Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Понятие аффинного пространства является обобщением понятия множества точек в аналитической геометрии. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Определение аффинного пространства ~ – конечномерное линейное пространство над F , V – Пусть F – поле, V непустое множество (его элементы называются точками и обозначаются ~ −→ V – отображение (операция малыми латинскими буквами), + : V × V ~ называются, откладывания вектора от точки). Элементы пространства V как обычно, векторами, и обозначаются в этой теме малыми латинскими буквами со стрелками: ~a. Определение ~ , +), Аффинным пространством над полем F называется тройка V = (V , V если выполняются следующие условия: 1 ∀p ∈ V p + ~ 0 = p, ~ (p + ~x ) + ~y = p + (~x + ~y ), ∀p ∈ V ∀~x , ~y ∈ V → ~ : p + ~x = q (обозначение: ~x = − 3 ∀p, q ∈ V ∃!~ x ∈V pq). ~ , +) называется dimV ~. Размерностью аффинного пространства V = (V , V Обозначение: dimV . 2 А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Примеры аффинных пространств 1. Геометрическое пространство Множество точек – множество всех точек, рассматриваемых в геометрии; линейное пространство – Vg ; операция откладывания вектора от точки определена в аналитической геометрии (сл.6 т.1-12), здесь мы считаем, −→ что A + AB = B для любых точек A, B. 2. Аффинное арифметическое пространство над полем F − → V = (F n , F n , +). Элементы множества F n рассматриваются и как точки, и как векторы, во − → втором случае используется обозначение F n . Если p = (α1 , . . . , αn ) ∈ F n , − →n ~x = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ F , то по определению p + ~x = q, где q = (α1 + ξ1 , . . . , αn + ξn ) ∈ F n . 3. Аффинное арифметическое пространство над полем R − → V = (Rn , Rn , +). 4. Аффинное арифметическое пространство над полем C − → V = (Cn , Cn , +). А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Свойства аффинных пространств Предложение ~ , +) – аффинное пространство над полем F . Тогда для Пусть V = (V , V любых p, q, r ∈ V справедливы равенства − → 1 p + pq = q, 2 − →+− → → pq qr = − pr . Доказательство. Первое равенство следует из пункта 3 определения аффинного пространства (сл.3). На основании пункта 2 определения аффинного пространства и утверждения 1 получаем →+− → → +− → → →+− → p + (− pq qr ) = (p + − pq) qr = q + − qr = r , т.е. p + (− pq qr ) = r , откуда в силу пункта 3 определения аффинного пространства следует 2. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Репер в аффинном пространстве ~ , +) – аффинное пространство над полем F , dimV = n. Пусть V = (V , V Определение Репером (или системой координат) в аффинном пространстве V называется совокупность (o; ~e1 , . . . , ~en ) из точки o ∈ V и базиса ~. (~e1 , . . . , ~en ) линейного пространства V Координатами точки p ∈ V в репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) называются координаты → в базисе (~e , . . . , ~e ) линейного пространства V ~ . Обозначение: вектора − op 1 n → = γ ~e + . . . + γ ~e . p(γ1 , . . . , γn ) или [p] = (γ1 , . . . , γn )> ; таким образом, − op 1 1 n n → называется радиус-вектором точки p. Вектор − op Предложение Если в репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) даны координаты точек p(γ1 , . . . , γn ) и → в базисе (~e , . . . , ~e ) суть q(δ1 , . . . , δn ), то координаты вектора − pq 1 n → = (δ − γ , . . . , δ − γ )> . [− pq] 1 1 n n В самом деле, согласно утверждению 2 предложения сл.5 имеем − →+− →=− → откуда непосредственно следует требуемое. op pq oq, А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Замена репера ~ , +) заданы реперы Пусть в аффинном пространстве V = (V , V (o; ~e1 , . . . , ~en ) и (o 0 ; ~e10 , . . . , ~en0 ). Найдем связь между координатами [p] и [p]0 точки p в этих реперах, предполагая известными координаты [o 0 ] в репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) и матрицу перехода T = (τij )n·n от базиса B = (~e1 , . . . , ~en ) к базису B 0 = (~e10 , . . . , ~en0 ). Тогда B 0 = B · T . Согласно → −→ →=− утверждению 2 предложения сл.5 имеем − op oo 0 + o 0 p, откуда B · [p] = B · [o 0 ] + B 0 · [p]0 = B · [o 0 ] + (B · T ) · [p]0 = B · [o 0 ] + B · (T · [p]0 ) = B · ([o 0 ] + T · [p]0 ). Таким образом, B · [p] = B · ([o 0 ] + T · [p]0 ), и потому [p] = [o 0 ] + T · [p]0 , А. Я. Овсянников [p]0 = T −1 · ([p] − [o 0 ]). Тема 2-20: Аффинные пространства Плоскости (линейные многоообразия) ~ , +) – аффинное пространство над полем F , dimV = n. Пусть V = (V , V Определение ~ ⊆V ~ – подпространство. Тогда множество Пусть p ∈ V , U ~ называется плоскостью (или линейным многообразием) U = {p + ~x |~x ∈ U} ~ с начальной точкой p и направляющим подпространством U. ~ Обозначение: U = p + U. ~ +) будет аффинным пространством. Легко видеть, что тогда U = (U, U, Его можно назвать аффинным подпространством аффинного ~ пространства V . Размерностью плоскости U называется dimU. Обозначение: dimU. Если dimU = 0, то U = {p} также называется точкой, при dimU = 1 U также называется прямой. Заметим, что начальная точка всегда принадлежит плоскости. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Свойства плоскостей Предложение 1 2 3 ~ то для любой точки q ∈ U справедливо U = q + U. ~ Если U = p + U, ~ W =q+W ~ , то U ⊆ W тогда и только тогда, когда Если U = p + U, →∈W ~ ⊆W ~ и− ~. U pq ~ W =q+W ~ , то U = W тогда и только тогда, когда Если U = p + U, →∈W ~ =W ~ и− ~. U pq → тогда ~ Положим ~x = − Доказательство. Покажем, что U ⊆ q + U. pq, ~ откуда p + ~x = q. Для любой точки r ∈ U имеем r = p + ~y , где ~y ∈ U, ~ ~ ⊆ U. Если r = p + ~x + (~y − ~x ) = q + (~y − ~x ) ∈ q + U. Покажем, что q + U ~ ~ r ∈ q + U, то r = q + ~z , где ~z ∈ U, откуда r = (p + ~x ) + ~z = p + (~x + ~z ) ∈ U. Утверждение 1 доказано. ~ Предположим, что U ⊆ W . Так как p ∈ U, имеем p ∈ W и W = p + W →∈W → ~ , так как q ∈ W и q = p + − согласно утверждению 1. Отсюда − pq pq. ~ имеем p + ~x ∈ U, откуда p + ~x ∈ W и ~x ∈ W ~. Далее, для любого ~x ∈ U ~ ~ Таким образом, U ⊆ W . →∈W ~ ⊆W ~ и− ~ . Тогда для любого ~x ∈ U ~ имеем Предположим, что U pq − → − → → + (~x − − → = q + (~x − − → ∈ W , так p + ~x = p + (pq + ~x − pq) = (p + − pq) pq) pq) →∈W ~ . Утверждение 2 доказано. как ~x , − pq Утверждение 3 непосредственно следует из утверждения 2. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Характеризация плоскостей с помощью прямых ~ , +) – аффинное пространство над полем F и char(F ) 6= 2. Пусть V = (V , V Лемма Для любых различных точек p, q аффинного пространства существует единственная прямая, содержащая эти точки. Обозначение: (p, q). → Тогда dimU = 1, ~ где U ~ = h− Доказательство. Пусть U = p + U, pqi. − → ~ – произвольная прямая, поскольку pq 6= ~0, и q ∈ U. Пусть W = r + W содержащая p и q. Тогда согласно утверждению 1 предложения сл.9 →∈W → 6= ~0 и ~ . Далее, − ~ , поскольку q ∈ W . Так как − W =p+W pq pq → ~ = 1, заключаем, что W ~ = h− dimW pqi. Теорема Непустое множество точек U аффинного пространства является плоскостью тогда и только тогда, когдв либо U = {p}, либо для любых различных точек p, q ∈ U имеет место (p, q) ⊆ U. Доказательство. Пусть U – плоскость, содержащая более одной точки, и → ∈ U, ~ и потому − ~ откуда следует p, q ∈ U, p 6= q. Тогда U = p + U, pq (p, q) ⊆ U. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Окончание доказательства теоремы Пусть U 6= {p} и для любых различных точек p, q ∈ U имеет место ~ = {~x ∈ V ~ |p + ~x ∈ U} и (p, q) ⊆ U. Зафиксируем p ∈ U. Положим U ~ ~ ~ Пусть покажем, что U – подпространство V . Так как p ∈ U, имеем ~0 ∈ U. ~ причем ~x 6= ~y . Тогда по условию (p + ~x , p + ~y ) ⊆ U. ~x , ~y ∈ U, ~ при любом λ ∈ F . Следовательно, p + ~x + h~y − ~x i ⊆ U и ~x + λ(~y − ~x ) ∈ U ~ ~y 6= ~0 и любого λ ∈ F имеет Взяв ~x = ~0, получаем, что для любого ~y ∈ U, ~ т.е. U ~ замкнуто относительно умножения на любой скаляр место λ~y ∈ U, из F . ~ при λ = 1 (здесь используется предположение, Для различных ~x , ~y ∈ U 2 ~ откуда следует что char(F ) 6= 2) получаем ~x + λ(~y − ~x ) = 21 ~x + 12 ~y ∈ U, ~ ~ ~ замкнуто ~x + ~y ∈ U. Поскольку ~x + ~x = 2~x ∈ U, заключаем, что U ~ относительно сложения. Следовательно, U – подпространство. Теорема доказана. Следствие Пересечение любого множества плоскостей, если оно не пусто, является плоскостью. В самом деле, такое пересечение, если оно не пусто, удовлетворяет условиям теоремы сл.10. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Пересечение двух плоскостей Теорема ~ и W =q+W ~ – плоскости в аффинном пространстве Пусть U = p + U ~ V = (V , V , +). Плоскости U и W имеют непустое пересечение тогда и →∈U ~ +W ~ . Если U ∩ W 6= ∅, то только тогда, когда − pq ~ ∩W ~ ), где r ∈ U ∩ W . U ∩ W = r + (U Доказательство. Пусть U ∩ W 6= ∅ и r ∈ U ∩ W . Тогда r = p + ~x и r = q + ~y → + ~y , ~ . Следовательно, p + ~x = q + ~y = p + − ~ ~y ∈ W для некоторых ~x ∈ U, pq − → − → − → ~ ~ откуда ~x = pq + ~y и pq = ~y − ~x . Таким образом, pq ∈ U + W . Далее, по ~ и W =r +W ~ . Ясно, утверждению 1 предложения сл.9 имеем U = r + U ~ ∩W ~ ) ⊆ U ∩ W . Покажем, что U ∩ W ⊆ r + (U ~ ∩W ~ ). Пусть что r + (U ~ ~y ∈ W ~ . Так s ∈ U ∩ W . Тогда s = r + ~x и s = r + ~y для некоторых ~x ∈ U, ~ ∩W ~ и s ∈ U ∩ W. как ~x = ~y , заключаем, что ~x ∈ U →∈U → = ~x + ~y для некоторых ~x ∈ U, ~ +W ~ . Тогда − ~ Предположим, что − pq pq ~ ~y ∈ W . Покажем, что p + ~x = q − ~y . Имеем → − ~y = p + (~x + ~y − ~y ) = p + ~x . Теорема доказана. q − ~y = (p + − pq) А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Композит двух плоскостей ~ , +). Тогда Пусть U и W – плоскости в аффинном пространстве V = (V , V ~ U ∪ W ⊆ V . Так как V = p + V для любой точки p ∈ V , V является плоскостью. Обозначим через hhU, V ii пересечение всех плоскостей, включающих U ∪ W . Согласно следствию сл.11 hhU, V ii является плоскостью. Определение Композитом плоскостей U и W называется плоскость hhU, V ii. Композитом двух различных точек p, q в любом аффинном пространстве является прямая (p, q). В геометрическом пространстве (см. сл.4) композитом двух параллельных или пересекающихся прямых будет проходящая через эти прямые плоскость, а композитом двух скрещивающихся прямых – все пространство. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Строение композита двух плоскостей Строение композита выяснено в следующем утверждении. Теорема ~ и W =q+W ~ – плоскости в аффинном пространстве Пусть U = p + U → ~ , +). Тогда hhU, V ii = p + (U ~ +W ~ + h− V = (V , V pqi). → Так как ~ , где Z ~ =U ~ +W ~ + h− Доказательство. Положим Z = p + Z pqi. − → − → ~ ⊆Z ~ , ясно, что U ⊆ Z . Поскольку W ~ ⊆Z ~ и qp = −pq ∈ Z ~ , в силу U утверждения 2 предложения сл.9 W ⊆ Z . Таким образом, hhU, V ii ⊆ Z . ~ – произвольная плоскость, включающая плоскости U и Пусть P = r + P W . Покажем, что Z ⊆ P. Этим будет доказано, что Z ⊆ hhU, V ii и теорема ~ В силу будет доказана. Так как p ∈ U, имеем p ∈ P и потому P = p + P. ~ ⊆ P, ~ а из W ⊆ P — утверждения 2 предложения сл.9 из U ⊆ P следует U → ∈ P. → ⊆P ~ и− ~ Следовательно, U ~ +W ~ + h− ~ и Z ⊆ P. ~ ⊆P W pq pqi Из доказанной теоремы и теоремы сл.12 с учетом теоремы сл.13 т.2-4 вытекает Следствие ~ и W =q+W ~ . Тогда