорошая мысль. А можно я её тоже немножко подумаю?
Г. Остер, “Бабушка удава”
1. Сложите квадрат из нескольких прямоугольников m × n, где m и n — целые числа.
2. Дизайнеру заказали рамы для квадратного окна. На проектах (рисунки A,B) показано, как должны примыкать стекла друг к другу, и как они должны быть ориентированы (короткой или длинной стороной вверх). Можно ли сделать все стекла в каждой
раме подобными прямоугольниками?
3. Можно ли разрезать квадрат на 3 подобных, но неравных прямоугольника?
4. Можно ли разрезать квадрат на 5 квадратов?
5. Все полки у шкафа на рисунке C, как и все лоскутки, из которых сшито одеяло на
рисунке D — квадратные. Являются ли квадратными сами шкаф и одеяло?
6. Можно ли замостить всю плоскость попарно различными квадратами, длины сторон
которых — целые числа?
A
B
C
D
√
7. Можно ли
квадрат
разрезать
на
прямоугольники
с
отношением
сторон
2
+
2? То
√
√
√
же для 2 − 2, для 3 + 2 2 и для 3 − 2 2.
√
√
8. Является ли число 1 + 2 квадратом числа вида a + b 2, где a и b — рациональны?
На прямоугольном листе бумаги нарисовано разбиение на прямоугольники. Разрешается разрезать лист вдоль любого отрезка на два прямоугольника, потом произвести
такие операции по-отдельности с каждой из получившихся частей, и так далее. Если
таким образом можно реализовать исходное разбиение, то назовем его легким. Например, разбиения на рисунках A,B — легкие, а С,D — сложные. Следующие 4 задачи
предлагается сначала решить для легких разбиений, а уже потом — для произвольных.
9. Какие прямоугольники можно (легко) разрезать на прямоугольники со стороной 1?
10. Какие прямоугольники можно (легко) разрезать на квадраты?
√
11. Можно ли квадрат
(легко)
разрезать
на
прямоугольники
с
отношением
сторон
2?
√
√
√
3
3
То же для 1 + 2, для 1 + 2 и для 2.
√
12. Все числа, которые можно представить в виде x = a + b 2 с рациональными a
и b, назовем хорошими. При каких хороших x квадрат можно (легко) разрезать на
прямоугольники с отношением сторон x?
Летняя конференция Турнира городов
2014 г.
Квадрат из подобных прямоугольников
Сергей Дориченко, Олеся Малиновская, Михаил Скопенков
Теорема Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга (1994).
Для числа r > 0 следующие три условия эквивалентны:
1) Квадрат можно разрезать на прямоугольники с отношением сторон r.
2) Для некоторых положительных рациональных чисел ci выполнено равенство
1
c1 r +
c2 r +
1
= 1.
1
cn r
3) Число r является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами, у которого все комплексные корни имеют положительную действительную часть.
c3 r + · · · +
От разрезаний к системам линейных уравнений.
Ты, дорога, иду по тебе и гляжу, но мне думается, я вижу не все,
Мне думается, в тебе много такого, чего не увидишь глазами.
Уолт Уитмен "Песня большой дороги".
13. Докажите следствие 2) =⇒ 1) в теореме Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга.
14. Докажите, что хорошее
пред√ число x (см. задачу 12) единственным образом
√
ставляется в виде x = a + b 2 с рациональными a и b. Число x̄ = a − b 2 назовем
сопряженным к этому числу. Докажите, что если x и y — хорошие, то и числа x + y,
x − y, x · y, x/y — хорошие. Как выразить сопряженные к этим числам через x̄ и ȳ?
15. Прямоугольник 1×x разрезан на квадраты x1 ×x1 , x2 ×x2 , . . . , xn ×xn . Покажите,
что тогда числа x, x1 , . . . , xn удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений
с целыми коэффициентами. Следует ли из вашей системы равенство площадей x =
x21 + · · · + x2n ? Постарайтесь найти такую систему, чтобы следовало.
16. Некоторая система линейных уравнений с неизвестными x1 , . . . , xn имеет единственное решение. Покажите, что тогда x1 , . . . , xn можно выразить через коэффициенты уравнений с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления. В
частности, если коэффициенты рациональны, то x1 , . . . , xn рациональны.
