4.1.2 Результирующие напряжений в балке

ЛЕКЦИЯ 2
4 Изгиб
4.1 Поперечная сила и изгибающий момент
4.1.1 Типы балок
Стержень, на который действует нагрузка, перпендикулярная оси
стержня, называется балкой. Рассмотрим некоторые простейшие примеры
балок (рис. 2.1).
RA
RB
RA
q
RA
RB P 2
l
A
B A
a
b
а
P1
a
MA
B
A
b
б
в
Рис. 2.1 Типы балок
Будем предполагать, что в каждом из примеров балка имеет плоскость
симметрии, параллельную плоскости рисунка. Таким образом, имеет
вертикальную ось симметрии. Также предполагается, что прикладываемая
нагрузка действует в плоскости симметрии, и, следовательно, изгиб происходит
в этой плоскости. Позже будет рассмотрен случай и несимметричного
поперечного сечения.
Балка на рис. 2.1 a с шарнирно-неподвижной опорой на одном конце и
шарнирно-подвижной опорой на другом конце называется шарнирно-опёртой
балкой. Характерной чертой шарнирно-опёртой балки является то, что оба
конца балки во время изгиба могут свободно вращаться, но не могут
перемещаться в поперечном направлении (т.е. перпендикулярно оси балки).
Один конец балки может также перемещаться вдоль оси балки (т.е.
горизонтально). В опорах шарнирно-опёртой балки могут возникать
вертикальные реакции.
Балка на рис. 2.1 б, которая на одном конце заделана или жёстко
защемлена, называется консольной. В заделке балка не может ни вращаться, ни
перемещаться поступательно, в то время как свободный конец балки может и
перемещаться поступательно и вращаться. Третий пример на этом рисунке
представляет балку со свисающей частью. Эта балка опёрта в точках А и В и
имеет свободный край в точке С.
Нагрузками, действующими на балку могут быть сосредоточенные силы,
такие как Р1 и Р2 на рис. 2.1 а и в, или распределённые, такие как нагрузка q на
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
2
рис. 2.1 б. Распределённые нагрузки характеризуются их интенсивностью,
которая выражается в единицах силы на единицу длины вдоль оси балки. На
рис. 2.1 б интенсивность постоянна вдоль участка приложения нагрузки. В
случае переменной нагрузки она является функцией координаты вдоль оси
балки.
Балки, изображённые на рис. 2.1, статически определимые, так как их
реакции могут быть определены из уравнений равновесия. Например, в случае
шарнирно опёртой балки (рис. 2.1 а) обе реакции вертикальные и их величины
могут быть определены из уравнений равновесия по моментам относительно
опор:
A
 0  R Bl  P1a  0  R B 
P1a
,
l
B
 0  R A l  P1b  0  R A 
P1b
.
l
M
M
Реакции балки со свисающей частью (рис. 2.1 в) определяются
аналогично.
В случае консольной балки (рис. 2.1 б) действие приложенной нагрузки q
уравновешивается вертикальной реакцией RA и моментом в заделке MA как
показано на рисунке.
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось,
получаем:
R A  qb ,
а приравнивая нулю сумму моментов относительно точки А, получаем:
b