если U ∩ W 6= ∅, то Пусть U = p + U dimhhU, V ii = dimU + dimV − dim(U ∩ V ) и ~ ∩V ~ ) + 1 в противном случае. dimhhU, V ii = dimU + dimV − dim(U А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Взаимное расположение двух плоскостей ~ и W =q+W ~ – плоскости в аффинном пространстве Пусть U = p + U ~ V = (V , V , +). Предположим, что dimU ≤ dimW ; это предположение не ограничивает общности. Взаимное расположение плоскостей U и W характеризуется двумя параметрами: логическим (U ∩ W = ∅ – да или ~ ∩W ~ ). При условии нет) и целочисленным – размерностью dim(U dimV ≥ dimU + dimW + 1 возможны 2(dimU + 1) способов взаимного расположения плоскостей U и W . Минимальная размерность пространства V , в котором возможно взамное расположение плоскостей U ~ ∩W ~ ), определяется из неравенства и W с заданным значением dim(U dimV ≥ dimhhU, V ii с помощью следствия сл.14. Все 4 способа взаимного расположения двух прямых реализуются в 3-мерном пространстве (и изучены в аналитической геометрии). Прямая и плоскость размерности 2 также могут располагаться 4-мя способами, из которых в 3-мерном пространстве реализуется только 3 (прямая и плоскость размерности 2 могут скрещиваться в пространстве размерности не меньше 4). Две плоскости размерности 2 могут располагаться 6-ю способами, из которых в 3-мерном пространстве реализуется только 3. Плоскости U и W называются параллельными, если U ∩ W = ∅ и ~ ∩W ~ ) = dimU ~ (последнее условие равносильно включению U ~ ⊆W ~ ). dim(U Плоскости U и W называются скрещивающимися, если U ∩ W = ∅ и ~ ∩W ~ ) = 0. dim(U А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Задание плоскостей уравнениями в репере ~ , +) – аффинное пространство над полем F . Пусть V = (V , V Зафиксируем в нем репер (o; ~e1 , . . . , ~en ). Зафиксируем также набор функций gj : F n −→ F (j = 1, . . . , k). Определение Геометрическим образом системы уравнений gj (x1 , . . . , xn ) = 0 (j = 1, . . . , k) относительно репера (o; ~e1 , . . . , ~en ) называется множество всех точек p, строки координат которых в данном репере являются решениями этой системы уравнений. Будем говорить также, что система уравнений определяет свой геометрический образ, и что геометрический образ задается системой уравнений. Теорема Совместная система линейных уравнений от n неизвестных над полем F с основной матрицей A ранга r определяет в пространстве V плоскость размерности n − r . Обратно, любая плоскость размерности d задается системой из n − d линейных уравнений от n неизвестных над полем F . А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Доказательство Пусть A · x = b – совместная система линейных уравнений от n неизвестных над полем F , где A ∈ F k×n , b ∈ Fk . Положим ~ = {~x ∈ V ~ |A · [~x ] = O}. Тогда для p, q ∈ U U = {p ∈ V |A · [p] = b} и U − → согласно предложению сл.6 имеем [pq] = [q] − [p], откуда → = A · ([q] − [p]) = A · [q] − A · [p] = b − b = O, т.е. − → ∈ U. ~ A · [− pq] pq ~ Зафиксируем p0 ∈ U. Тогда ясно, что U = p0 + U. Так как ~ изоморфно пространству решений однородной подпространство U системы линейных уравнений A · x = O, с помощью теоремы сл.8 т.2-6 заключаем, что dimU = n − r . ~ и dimU = d . Выберем в U ~ базис (~a1 , . . . ,~ad ). С Обратно, пусть U = p + U помощью теоремы сл.15 т.2-6 построим однородную систему A · x = O линейных уравнений (из n − d уравнений), задающую линейную оболочку системы строк [~a1 ]> , . . . , [~ad ]> . Положим b = A · [p]. Тогда геометрический образ системы линейных уравнений A · x = b совпадает c U. Теорема доказана. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Гиперплоскости Определения В случае задания плоскости системой линейных уравнений эти уравнения называются координатными уравнениями данной плоскости. Плоскость, заданная одним координатным уравнением, имеющим по крайней мере один ненулевой коэффициент, называется гиперплоскостью. Гиперплоскость в n-мерном аффинном пространстве является плоскостью размерности n − 1. В 2-мерном геометрическом пространстве (на обычной плоскости в 3-мерном геометрическом пространстве) гиперплоскостями будут прямые, а в 3-мерном геометрическом пространстве – обычные плоскости. В силу теоремы сл.16 каждая плоскость является пересечением конечного семейства гиперплоскостей (каждое уравнение системы определяет гиперплоскость). А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Параметрические уравнения плоскости ~ , +) – аффинное пространство над полем F . Зафиксируем Пусть V = (V , V в нем репер (o; ~e1 , . . . , ~en ). Рассмотрим отличную от точки плоскость ~ и выберем в U ~ базис ~a1 , . . . ,~ad . Тогда любая точка q ∈ U U =p+U может быть представлена в виде q = p + ξ1~a1 + . . . + ξd ~ad , откуда следует равенство [q] = [p] + ξ1 [~a1 ] + . . . + ξd [~ad ]. Положим [~aj ] = (α1j , . . . , αnj )> , [p] = (β1 , . . . , βn )> , [q] = (x1 , . . . , xn )> . Получаем систему равенств Параметрические уравнения плоскости x1 = β1 + α11 ξ1 + . . . + α1d ξd , x2 = β2 + α21 ξ1 + . . . + α2d ξd , .............................................. xn = βn + αn1 ξ1 + . . . + αnd ξd . Эти равенства естественно назвать параметрическими уравнениями плоскости U. Здесь βj и αij – фиксированные скаляры, причем d = = r((αij )n×d ), а ξ1 , . . . , ξd – независимые параметры, пробегающие поле F . Параметрические уравнения получаются из координатных путем решения системы линейных уравнений и записи общего решения в виде системы линейных уравнений (см. сл.7 т.2-6). Наиболее важны параметрические уравнения прямой в аффинном пространстве xj = βj + αj t (j = 1, . . . , n, αj 6= 0 при некотором j). А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Евклидовы аффинные пространства Определение ~ , +) над полем действительных чисел Аффинное пространство V = (V , V ~ – евклидово пространство. R называется евклидовым, если V Тогда V превращается в метрическое пространство путем определения → Проверим аксиомы расстояния между точками p, q ∈ V : ρ(p, q) = |− pq|. метрического пространства. Ясно, что ρ(p, q) ≥ 0, ρ(p, q) = 0 ⇔ p = q, → →+− → → + |− → ρ(p, q) = ρ(q, p). Так как |− pr| = |− pq qr| ≤ |− pq| qr|, заключаем, что ρ(p, r ) ≤ ρ(p, q) + ρ(q, r ). Примеры: геометрические пространства на плоскости или в пространстве; − → аффинные арифметические пространства (Rn , Rn , +) над полем R при n = 2, 3, . . .. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Расстояние от точки до плоскости Пусть U – плоскость, p ∈ V . Определение Расстоянием от точки p до плоскости U называется inf{ρ(p, r )|r ∈ U}. Обозначение: ρ(p, U). Предложение ~ – плоскость, p ∈ V . Тогда ρ(p, U) = |~z |, где ~z – Пусть U = q + U → относительно U. ~ ортогональная составляющая вектора − pq → = ~y + ~z , где ~y ∈ U, ~ ~z ∈ U ~ ⊥ . Возьмем r ∈ U, Доказательство. Запишем − pq ~ Так как тогда r = q + ~x для некоторого ~x ∈ U. − → →+− → ~ имеем pr = − pq qr = ~y + ~z + ~x = ~z + ~u , где ~u = ~y + ~x ∈ U, − → 2 ~ ~z 2 + ~u 2 = |~z |2 + |~u|2 , ρ(p, r ) = |pr| = |~z + ~u|. Далее, |~z + ~u|2 = (~z + u ) = q поскольку ~z ⊥ ~u . Таким образом, ρ(p, r ) = |~z |2 + |~u|2 ≥ |~z | и ρ(p, r ) = |~z | → при ~u = ~0, т.е. при таком выборе точки r , что − qr = −~y . Предложение доказано. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Расстояние между плоскостями Определение Расстоянием между плоскостями U и W евклидова аффинного пространства называется число inf{ρ(p, r )|p ∈ U, r ∈ W }. Обозначение: ρ(U, W ). Предложение ~ W =q+W ~ – плоскости. Тогда ρ(U, W ) = |~z |, где ~z – Пусть U = p + U, → относительно подпространства ортогональная составляющая вектора − pq ~ ~ U + W. Доказательство. Пусть r ∈ U, s ∈ W , т.