17. Из 7 квадратов A1 , . . . , A7 Алиса составила прямоугольник A, а из 7 квадратов
B1 , . . . , B7 — прямоугольник B. Стороны всех квадратов горизонтальны или вертикальны. Горизонтальные стороны прямоугольников A и B равны.
Оказалось, что для каждой пары индексов i, j:
• если Ai примыкает слева к Aj по отрезку вертикальной стороны, то Bi примыкает
слева к Bj по отрезку вертикальной стороны;
• если Ai примыкает сверху к Aj по отрезку горизонтальной стороны, то Bi примыкает сверху к Bj по отрезку горизонтальной стороны.
Докажите, что для каждого i = 1, . . . , 7 стороны квадратов Ai и Bi равны.
18. Теорема Дена. Если прямоугольник разрезан на квадраты (не обязательно равные), то отношение его сторон рационально.
Летняя конференция Турнира городов
2014 г.
От разрезаний к корням многочленов
Вот испытанье для мудрых,
Для мудрости, не пройденной в школе. . .
Уолт Уитмен "Песня большой дороги".
19. Из нескольких прямоугольников с отношением сторон r составили прямоугольник.
Докажите, что стороны полученного прямоугольника относятся как P (r) : Q(r), где
P (x) и Q(x) — некоторые многочлены с целыми коэффициентами.
20. Эти многочлены можно выбрать так, что P (−x)/Q(−x) ≡ −P (x)/Q(x).
P (z)
21. Если x > 0, то P (x)/Q(x) > 0. Если Re z > 0, то Re Q(z)
> 0.
22. Из нескольких прямоугольников с отношением сторон r составили квадрат. Тогда
r — корень ненулевого многочлена с целыми коэффициентами.
23. Докажите следствие 1) =⇒ 3) в теореме Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга.
24. Алгоритм Евклида. Дан прямоугольник с отношением сторон r. Отрежем от него
квадрат одним прямолинейным разрезом. С полученным прямоугольником сделаем то
же самое, и так далее. Тогда на некотором шаге из прямоугольника получится квадрат,
если и только если число r рационально.
25. Теорема Эйлера–Лагранжа. Докажите, что в этом процессе встретятся два подобных прямоугольника, если и только если число r иррационально и является корнем
квадратного трехчлена с целыми коэффициентами.
26. Теорема Фостера–Кауэра о реактивном сопротивлении. Пусть R(z) = P (z)/Q(z)
— отношение многочленов с целыми коэффициентами, где степень P больше степени Q
и R(−z) = −R(z) для всех комплексных z. Тогда следующие 5 условий эквивалентны:
(1) если Re z > 0, то Re R(z) > 0;
(2) если R(z) = 1, то Re z > 0;
(3) если R(z) = 0, то Re z = 0 и R0 (z) > 0;
(4) для некоторого целого n ≥ 0 и вещественных d1 > 0, a1 > b1 > a2 > · · · > bn ≥ 0
n
Y
z 2 + a2k
R(z) = d1 z
,
z 2 + b2k
k=1
(5) для некоторого целого m ≥ 1 и рациональных d1 , . . . , dm > 0
1
.
R(z) = d1 z +
1
d2 z + · · · +
dm z
27. Докажите следствие 3) =⇒ 2) в теореме Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга.
28. Если на прямоугольники, подобные данному, квадрат разрезать можно, то его
можно разрезать легко (см. определение легкого разрезания перед задачей 9).
29. Дан многочлен с целыми коэффициентами и его корень r. Придумайте алгоритм
разрезания квадрата на прямоугольники с отношением сторон r (если оно существует).
30. Задача Ю–Чженя. Рассматривается такая операция над множеством вещественных чисел. Берутся любые три элемента a, b, c и к множеству добавляются числа 1/a,
ab
bc
ca
a + b, a+b+c
, a+b+c
, a+b+c
. Затем процесс повторяется. Докажите, что если из прямоугольников с отношением сторон r можно сложить прямоугольник с отношением
сторон k, то из числа r указанными операциями можно получить число k.
3
Квадрат из подобных прямоугольников
Сергей Дориченко, Олеся Малиновская, Михаил Скопенков
Вопрос. Когда из параллелепипедов, подобных данному, можно составить куб?
Что дальше
Фауст
Куда же мы теперь?
Мефистофель
В любой поход.