M A  qb a   .
2

Реактивный момент МА действует против часовой стрелки, как показано
на рисунке.
4.1.2 Результирующие напряжений в балке
Рассмотрим в качестве примера консольную балку, на свободном конце
которой действует сила Р под углом α к оси балки (рис. 2.2 а).
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
Q
P
P
β
m
β
z
3
Q
M
M
N N
m
z
б
a
в
Рис. 2.2 Результирующие напряжения N, Q, M
Если провести сечение балки m-m плоскостью, перпендикулярной оси
балки, отбросить правую часть балки, действие отброшенной части балки
заменить напряжениями, действующими в сечении, то оставшаяся левая часть
балки должна быть в равновесии под действием силы Р и напряжений.
Распределение напряжений в сечении неизвестно, но результирующие
напряжений должны уравновешивать силу Р (рис. 2.2 б). Очевидно, что в
общем случае, чтобы уравновесить силу Р, в поперечном сечении должна
действовать осевая сила N, направленная по оси балки и уравновешивающая
горизонтальную составляющую силы Р, поперечная или поперечная сила Q,
действующая в плоскости поперечного сечения и уравновешивающая
поперечную составляющую силы Р, и изгибающий момент М, действующий в
плоскости балки и уравновешивающий момент силы Р относительно
поперечного сечения.
Осевая сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М называются
результирующими напряжений в сечении. Для статически определимых балок
результирующие могут быть определены из уравнений равновесия. Так, для
балки, изображенной на рис. 2.2 а, мы получим (рис. 2.2 б):
 Fx  0
 N  Pcos;
 Fy  0
 Q  Psin;
 Mc  0
 M  Pzsin.
Таким образом, из уравнений равновесия отсечённой части конструкции
мы получили значения результирующих напряжений в сечении. Напряжения,
результирующая которых – осевая сила N, рассматривались при исследовании
растяжения – сжатия. Теперь рассмотрим напряжения, результирующие
которых – изгибающий момент М и поперечная сила Q.
M
M
N
N
Q
Q
N
M
N
Q
Q
M
Рис. 2.3 Правила знаков результирующих напряжений N, M, Q в балке
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
4
Правило знака для результирующих напряжений в сечении балки
показано на рис. 2.3. Как следует их этого рисунка, положительная осевая сила
N направлена от сечения и вызывает растяжение, а отрицательная – направлена
к сечению и вызывает сжатие (это соответствует ранее принятому правилу).
Положительный изгибающий момент М вызывает сжатие верхних волокон
балки, а отрицательный – нижних. Положительная поперечная сила Q вызывает
вращение примыкающего к сечению участка балки по часовой стрелке,
отрицательная – против.
4.2 Напряжения в балках
4.2.1 Нормальные напряжения при изгибе
Чтобы получить формулу для нормальных напряжений в балке,
рассмотрим балку, нагруженную двумя силами, как показано на рис. 2.4
P
P
y
z
a
P
a
Q
P
M
Pa
Рис. 2.5 Чистый изгиб
В центральной части балки поперечная сила равна нулю, а изгибающий
момент постоянный и равен Ра. Такое состояние балки называется чистым
изгибом.
Чтобы определить распределение напряжения по сечению в состоянии
чистого изгиба, необходимо рассмотреть деформации балки. Будем
предполагать, что плоскость yz – плоскость симметрии поперечного сечения
балки и что нагрузка действует в той же плоскости (рис.2.4), следовательно,
изгиб будет происходить в той же плоскости. Под действием постоянного по
длине балки изгибающего момента М = Ра и при отсутствии в сечении балки
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
5
поперечной силы Q ось балки изогнётся по дуге окружности (рис. 2.5 а), так как
все поперечные сечения балки находятся в абсолютно одинаковых условиях.
Следовательно, поперечные сечения балки mn и pq, расстояние между
которыми до деформации равно dz, останутся плоскими и нормальными к
продольным волокнам балки.
О
y
ρ
dθ
x
ρ-y
y
m
a1
б
p
b1
y
z
n
q
а
Рис. 2.5 Чистый изгиб элемента балки
Итак, после деформации балка изогнулась по дуге окружности,
вследствие чего верхние волокна сожмутся, а нижние растянутся. Таким
образом, где-то между крайними волокнами есть волокна, которые не меняют
своей длины, т.е. остаются той же длины dz, которую имели все волокна до
деформации. Эти волокна балки, которые не изменили своей длины,
называются нейтральными и образуют нейтральный слой. Пересечение
нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной
осью сечения (рис. 2.5 б). На рис. 2.5 положение нейтрального слоя показано
штрих – пунктиром. Продолжения же поперечных сечений mn и pq пересекутся
в точке О – центре кривизны продольных волокон после изгиба балки.
Обозначим угол между поперечными сечениями dθ, а радиус кривизны
нейтрального волокна через ρ. Таким образом, так как длина нейтрального
волокна не меняется и равна длине всех продольных волокон до деформации
dz, то
dz  d .
(а)
Найдём удлинение продольного волокна ab, расположенного на
расстоянии у от нейтрального волокна. Длина его до деформации определяется
формулой (а). После деформации, так как радиус кривизны этого волокна равен
(рис. 2. 5 а) ρ – у, длина его стала:
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
a1b1  (  y)d .
6
(б)
Относительное удлинение продольного волокна, т.е. деформация волокна
в направлении оси z, определится формулой:
a b  ab (  y)d  d
y
z  1 1

   y ,
ab
d

(в)
1
- кривизна нейтрального слоя.