е. r = p + ~x , s = q + ~y для → → → → →+− → ~ ~y ∈ W ~ . Тогда − некоторых ~x ∈ U, ps = − pr + − rs и − ps = − pq qs, откуда − → − → − → − → → = ~u + ~z , где ~x + rs = pq + ~y . Следовательно, rs = pq − ~x + ~y . Запишем − pq − → ⊥ ~ ~ ~ ~ ~u ∈ U + W , ~z ∈ (U + W ) . Тогда rs = ~u + ~z − ~x + ~y = ~v + ~z , где ~ +W ~ . Имеем ~v = ~u − ~x + ~y ∈ U 2 → → |− rs | = − rs 2 = (~vq + ~z )2 = ~v 2 + ~z 2 = |~v |2 + |~z |2 , поскольку ~v ⊥ ~z . Значит, → ρ(r , s) = |− rs | = |~v |2 + |~z |2 ≥ |~z |. Выбрав точки r , s так, чтобы ~v = ~u − ~x + ~y = ~0, получим ρ(r , s) = |~z |. Предложение доказано. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Расстояние от точки до гиперплоскости ~ , +) – аффинное евклидово пространство, (o; ~e1 , . . . , ~en ) – Пусть V = (V , V репер в нем и базис (~e1 , . . . , ~en ) – ортонормированный. Рассмотрим гиперплоскость U, заданную в этом репере уравнением α1 x1 + α2 x2 + . . . + +αn xn = β. Вектор ~n с координатами [~n] = (α1 , α2 , . . . , αn )> называется ~ то U ~ нормальным вектором гиперплоскости U. Если записать U = p + U, состоит из всех векторов, координаты которых удовлетворяют уравнению ~⊥ и U ~ ⊥ = h~ni. α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0. Следовательно, ~n ∈ U Предложение Расстояние от точки q(γ1 , γ2 , . . . , γn ) до гиперплоскости U, заданной уравнением α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = β, может быть вычислено по |α1 γ1 + α2 γ2 + . . . + αn γn − β| p формуле ρ(q, U) = . α12 + α22 + . . . + αn2 Доказательство. Пусть p ∈ U и [p] = (β1 , β2 , . . . , βn )> . Тогда α1 β1 + α2 β2 + → + . . . + αn βn = β. Пусть ~z – ортогональная составляющая вектора − pq − → ~ ~ относительно U. Тогда ~z = δ~n. Запишем pq = ~y + ~z , где ~y ∈ U. Умножим → ~n) = (~y , ~n) + (~z , ~n) = δ~n2 . Отсюда это равенство скалярно на вектор ~n: (− pq, − → − → n) |(pq, ~n)| → = (γ − β , . . . , γ − β )> , δ = (pq,~ и |~z | = |δ||~n| = . Так как [− pq] 1 1 n n ~ n2 |~n| → ~n) = α (γ − β ) + . . . + α (γ − β ) = α γ + . . . + α γ − имеем (− pq, 1 1 1 n n n 1 1 n n −(α1 β1 + . . . + αn βn ) = α1 γ1 + . . . + αn γn − β, откуда следует требуемое. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Квадрики в аффинном пространстве ~ , +) – аффинное пространство над полем F , char(F ) 6= 2 Пусть V = (V , V и dimV = n. Пусть A ∈ F n×n – ненулевая симметрическая матрица, b ∈ F n , x = (x1 , . . . , xn )> – столбец из неизвестных. Рассмотрим уравнение x > · A · x + b · x + γ = 0, (1) где γ ∈ F . Это алгебраическое уравнение 2-й степени с n неизвестными. Определение Квадрикой в аффинном пространстве V называется геометрический образ алгебраического уравнения 2-й степени с n неизвестными относительно некоторого репера (o; ~e1 , . . . , ~en ). Теорема При изменении репера уравнение квадрики, заданной исходным уравнением (1) остается алгебраическим уравнением 2-й степени с n неизвестными. За счет изменения репера уравнение (1) может быть приведено к одному из следующих видов (r = r(A), λ1 , . . . , λr , µr +1 ∈ F \ {0}, δ ∈ F ): 1 λ1 y12 + . . . + λr yr2 + δ = 0, 2 λ1 y12 + . . . + λr yr2 + µr +1 yr +1 = 0. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Доказательство Заметим, что в уравнении (1) x > · A · x – квадратичная форма от переменных x1 , . . . , xn , b · x – линейная форма от тех же переменных. При переходе от исходного репера (o; ~e1 , . . . , ~en ) к другому реперу (o 0 ; ~e10 , . . . , ~en0 ) координаты точки p связаны формулой [p] = [o 0 ] + T · [p]0 (сл.7), где T – матрица перехода от базиса (~e1 , . . . , ~en ) к базису (~e10 , . . . , ~en0 ). Полагая c = [o 0 ] и y = (y1 , . . . , yn )> , для преобразования уравнения получаем формулу x = c + T · y . Имеем (c + T · y )> · A · (c + T · y ) + b · (c + T · y ) + γ = 0. Преобразуем левую часть: (c > + (T · y )> ) · (A · c + A · T · y ) + b · c + b · T · y + γ = c> · A · c + c> · A · T · y + y > · T > · A · T · y + y > · T > · A · c + b · c + b · T · y + γ = y > · (T > · A · T ) · y + (c > · A + b) · T · y + y > · T > · A · c + c > · A · c + b · c + γ. Так как матрица y > · T > · A · c – квадратная порядка 1, имеем y > · T > · A · c = (y > · T > · A · c)> = c > · A> · T · y , и преобразованное уравнение приобретает окончательный вид y > · (T > · A · T ) · y + (c > · (A + A> ) + b) · T · y + c > · A · c + b · c + γ = 0. (2) Так как T – невырожденная матрица, r(T > · A · T ) = r(A). В частности, T > · A · T 6= O и полученное уравнение является алгебраическим уравнением 2-й степени с n неизвестными, так как (c > · (A + A> ) + b) · T ∈ F n и c > · A · c + b · c + γ ∈ F . Первое утверждение теоремы доказано. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Окончание доказательства Заменим исходный репер (o; ~e1 , . . . , ~en ) репером (o; ~e10 , . . . , ~en0 ) с тем же началом и матрицей перехода T , для которой замена переменных x = T · y приводит квадратичную форму x > · A · x к каноническому виду (сл.14 т.2-19). Тогда, так как r = r(A), уравнение (2) примет вид λ1 y12 + . . . + λr yr2 + µ1 y1 + . . . + µn yn + ν = 0 Выделяя полные квадраты и µ1 µr перенося начало координат в точку o 0 (− 2λ , . . . , − 2λ , 0, . . . , 0) (нули возr 1 никают при r < n), получаем при r = n уравнение λ1 z12 + . . . + λn zn2 + δ = 0, а при r < n – λ1 z12 + . . . + λr zr2 + µr +1 zr +1 + . . . + µn zn + κ = 0. Если во втором случае µj = 0 при j = r + 1, . . . , n, то утверждение доказано. Если µj 6= 0 при некотором j = r + 1, . . . , n, то P зафиксируем такой индекс и сделаем замену uk = zk при k 6= j, uj = zj + r +1≤`≤n,`6=j µµ` z` . j Уравнение примет вид λ1 u12 + . . . + λr ur2 + µj uj + κ = 0 Поменяв местами в базисе (~e10 , . . . , ~en0 ) векторы ej0 и er0+1 , если j 6= r + 1, и сделав параллельный перенос, чтобы избавиться от κ, если κ 6= 0, получим требуемое. Теорема доказана. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Аффинные отображения ~ , +), W = (W , W ~ , +) – аффинные пространства над Пусть V = (V , V полем F . Определение Аффинным отображением аффинного пространства V в пространство W ~ ,W ~)и ~ где A : V −→ W , A ~ ∈ Hom(V называется пара отображений (A, A), ~ имеет место равенство A(p + ~x ) = Ap + A~ ~x . для любых p ∈ V , ~x ∈ V Последнее условие из определения аффинного отображения равносильно тому, что для любых точек p, q ∈ V имеет место равенство −−−→ → =− ~ − A( pq) ApAq. Примеры аффинных отображений 1 Аффинным отображением аффинного пространства V на себя ~ , определяемый следующим образом: является сдвиг на вектор ~a ∈ V ~ T~a (p) = p + ~a, T~a = E. 2 Аффинным отображением аффинного пространства V на себя является центроаффинное преобразование, определяемое так: ~ ) – произвольный линейный оператор, c ∈ V – ~ ∈ Hom(V A → для любой точки ~ − фиксированная точка (центр), Ap = c + A( cp) p ∈ V. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Изоморфизмы аффинных пространств ~ , +), W = (W , W ~ , +) – аффинные пространства над Пусть V = (V , V полем F . Определение ~ аффинного пространства V на Аффинное отображение (A, A) пространство W называется изоморфизмом, если A является биекцией V ~ на W ~. ~ – изоморфизмом V на W , а A Оказывается, условия из определения изоморфизма аффинных пространств эквивалентны. Теорема ~ аффинного пространства V Для любого аффинного отображения (A, A) на пространство W отображение A является биекцией тогда и только ~ является изоморфизмом. тогда, когда A Доказательство. Пусть отображение A : V −→ W является биекцией. Зафиксируем точку p ∈ V . Так как A сюръективно, для любого вектора ~ существует точка q ∈ V такая что Aq = Ap + ~y . Тогда ~y ∈ W −−−→ → =− ~ − ~ – сюръективное отображение. Пусть A~ ~ x = ~0. A( pq) ApAq = ~y , т.