В большой и малый свет. И ты не хмурься!
С каким восторгом после всех экскурсий
Ты сдашь по этим странствиям зачет!...
Гете. “Фауст”
Ответ на Вопрос про куб выше неизвестен. Для следующих теорем неизвестно простого элементарного доказательства. Даже частичные продвижения интересны.
31. Теорема Прасолова–Скопенкова (2011) Для числа r > 0 следующие три условия
эквивалентны:
1) Прямоугольник с отношением сторон r можно разрезать на прямоугольники, подобные ему, так чтобы не все они были гомотетичны ему.
2) Для некоторых положительных рациональных чисел ci выполнено равенство
1
1
= .
c1 r +
r
1
c2 r +
1
c3 r + · · · +
cn r
3) Число r2 является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами, у
которого количество отрицательных корней на 1 меньше, чем степень.
32. Теорема Ласковича–Сегеды (1999). Квадрат можно разрезать на треугольники, подобные данному, если и только если данный треугольник либо имеет углы
(π/8, π/4, 5π/8), (π/4, π/3, 5π/12), или (π/12, π/4, 2π/3), либо прямоугольный с отношением катетов, равным корню некоторого ненулевого многочлена с целыми коэффициентами, у которого все вещественные корни положительны.
33. Теорема Су–Динга (2005). Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого)
имеют рациональные координаты, а его стороны параллельны координатным осям.
Тогда его можно разрезать на прямоугольники с отношением сторон r, если и только
если квадрат можно разрезать на прямоугольники с отношением сторон r.
34. Теорема Кеньена (1998) Пусть A1 A2 A3 A4 A5 A6 — L-образный шестиугольник, вершины которого занумерованы, начиная с вершины невыпуклого угла (см. рис. E). Шестиугольник A1 A2 A3 A4 A5 A6 можно разрезать на квадраты, если и только если система
(
A3 A4 · x + A1 A2 · y = A2 A3 ,
A5 A6 · z − A1 A2 · y = A6 A1 ;
имеет решение в неотрицательных рациональных числах x, y, z.
35. Теорема Кеньена (1998) Трапеция разрезана на трапеции. Основания всех трапеций разрезания параллельны, и у каждой отношение средней линии к высоте рационально. Тогда у исходной трапеции отношение средней линии к высоте рационально.
A3
A2
A1
A4
A6
A5
E
Летняя конференция Турнира городов
2014 г.
Квадрат из подобных прямоугольников
Сергей Дориченко, Олеся Малиновская, Михаил Скопенков
Решения большинства задач приводятся в статье С. Дориченко, О. Малиновская, М.
Скопенков, http://arxiv.org/abs/1305.2598.
Указания и решения
m
1 Разумеется, если стороны прямоугольника относятся как m : n, где m
и n — целые, то из mn таких прямоугольников складывается квадрат;
см. рис. 1. На нашем рисунке все прямоугольники равны и расположены
“одинаково”. Ясно, что при таком способе укладки нам удастся сложить
квадрат, только если отношение сторон рационально.
n
Рис. 1:
2(A) Ответ: нельзя. Решение. Допустим, что такое разрезание возможно. Можно считать, что стороны верхнего прямоугольника имеют длины 1 и k, где k 1 (см. рисунок). Тогда длины вертикальных сторон
оставшихся прямоугольников равны k − 1. Отношения сторон обоих пряРис. 2:
моугольников равно k, причем бОльшие стороны равны, следовательно
k−1
2
равны короткие стороны - и равны они k−1
k . Заметим, что 2 k = k ⇔ (k − 1) + 1 = 0,
что невозможно.
2(B) Ответ: можно. Решение. Рассмотрим разрезание квадрата, изображенное на рисунке 3. Найдем отношение сторон R прямоугольников разрезания. Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда последовательно находим
AB = 1/3, AC = R/3, CD = 1 − R/3, DE = R − R2 /3. С другой стороны,
DE = 1/2, значит,
R − R2 /3 = 1/2. Решая квадратное уравнение,
нахоРис. 3:
√
√
дим R = (3 ± 3)/2. Нетрудно убедиться, что при R = (3 ± 3)/2 такое
разрезание, как на рис. 3, действительно возможно.
3 Ответ: Можно. Решение. Можно считать, что один из прямоугольников имеет размеры k × 1. Будем называть его эталонным.