Таким образом, продольные деформации прямо пропорциональны
кривизне и расстоянию от нейтрального слоя. В случае действия
положительного изгибающего момента, как в данном случае, для точек сечения
с положительной координатой у (верхние волокна) деформации отрицательны
(сжатие), а для точек с отрицательной координатой (нижние волокна) –
положительны (растяжение).
Для балки из упругого материала с линейной диаграммой деформации –
напряжения (материал подчиняется закону Гука), мы имеем   E и,
следовательно, нормальные напряжения в балке определятся согласно формуле
(в) соотношением:
   Ey .
(г)
где  
Таким образом, напряжения меняются пропорционально расстоянию от
нейтральной оси, как показано на рис. 2.6 а:
y
у
σ
с2
dA
с1
x
а
б
Рис. 2.6 Распределение нормальных напряжений по сечению
Ниже нейтральной оси действуют растягивающие напряжения, выше –
сжимающие.
Обозначим через dA элемент площади поперечного сечения на
расстоянии у от оси х (рис. 2.6 б). Нормальная сила, действующая на этой
площадке равна
dN  dA ,
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
7
а момент этой силы относительно оси х равен
dMx  dN  y  ydA .
Равнодействующая элементарных сил равна осевой силе и в этой задаче
она равна нулю, т.е. согласно (г):
N   dA  E  ydA   ES x  0 ,
A
A
где
S x   ydA  0 A
статический момент площади поперечного сечения относительно оси х. Так как
статический момент площади поперечного сечения относительно оси х равен
нулю, то, следовательно, ось х проходит через центр тяжести поперечного
сечения. Таким образом, оси х и у на рис. 2.6 б – главные центральные оси
сечения.
Равнодействующая же элементарных моментов равна изгибающему
моменту в поперечном сечении, т.е.
M x   Ey 2 dA  E  y 2 dA  EI x ,
A
(д)
A
где
I x   y 2 dA A
момент инерции поперечного сечения относительно оси х.
Итак, согласно (д)
M
E  x .
Ix
(2.1)
Подставляя выражение для Еκ (2.1) в соотношение (г) получим
окончательно формулу для нормальных напряжений:

Mx
y.
Ix
(2.2)
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
8
В случае, когда изгибающий момент положительный, в верхней части
сечения действуют сжимающие напряжения (у положительно).
Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения в балке имеют
место в точках наиболее удалённых от нейтральной линии сечения. Обозначая
расстояния до наружных волокон через с1 и с2 (рис. 2.6 б) и предполагая, что
изгибающий момент положителен, мы получим по формуле (2.2):
 max 
Mx
M
M
M
c1  x ,  min   x c 2   x ,
Ix
Wx1
Ix
Wx 2
I
I
где Wx1  x и Wx 2  x называются моментами сопротивления изгибу.
c1
c2
Если поперечное сечение симметрично относительно оси х, то с1 = с2 = с
и максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютной величине:
 max   min 
Mx
M
c x .
Ix
Wx
(2.3)
где
I
Wx  x c
(2.4)
h/2
момент сопротивления сечения изгибу.
Для балки прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h
(рис. 2.7 а) осевой момент инерции и момент сопротивления изгибу равны:
x
h/2
x
b
d
a
б
2.7 Моменты инерции и моменты сопротивления изгибу
bh 3
bh 2
Ix 
, Wx 
.
12
6
(2.5)
Для сплошного кругового сечения (рис. 2.4 б) получаем:
d 4
d 3
Ix 
, Wx 
.
64
32
(2.6)
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
9
Геометрические характеристики различных видов профилей можно найти
в соответствующих справочниках, учебниках и задачниках.
Формула для нормальных напряжений при изгибе (2.2) получена в
предположении, что поперечная сила в сечении равна нулю, т.е. для чистого
изгиба. Как будет показано в следующей лекции, формула (2.2) справедлива и в
случае поперечного изгиба, когда в поперечном сечении действует и
поперечная сила.
4.2.2 Расчёт балок
При изгибе балок нормальные напряжения являются основными,
определяющими прочность балок. Условие прочности при изгибе запишется:
 max 
M x max
 ,
Wx
(2.7)
откуда
Wx 
M x max
.

(2.8)
Если для сжатия и растяжения допустимое напряжение  одинаковы, то
берут симметричное относительно горизонтальной оси поперечное сечение.
С целью экономии материала необходимо выбирать сечение с
минимальной площадью. По справочнику выбираем профиль с моментом
сопротивления изгибу удовлетворяющим неравенству (4.2).
Рассмотрим пример (рис. 4.8):
P
P
y
z
a
P
a
Q
P
M
Pa
Безмельницин В.Т, Прикладная механика
Лекция 2
10
Рис. 4.8 Пример нагружения балки
Шарнирно опёртая балка нагружается двумя равными силами на
расстоянии а = 50 см от опор. Поперечное сечение балки прямоугольное
шириной b = 10 cм и высотой h = 15 см, материал – дерево с допустимым
нормальным напряжением σw = 110 кГ/см2. Определить допустимую силу Рw из
условия прочности на изгиб.
Решение.
1. Средняя часть балки находится в состоянии чистого изгиба с
изгибающим моментом M  P  a .
2. Запишем условие прочности по нормальным напряжениям:
 max 
откуда
M
 w ,
W
M  Pw  a  W   w ,
т.е.
Pw 
bh 2
10  15 2
w 
110  825 кГ
6a
6  50