ТЕМА 1 Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1
Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
Основные определения и теоремы
Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для
любых двух его элементов x, y определен элемент x + y ∈ L (называемый суммой x и y ),
и для любого элемента x ∈ L и любого (вещественного) числа α определен элемент
α x ∈ L , причем выполнены следующие условия:
x + y = y + x (коммутативность сложения);
1) для любых элементов x, y ∈ L
2) для любых элементов x, y, z ∈ L
( x + y ) + z = x + ( y + z ) (ассоциативность сложения);
3) существует элемент θ ∈ L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства
L) такой, что для любого элемента x ∈ L x + θ = x (существование нулевого элемента);
4) для любого элемента x ∈ L существует элемент (− x) ∈ L (называемый обратным к x)
такой, что x + (− x) = θ (существование обратного элемента);
5) для любых элементов x, y ∈ L и любого (вещественного) числа α α ( x + y ) = α x + α y
(дистрибутивность умножения суммы элементов на число);
6) для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента x ∈ L (α + β ) x = α x + β x
(дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент);
7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента x ∈ L (αβ ) x = α ( β x)
(ассоциативность умножения на число);
8) для любого элемента x ∈ L 1 ⋅ x = x (свойство единицы).
Элементы x1 , x2 ,..., xm линейного пространства L называются линейно зависимыми,
если существуют такие (вещественные) числа C1 , C2 ,..., Cm , не все равные нулю, что
m
∑C x
k =1
k
k
= θ ; если же последнее равенство имеет место в единственном случае
C1 = C2 = ... = Cm = 0 , то элементы x1 , x2 ,..., xm - линейно независимы.
Натуральное число n , называется размерностью линейного пространства, если
существуют n линейно независимых элементов пространства, а любые n + 1 элементов линейно зависимы. В этом случае линейное пространство называется конечномерным (nмерным).
Если для любого натурального n можно указать n линейно независимых элементов,
то линейное пространство называется бесконечномерным.
Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его
элементов x, y ∈ M определено вещественное число ρ ( x, y ) (называемое метрикой, или
расстоянием), причем выполнены следующие условия:
1) для любых элементов x, y ∈ M
ρ ( x, y ) ≥ 0 ,
причем ρ ( x, y ) = 0 тогда и только
тогда, когда элементы x и y совпадают (неотрицательность метрики);
2) для любых элементов x, y ∈ M
ρ ( x, y ) = ρ ( y, x) (симметричность метрики);
3) для любых элементов x, y, z ∈ M ρ ( x, y ) ≤ ρ ( x, z ) + ρ ( y, z ) (неравенство треугольника).
Метрическое пространство не обязательно является линейным.
Последовательность элементов метрического пространства xn ∈ M , n = 1, 2,...
сходится к элементу x0 ∈ M ( xn → x0 при n → ∞ ), если ρ ( xn , x0 ) → 0 при n → ∞ .
1
Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента
x ∈ N определено (вещественное) число || x || (называемое нормой), причем выполнены
следующие условия:
|| x || ≥ 0 , причем || x || = 0 тогда и только тогда, когда
1) для любого элемента x ∈ N
x = θ - нулевой элемент пространства;
2) для любого элемента x ∈ N и любого (вещественного) числа α || α x || = | α | ⋅ || x ||
(неотрицательная однородность нормы);
3) для любых элементов x, y ∈ N || x + y || ≤ || x || + || y || (неравенство треугольника).
Нормированное
пространство
является
метрическим,
если
положить
ρ ( x, y ) = || x − y || .
Последовательность элементов нормированного пространства xn ∈ N , n = 1, 2,...
сходится (по норме пространства N) к элементу x0 ∈ N ( xn → x0 при n → ∞ ), если
|| xn − x0 || → 0 при n → ∞ .
Из сходимости последовательности xn по норме пространства следует сходимость
последовательности (числовой!) норм, т.е. если xn → x0 при n → ∞ , то || xn || → || x0 || при
n → ∞ . Обратное, вообще говоря, неверно.
Последовательность xn , n = 1, 2,... элементов нормированного пространства N
называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер K такой, что для
любого n ≥ K и любого натурального p выполнено неравенство || xn + p − xn || ≤ ε .
Если последовательность сходится, то она фундаментальна. Если же любая
фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное
пространство называется полным.
Полное нормированное пространство называется банаховым.
Последовательность xn , n = 1, 2,... элементов нормированного пространства N
называется ограниченной, если существует константа C такая, что || xn || ≤ C для всех
n = 1, 2,... .
Последовательность xn , n = 1, 2,... элементов нормированного пространства N,
обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить
сходящуюся, называется компактной.
Любая компактная последовательность является ограниченной. В конечномерном
пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств
это, вообще говоря, не так.
Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов
x, y ∈ E определено вещественное число ( x, y ) , называемое скалярным произведением,
причем выполнены следующие условия:
1) для любых элементов x, y ∈ E
( x, y ) = ( y , x )
(симметричность);
2) для любых элементов x, y, z ∈ E
( x + y , z ) = ( x, z ) + ( y , z )
(аддитивность по
первому аргументу);
3) для любых элементов x, y ∈ E и любого вещественного числа α (α x, y ) = α ( x, y )
(однородность по первому аргументу);
4) для любого x ∈ E ( x, x) ≥ 0 , причем ( x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = θ
(свойство скалярного квадрата).
В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным
произведением || x ||E = ( x, x) .
Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства
выполняется
неравенство
Коши-Буняковского
( x, y ) 2 ≤ ( x, x ) ⋅ ( y , y )
или
2
| ( x, y ) | ≤ || x || ⋅|| y || , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы x
и y линейно зависимы.
Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств.
1.
Нормированное пространство C[a, b] . Элементами этого пространства являются
непрерывные
на
отрезке
[ a , b]
функции.
Норма
определяется
как
y C [ a ,b ] = max | y ( x) | , сходимость по норме пространства C[a, b] - равномерная
x∈[ a ,b ]
2.
сходимость. Пространство C[a, b] - банахово (полное).
Нормированное пространство C ( p ) [a, b] . Элементами этого пространства являются
функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке
p
[a, b] . Норма определяется как
3.
y
C ( p ) [ a ,b ]
= ∑ max | y ( k ) ( x) | , сходимость по норме
k =0
x∈[ a ,b ]
пространства C ( p ) [a, b] - равномерная со всеми производными до p-го порядка.
Пространство C ( p ) [a, b] - банахово.
Евклидово (нормированное) пространство h[a, b] . Элементами этого пространства
являются непрерывные на отрезке [a, b] функции. Для любых двух непрерывных
b
функций положим ( y, z ) = ∫ y ( x) z ( x)dx - скалярное произведение, и введем норму,
a
b
порожденную скалярным произведением || y ||h[ a ,b ] =
∫y
2
( x)dx ; сходимость по норме
a
пространства h[a, b] - сходимость в среднем. Пространство h[a, b] не является
полным.
Примеры решения задач
Пример 1.1. Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке
[a, b] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C[a, b] ).
Решение. Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной
функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для
решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства.
1) ∀y ( x), z ( x) ∈ C[a, b]
y ( x) + z ( x) = z ( x) + y ( x) ;
2) ∀y ( x), z ( x), w( x) ∈ C[a, b]
[ y ( x) + z ( x)] + w( x) = y ( x) + [ z ( x) + w( x)] ;
3) нулевым элементом пространства естественно считать
y ( x ) ≡ 0 ∈ C[ a , b ] ;
4) ∀y ( x) ∈ C[a, b] существует противоположный элемент
− y ( x ) ∈ C[ a , b ] ;
5) ∀y ( x), z ( x) ∈ C[a, b], ∀α
α [ y ( x) + z ( x)] = α y ( x) + α z ( x) ;
6) ∀y ( x) ∈ C[a, b], ∀α , β
(α + β ) y ( x) = α y ( x) + β y ( x) ;
7) ∀y ( x) ∈ C[a, b], ∀α , β
(αβ ) y ( x) = α [ β y ( x)] ;
8) ∀y ( x) ∈ C[a, b]
1 ⋅ y ( x) = y ( x) .
3
Пример 1.2.
Доказать, что пространство C[a, b] является нормированным, если для
∀ y ( x) ∈ C[a, b] определить y C [ a ,b ] = max | y ( x) | .
x∈[ a ,b ]
Решение.
Для доказательства достаточно убедиться в корректности указанного
определения нормы, т.е. проверить аксиомы нормы.
y C [ a ,b ] = max | y ( x) |≥ 0 , причем y C [ a ,b ] = 0 ⇔ y ( x) ≡ 0 = θ ;
1)
∀y ( x) ∈ C[a, b] :
x∈[ a ,b ]
2)
∀y ( x) ∈ C[a, b], ∀α :
αy
3)
∀ y ( x), z ( x) ∈ C[a, b] :
= max | α y ( x) |=| α | ⋅ max | y ( x) |=| α | ⋅ y
C [ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
y+z
C [ a ,b ]
;
= max | y ( x) + z ( x) | ≤
x∈[ a ,b ]
≤ max (| y ( x) | + | z ( x) |) ≤ max | y ( x) | + max | z ( x) |= y
x∈[ a ,b ]
C [ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
C [ a ,b ]
+ z
.
C [ a ,b ]
Пример 1.3. Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] и проверить
b
y
корректность определения нормы в этом пространстве
h[ a ,b ]
=
∫y
2
( s ) ds .
a
Решение. Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] имеет вид
2
b
b
b