Приложим к нему прямоугольник k×k 2 , как показано на рисунке 2.
Заметим, что этот прямоугольник подобен эталонному с коэффициентом подобия k. Последний прямоугольник обязан иметь сторону
длины 1 + k 2 . Предположим, что она получилась из единичной стороны эталона, тогда боковая сторона равна k(1+k 2 ) = k 3 +k. Получившийся прямоугольник является квадратом, если 1+k 2 = k 3 +2k
Рис. 4:
(1). Кубическое уравнение имеет хотя бы один вещественный корень, следовательно,
построенное разбиение существует.
Покажем, что никакие прямоугольники не равны. Заметим, что k 6= 1, т.к. 1 очевидно не является корнем уравнения. Равенство каких-либо двух прямоугольников
равносильно соотношениям на стороны. Из неочевидно неверных возникают системы
k 3 + k = 1, 1 + k 2 = k и 1 + k 2 = k, k 3 + k = k 2 . Однако, в силу выполнения равенства
(1) в первом случае получаем k = 1 + k, во втором - k = k 2 + k, что невозможно.
D
E
C
A
Летняя конференция Турнира городов
B
2014 г.
4 Ответ: нет (это задача Московской математической олимпиады). Указание: задача
3 в [13].Решение см. в [17].
5 Ответ: C-нет, D-да. Решение для C — см. в [13], для D — аналогично.
6 Ответ: да в обоих случаях. Решение см. в [13, Решение задачи 1].
√
7 Ответ: Можно. Решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 1 и a + b c.
√
Тогда прямоугольники размерами k × k(a + b c) также удовлетворяют условию на
соотношение сторон. Если для данных a, b, c нам удастся найти два прямоугольника
такого вида с дополнительным условием, что у каждого из них одна сторона имеет
целую длину, а сумма длин двух оставшихся равна целому числу, то задача решена. Из
прямоугольников с целыми сторонами
√ можно
√ сложить квадрат. В пункте a возьмҷм
прямоугольники размерами 1 × 2 + 2 и 2 − 2 × 2 и сложим квадрат, как показано
√ на
рисунке
5A. Аналогично в пункте b подойдут прямоугольники со сторонами
1, 2−
√
√
√ 2и
2+ 2, 2 (см. рисунок 5B). Для пункта c - прямоугольники
вида√1×3+2 2 и 3−2 2×1.
√
В пункте d прямоугольники со сторонами 1, 3 − 2 2 и 3 + 2 2, 1. Разбиения в двух
последних случаях совпадают (см. рисунок 5C).
A
B
C,D
Рис. 5:
8 Ответ: нет.
9 Ответ: прямоугольники, у которых одна из сторон имеет целочисленную длину
(это задача Московской математической олимпиады). Решение см. в [18].
10 Ответ: прямоугольники с рациональным отношением сторон (теорема Дена).
Указание: задачи 15–18. Решение см. в любом из источников [12, решение задачи 12а],
[13], [17, §3], или√[2].
√
√
√
3
3
11 Ответ: для
2
—
нет,
для
1
+
2
—
нет,
для
1
+
2
—
да,
для
2 — нет.
√
Решение для 2 см.
√ в [13, решение задачи 7].
Решение для 1 + 2. Мы приводим решение, использующее физическую интерпретацию, хотя эту задачу можно решить и без физики. Сама физическая интерпретация и
используемые результаты доказаны в конце данного текста.
Предположим,
что квадрат разрезан
на прямоугольники с отношениями сторон
√
√
1√
1 + 2 и 1+ 2 . Растянем его в 1 + 2 раз по горизонтали. Получим разрезание прямо√
угольника с отношением сторон 1 + 2. Рассмотрим соответствующую
электрическую
√ 2
цепь.√Она состоит из резисторов сопротивлением 1 и (1 + 2) , и имеет сопротивление
1 + 2. Согласно теореме о сопротивлении цепи, √найдутся такие многочлены p(x) и
√
√ 2
√
2)2 )
√
q(x) с целыми коэффициентами, что 1+ 2 = p((1+
.
