Линейные пространства. Эрмитово пространство. Линейным пространством называется множество элементов любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на числа со значениями в том же множестве. Эти операции должны обладать теми же свойствами, какими обладают соответствующие операции над числами. В частности, должен существовать такой элемент O 0, что для любого элемента a множества выполняется равенство a + O = a . Если допускается умножение только на действительные числа, то пространство называется действительным, если же на комплексные – то комплексным. Элементы линейного пространства называются векторами. Примеры линейных пространств. r r 1. Множество векторов (направленных отрезков) a , b ,... обычного пространства, либо плоскости. 2. Множество упорядоченных систем n действительных, либо комплексных чисел v r a = ( a 1 , a 2 ,..., a n ), b = ( b1 , b 2 ,..., b n ), .... r v r r Векторы a , b считаются равными, если a1 = b1 , a 2 = b2 ,..., a n = bn ; при этом пишут a = b . Сумма векторов и произведение вектора на число определяются следующим образом: r r a + b = (a1 + b1 , a 2 + b2 ,..., a n + bn ) r λ a = (λa1 , λa 2 ,..., λa n ) . r Роль нулевого элемента играет вектор 0 = (0,0,...,0) . 3. Множество действительных или комплекснозначных функций f ( x), g ( x),... , определённых и непрерывных на отрезке [a, b] . Можно рассматривать также функции от нескольких переменных. В математике на эти функции накладываются дополнительные условия, и если они выполнены, то линейное пространство называют гильбертовым (по имени нем. математика Д.Гильберта). r r r Множество элементов a1 , a 2,..., a m линейного пространства называется линейно-зависимыми, если существуют такие числа λ1 , λ 2 ,..., λ n , среди которых есть отличные от нуля, что r r r r r r r выполняется равенство λ1a1 + λ2 a 2, + ... + λm a m = 0 . то векторы a1 , a 2,..., a m называются линейно зависимыми. Если же это равенство выполняется только при λ1 , = λ 2 = ... = λn = 0 , то векторы называются линейно независимыми. (Другое определение линейной зависимости: векторы линейно-зависимы, если хотя бы один из них линейно выражается через остальные). Можно доказать, что множество векторов обычного пространства (пример 1) является трёхмерным линейным пространством, линейное пространство из примера 2 – n -мерным линейным пространством, множество функций из примера 3 –бесконечномерным линейным пространством. Определим понятие скалярного произведения в линейном пространстве. В множестве направленных отрезков скалярное произведение определяется формулой r^ r r r r r (a , b ) =| a || b | cos(a , b ) . В этом определении используются длины векторов и угол между ними. Поэтому определять таким образом скалярное произведение в других линейных пространствах нельзя. В общем случае определением скалярного произведения служит перечисление основных свойств, которыми оно должно обладать. Если каждой паре элементов a, b линейного пространства L поставлено в соответствие число (a, b) так, что при этом 10 для любых a, b ∈ L выполняется равенство (a, b) = (b, a) * 20 для любого a ∈ L и любого числа λ выполняется равенство (a, λb) = λ (a, b) 30 для любых a, b ∈ L и любого числа λ выполняется равенство λ (a + b) = λa + λb 1 40 для любого a ∈ L выполняется равенство (a, a) ≥ 0 , причём (a, a) = 0 только при a = 0 , то говорят, что в этом пространстве задано скалярное произведение. Если пространство действительное, то скалярное произведение (a, b) и число λ в свойствах 10– 40 предполагаются действительными, если же комплексное, то комплексными. Свойства 10-40 называются основными потому, что остальные свойства скалярного произведения можно получить из них как следствие. Например, справедливо равенство (λ a, b) = λ * (a, b) , так как (λ a, b) = (b, λ a)* = (λ (b, a))* = λ * (b, a)* = λ * (a, b) . Из свойства 10 следует, что скалярный квадрат (a, a) всегда является действительным числом, так как при b = a получаем (a, a) = (a, a) * . Элементы линейного пространства a, b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (a, b) = 0 . Вектор a , удовлетворяющий условию || a ||= 1 , называется единичным. Легко проверить, что если a ≠ 0 , то вектор a – единичный. || a || Нормой элемента a ∈ L называется число || a || = (a, a) ; если a ≠ 0 , то || a || > 0 . Для линейного пространства из примера 2 скалярное произведение определяется следующим образом: (a, b) = a1*b1 + a 2 *b2 + ... + a n *bn , откуда || a || = | a1 | 2 + | a 2 | 2 +...+ | a n | 2 В линейном пространстве, элементами которого являются функции, скалярное произведение определяется формулой b ( f , g) = b ∫ f * ( x) g ( x) dx , откуда || f ( x) || = ∫ | f ( x) | dx . 2 a a Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется эрмитовым пространством (по имени франц. матем. Шарля Эрмита). Если же пространство со скалярным произведением действительное, то его называют эвклидовым. 2