е. A Тогда A(p + ~x ) = Ap, откуда в силу инъективности A следует ~x = ~0. ~ – инъективное отображение и изоморфизм. Следовательно, A А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Изоморфные аффинные пространства ~ является изоморфизмом. Зафиксируем точку Пусть линейный оператор A −−−→ p ∈ V . Для любой точки r ∈ W положим ~y = A(p)r ; в силу ~ существует ~x ∈ V такой что A~ ~ x = ~y . Следовательно, сюръективности A −−→ ~ x = A(p) + ~y = A(p) + − A(p + ~x ) = A(p) + A~ A(p)r = r . Таким образом, A сюръективно. Докажем, что A инъективно. Пусть Ap = Aq для некоторых −−−−−−→ → = ~0. В силу инъективности A ~ − ~ p, q ∈ V . Тогда A(p)A(q) = ~0, откуда A( pq) − → получаем pq = ~0 и p = q. Теорема доказана. Определение ~ , +), W = (W , W ~ , +) над полем F Аффинные пространства V = (V , V ~ называются изоморфными, если существует изоморфизм (A, A) −1 ~ −1 пространства V на пространство W (при этом (A , A ) является изоморфизмом пространства W на пространство V ). Теорема ~ , +), W = (W , W ~ , +) над полем F Аффинные пространства V = (V , V изоморфны тогда и только тогда, когда dimV = dimW . Доказательство обеспечивается теоремой сл.13 т.2-8 и теоремой сл.28. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Изометрии аффинных евклидовых пространств ~ , +) – аффинное евклидово пространство и dimV = n. Пусть V = (V , V Определение расстояния между точками аффинного евклидова пространства см. на сл.20. Определение Отображение A : V −→ V называется изометрией, если ρ(p, q) = ρ(Ap, Aq) для любых p, q ∈ V . Примеры изометрий 1 2 ~ (см. сл.27). Изометрией является сдвиг на вектор ~a ∈ V Изометрией является центроаффинное преобразование, у которого линейный оператор является ортогональным. Такое преобразование называется ортогональным с центром c. Предложение Произведение изометрий является изометрией. Доказательство. Пусть A, B – изометрии. Тогда для любых p, q ∈ V имеем ρ(B(Ap), B(Aq)) = ρ(Ap, Aq) = ρ(p, q), что и требуется доказать. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства Характеризация изометрий Теорема Любая изометрия есть аффинное отображение и является произведением сдвига и ортогонального центроаффинного преобразования. Доказательство. Пусть A – изометрия. Предположим сначала, что A имеет неподвижную точку c и докажем, что A – ортогональное −−−−−−→ ~ положим A~ ~x = − преобразование с центром c. Для x ∈ V cA(c + ~x ). ~ – ортогональный оператор. Поскольку Ac = c, имеем Докажем, что A ~ ~ получаем ρ(A(c + ~x ), A(c + ~y )) = ~ ~ A0 = 0. Из определения A −−−−−−−−−−−−−→ ~ y − A~ ~ x |. Так как A – изометрия, = |A(c + ~x )A(c + ~y )| = |A~ ρ(A(c + ~x ), A(c + ~y )) = ρ(c + ~x , c + ~y ) = |~y − ~x |. Следовательно, ~ . Согласно теореме сл.31 т.2-18 ~ y − A~ ~ x | = |~y − ~x | для любых ~x , ~y ∈ V |A~ ~ отображение A – ортогональный оператор. Предположим, что A не имеет неподвижных точек. Зафиксируем c ∈ V и −−−→ положим ~a = A(c)c. Возьмем сдвиг T~a и положим B = T~a A. Согласно предложению сл.30 B – изометрия. Она имеет неподвижную точку c: −−−→ Bc = T~a (Ac) = Ac + A(c)c = c. Согласно доказанному в предыдущем абзаце B – ортогональное преобразование с центром c. Следовательно, B = T~a A, откуда A = T~a−1 B. Так как T~a−1 = T−~a , получаем A = T−~a B. Теорема доказана. А. Я. Овсянников Тема 2-20: Аффинные пространства