Значит,
q((1+
2)
)·(1+
2)−
2
q((1+ 2) √
)
√
√
√ 2
p((1+ 2) ) √= 0. Согласно предыдущей лемме, q((1− 2)2 )·(1− 2)−p((1− 2)2 ) = 0,
√
2)2 )
√
то есть p((1−
=
1
−
2.
q((1− 2)2 )
6
√
Заменим теперь в нашей цепи все резисторы сопротивлением (1 + 2)2 на √резисто√
2)2 )
√
ры сопротивлением (1 − 2)2 . Сопротивление полученной цепи равно p((1−
. По
q((1− 2)2 )
√
доказанному выше, это число равно 1 − 2. Мы получили, что сопротивление цепи из
резисторов с положительными сопротивлениями отрицательно. Это противоречит задаче 20(B). Значит, требуемое
Утверждение задачи доказано.
√ разрезание 2невозможно.
2
12 Ответ: при x = a + b 2 таких, что a > 2b , где a, b — рациональные.
Указание. См. задачи 19–21.
Решение. Докажем возможность разрезания при таких x. Задача о разрезании равносильна задаче о складывании квадрата
из прямоугольников с заданным соотношением сторон.
√ Возьмҷм √
прямоугольник со сторонами длины 1 и a +
√ b 2.2 Если2
a − b 2 > 0, то прямоугольник со сторонами a − b 2 и a − 2b
удовлетворяет условию задачи. Теперь сложим k копий одного
и l копий другого так, чтобы k = l×(a2 −2b2 ) ∈ Z (см. рисунок).
Обратите внимание, что a2 − 2b2 может быть как больше, так и
меньше 1. Получили прямоугольник с целыми сторонами, слеРис. 6:
довательно складываем из него квадрат. Квадрат, сложенный
таким образом, легко разрезается. Действительно, достаточно действовать в обратном
порядке: сначала разрезаем на прямоугольники с целыми сторонами, затем каждый
из них вдоль центральной линии (выделена синим цветом на рисунке) и т.д.
Невозможность разрезания√при остальных x доказывается почти дословно так же,
как частный случай x = 1 + 2 в задаче 11.
13 Пусть выполнено равенство из условия 2). Под отношением сторон прямоугольника в этом решении будем понимать отношение длины его вертикальной стороны к
длине горизонтальной. Покажем, как разрезать квадрат на прямоугольники с отношением сторон R и 1/R. Возьмем некоторый квадрат. Отрежем от него прямоугольник
с отношением сторон c1 R, проведя вертикальный разрез. От оставшейся части отрежем прямоугольник с отношением сторон c21R , проведя горизонтальный разрез. Будем
продолжать этот процесс, чередуя вертикальные и горизонтальные разрезы. В силу
равенства в условии 2) на n-м шаге мы получим прямоугольник с отношением сторон
cn R (или cn1R , в зависимости от четности числа n). Тем самым квадрат оказался разбит
на прямоугольники с отношениями сторон c1 R, c21R , c3 R, . . . , cn R (или cn1R ). Остается
каждый из полученных прямоугольников разрезать на прямоугольники с отношением
сторон R или 1/R, и нужное разбиение построено.
14 Ответ: x + y = x + y, x − y = x − y, x · y = x · y, x/y = x/y.
15 Построение системы описано в начале статьи [13]. Вывод нужного равенства следует из [11, начало §5].
16 Указание: приведите систему к ступенчатому виду.
17 Решение следует из теоремы единственности в [13].
18 Решение см. в любом из источников [12, решение задачи 12а], [13], [17, §3], или [2].
19,20,22. Рассмотрим некоторое разрезание. Растянем картинку в R раз по горизонтали. Получим прямоугольник с отношением сторон R, разрезанный на квадраты и
прямоугольники с отношением сторон R2 . Рассмотрим соответствующую электрическую цепь. Согласно теореме о сопротивлении цепи число R можно выразить через
7
числа 1 и R2 , пользуясь только четырьмя арифметическими действиями. Это означает, что найдутся два ненулевых многочлена p(x) и q(x) с целыми коэффициентами,
2
)
2
2
такие что R = p(R
2
q(R ) . Значит, q(R ) · R − p(R ) = 0. Получаем, что число R — корень многочлена q(x2 ) · x − p(x2 ). Последний многочлен имеет целые коэффициенты.
Он ненулевой, так как многочлены p(x2 ) и q(x2 ) — ненулевые, причҷм в многочлен
p(x2 ) · x переменная x входит только в нечҷтной степени, а в многочлен q(x2 ) — только
в чҷтной. Утверждение доказано. (Но можно и без электрических цепей.)
21 См. [11].
23 См. доказательство теоремы 1.5 часть 1) ⇒ 2) в параграфе 3.2 в [11].
24 Решение можно прочитать в [6].
25 Решение можно прочитать в [6], теорема 28 в параграфе 10.
26 См. доказательство леммы 2.6 в параграфе 5.2 в [11].
27 См. доказательство теоремы 1.5 часть 2) ⇒ 3)в параграфе 3.2 в [11].
Замечание. Физический смысл теоремы Фостера–Кауэра: описание, как может зависеть от частоты ω переменного
тока реактивное сопротивление R(iω) электрической цепи, составленной из конденсаторов и индукторов.
28, 30 Следует из теоремы Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга.
29 Идея доказательства утверждения 3) ⇒ 2). Покажем
на примере, как по
√
3
корню многочлена строится цепная дробь. Пусть r = 1 + 2 — корень многочлена
f (x) = (x − 1)3 − 2. Для любого другого многочлена, удовлетворяющего условию 2),
сработает тот же способ построения. Но доказывать это мы не будем.
Рассмотрим функцию
f (−x) − f (x) x3 + 3x
= 2
.
R(x) =
f (−x) + f (x)
3x + 3
√
Она нечётна и равна единице при x = 1 + 3 2. Разложим функцию R(x) в цепную
дробь, последовательно выделяя целую часть:
x3 + 3x 1
1
= x+ 3
R(x) = 2
3x + 3
3
2x +
1
.
2
3x
Коэффициенты c1 = 13 , c2 = 32 , c3 = 23 — искомые.
31–35 См. [11, 16, 15, 7, 10].
Пример. На плане (рисунок 7) правая верхняя и левая нижняя комнаты имеют
размеры 2 × 6 м, а остальные комнаты квадратные. Найдите размеры квартиры.
Ответ: 6×10. Доказательство. Обозначим за x сторону внутреннего квадрата (см. рис. 7) и продолжим стороны всех прямоугольников до их пересечения со сторонами прямоугольникаквартиры. На рисунке эти продолжения изображены пунктиром. Тогда сторона квадрата A равна 2 + x, следовательно,
нижнее основание прямоугольника B имеет длину 2 + 2x. По
условию, она равна 6, т.е. x = 2. Отсюда находим размеры.
Рис. 7:
Физическая интерпретация (отрывок из статьи [3]).
С математической точки зрения электрическая цепь — это связный плоский граф,
каждому ребру которого сопоставлено некоторое положительное число, причем концы одного из ребер отмечены знаками “+” и “−”. Ребро с отмеченными концами называется батарейкой, остальные — резисторами. Число, сопоставленное батарейке,
8
называется напряжением батарейки, а числа, сопоставленные резисторам, — их сопротивлениями. Вершины графа называются узлами, отмеченные узлы батарейки —
положительной и отрицательной клеммами. Силы токов через ребра — это сопоставленные ребрам действительные числа, которые определяются правилами Кирхгофа1 . Сопротивлением электрической цепи назовем отношение напряжения батарейки
к силе тока через нее.
По разрезанию прямоугольника на прямоугольники цепь строится так; см. рисунок 8
и 9.
+
−
Рис. 8: Построение электрической цепи по разрезанию (слева). Общепринятое изображение электрической цепи (справа).
На каждой вертикальной линии разреза отметим по точке — это будут узлы будущей электрической цепи. На вертикальных сторонах разрезаемого прямоугольника
выберем по клемме. Их мы отметим знаками “+” и “−” и соединим с батарейкой (“+”
на левой стороне, “−” на правой).
Каждый прямоугольник разрезания ограничен слева и справа двумя вертикальными разрезами. В электрической цепи его изображением служит резистор, соединяющий два узла на этих разрезах (узлы могут оказаться на продолжениях сторон
прямоугольника).
Сопротивление резистора положим равным отношению сторон его прямоугольни2
ка . Напряжение батарейки положим равным длине горизонтальной стороны разрезаемого прямоугольника.
Нужная нам электрическая цепь построена.
Из правил Кирхгофа следует, что силы тока в резисторах равны длинам вертикальных сторон их прямоугольников, а сила тока через батарейку — длине вертикальной
стороны разрезаемого прямоугольника3 . Значит, сопротивление цепи равно отношению сторон разрезаемого прямоугольника.
Как же найти сопротивление цепи? Известны формулы для сопротивления цепей из
последовательно и параллельно соединенных резисторов; см.рисунок 9 (докажите эти
1 Подробно
правила Кирхгофа обсуждаются в нашей предыдущей статье.
раз и навсегда фиксируем систему единиц: сопротивления будем измерять в килоомах, напряжения в вольтах, токи — в миллиамперах, длины - в сантиметрах. В дальнейшем единицы измерения не указываются.
3 Мы подробно объяснили это в предыдущей статье для частного случая, когда прямоугольник разрезан на квадраты.
2 Мы
9
R = R1 + R2
R=
R1 R2
R1 +R2
R1
R1
R2
R2
R1
R2
R1
R2
Рис. 9: Формулы для сопротивления цепей из последовательно (слева) и параллельно (справа)
соединенных резисторов
формулы!). Оказывается, для произвольной электрической цепи тоже можно написать формулу, которая выражает сопротивление цепи через сопротивления отдельных
резисторов:
Теорема о сопротивлении цепи. Силы тока в электрической цепи и ее сопротивление можно выразить через сопротивления резисторов и напряжение батарейки,
используя только сложение, вычитание, умножение и деление.
Доказательство. Нам эта теорема понадобится только для электрических цепей, построенных по разрезаниям. Поэтому и докажем ее мы только в этом частном случае4 .
Запишем систему уравнений на силы токов, построенную по правилам Кирхгофа. Ее
коэффициенты — это ±1, а также сопротивления отдельных резисторов и напряжение
батарейки. Так как цепь построена по разрезанию, то у нашей системы заведомо есть
решение: ей удовлетворяют длины вертикальных сторон прямоугольников. По теореме
единственности из предыдущей статьи других решений нет.
Вспомним теорему о решении системы из предыдущей статьи: мы фактически доказали тогда, что если решение системы единственно, то оно выражается через коэффициенты с помощью четырех арифметических операций. Значит, все силы тока
выражаются через ±1, напряжение батарейки и сопротивления резисторов. То же самое верно и для сопротивления цепи.
При этом от чисел ±1 в нашем выражении легко избавиться: например, заменив 1
на R/R, где R — сопротивление одного из резисторов. Теорема о сопротивлении цепи
доказана.
Лемма о сопряжении. Пусть в электрической цепи сопротивления всех резисторов — хорошие числа, причем сопряженные к ним числа положительны. Тогда если
заменить сопротивления резисторов на сопряженные к ним числа, то сопротивление цепи также заменится на сопряженное.
Доказательство. Будем считать напряжение батарейки единичным (сопротивление
цепи все равно от него не зависит). По теореме о сопротивлении цепи все силы тока в
исходной цепи хорошие. Заменим сопротивления всех резисторов и все силы тока на
сопряженные. Из свойства 3) хороших чисел легко вывести, что правила Кирхгофа
останутся справедливыми. Например, если резисторы 1, 2, 3 образуют контур, то по
4 Также мы не доказываем и не используем, что сопротивление цепи выражается через сопротивления резисторов одинаковым образом
для любых значений сопротивлений резисторов.
10
Таблица 1: Словарик
разрезание большого прямоугольника на маленькие
вертикальный разрез
маленький прямоугольник
вертикальная сторона маленького прямоугольника
отношение сторон маленького прямоугольника
большой прямоугольник
вертикальная сторона большого прямоугольника
горизонтальная сторона большого прямоугольника
отношение сторон большого прямоугольника
электрическая цепь
узел
резистор
сила тока через резистор
сопротивление резистора
батарейка
сила тока через батарейку
напряжение батарейки
сопротивление электрической цепи
правилу Кирхгофа
I1 R1 + I2 R2 + I3 R3 = 0.
После замены на сопряженные
I¯1 R̄1 + I¯2 R̄2 + I¯3 R̄3 = I1 R1 + I2 R2 + I3 R3 = I1 R1 + I2 R2 + I3 R3 = 0̄ = 0.
Мы видим, что правило Кирхгофа по-прежнему выполняется.
Так как все новые сопротивления положительны, то выполнена теорема единственности. Значит, выбранные силы тока — это и есть настоящие силы тока в полученной
цепи. Так как ток через батарейку заменился на сопряженный, то и сопротивление
цепи заменилось на сопряженное. Лемма о сопряжении доказана.
Благодарности
Задачи в основном заимствованы из подборки К. Кохася, а также статей [13, 3].
Авторы благодарны К. Куюмжиян за помощь с переводом текста на английский язык,
а также А. Заславскому и Г. Челнокову за помощь с проверкой работ.
Список литературы
[1] В. И. Арнольд, Цепные дроби, МЦНМО, Москва, 2001.
[2] R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone, and W. T. Tutte, The dissection of rectangles
into squares, Duke Math. J. 7 (1940), 312–340.
[3] S. Dorichenko, O. Malinovskaya, M. Skopenkov, A square from similar rectangles, in
preparation (in Russian). С. Дориченко, О. Малиновская, М. Скопенков, Квадрат из
подобных прямоугольников, препринт, http://arxiv.org/abs/1305.2598.
[4] M. Gardner, Squaring the square. In: The 2nd Scientific American Book of Mathematical
Puzzles and Diversions, University of Chicago Press, 1987, 256 p. М. Гарднер, Квадрирование квадрата. В: Математические головоломки и развлечения, М.:Мир, 1999.
[5] C. Freiling and D. Rinne, Tiling a square with similar rectangles, Math. Res. Lett. 1
(1994), 547–558.
[6] А. Я. Хинчин, Цепные дроби, государсвтенное
математической литературы, Москва,(1960)
издательство
физико-
[7] R. Kenyon, Tilings and discrete Dirichlet problems, Israel J. Math. 105:1 (1998), 61–84.
11
[8] M. Laczkovich and G. Szekeres, Tiling of the square with similar rectangles,
Discr. Comp. Geom. 13 (1995), 569–572.
[9] Jiří Matoušek, Thirty-three Miniatures: Mathematical and Algorithmic Applications of
Linear Algebra, Amer. Math. Soc., 2010, 182 p.
[10] V. G. Pokrovskii, Slicings of n-dimensional parallelepipeds, Math. Notes 33:2 (1983),
137–140. Matematicheskie Zametki 33:2 (1983), 273–280 (in Russian).
[11] M. Prasolov and M. Skopenkov, Tilings by rectangles and alternating current, J.
Combin. Theory A 118:3 (2011), 920–937, http://arxiv.org/abs/1002.1356.
[12] M. Prasolov, M. Skopenkov and B. Frenkin, Invariants of polygons, 19-th summer
conference International mathematical Tournament of towns, Belarus, Minsk, 2007. М.
Прасолов, М. Скопенков и Б. Френкин, Инварианты многоугольников, 19-я летняя конференция международного математического Турнира городов, Беларусь,
Минск, 2007. http://www.turgor.ru/lktg/2007/1/index.php
[13] M. Skopenkov, M. Prasolov, S. Dorichenko, Dissections of a metal rectangle, Kvant
3 (2011), 10-16 (in Russian). М. Скопенков, М. Прасолов, С. Дориченко, Разрезания металлического прямоугольниа, Квант 3 (2011), 10-16.http://arxiv.org/abs/
1011.3180
[14] M. Skopenkov, V. Smykalov, A. Ustinov, Random walks and electric networks, Mat.
Prosv. 3rd ser. 16 (2012), 25-47 (in Russian). М. Скопенков, В. Смыкалов, А. Устинов,
Случайные блуждания и электрические цепи, Мат. Просв., 3-я серия 16 (2012), 2547. http://www.mccme.ru/free-books/matprosh.html
[15] Z. Su and R. Ding, Tilings of orthogonal polygons with similar rectangles or triangles,
J. Appl. Math. Comp. 17:1 (2005), 343–350.
[16] B. Szegedy, Tilings of the square with similar right triangles, Combinatorica 21:1
(2001), 139–144.
[17] I.M. Yaglom, How to Dissect a Square?, Math. Bibl., Nauka, Moscow, 1968, 112 p.
(in Russian). И.М. Яглом, Как разрезать квадрат? Мат. Библ., М.: Наука, 1968, 112
стр. http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/yaglom/square.htm
[18] S. Wagon, Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle, Amer. Math. Monthly
94:7 (1987).
12