2
( y, z ) ≡  ∫ y ( x) z ( x)dx  ≤ ∫ y ( x)dx ⋅ ∫ z 2 ( x)dx
∀ y ( x), z ( x) ∈ h[a, b] .
a
a
a

Для
доказательства
рассмотрим
следующее
очевидное
соотношение
2
0 ≤ ( y + λ z , y + λ z ) = ( y, y ) + 2λ ( y, z ) + λ ( z , z ) , которое справедливо для любых двух
элементов пространства y ( x), z ( x) ∈ h[a, b] и любого вещественного числа λ . Поэтому
дискриминант квадратного (относительно λ ) трехчлена должен быть отрицательным, т.е.
4( y, z ) 2 − 4( y, y )( z , z ) ≤ 0 , откуда и получаем требуемое неравенство:
2
2
b
b
b

( y, z ) ≡  ∫ y ( x) z ( x)dx  ≤ ( y, y )( z , z ) ≡ ∫ y 2 ( x)dx ⋅ ∫ z 2 ( x)dx .
a
a
a

2
Замечание. Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом
пространстве.
Для проверки корректности определения нормы в пространстве h[a, b] нужно
убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы.
b
1) ∀y ( x) ∈ h[a, b] :
y
h[ a ,b ]
=
∫y
2
( x)dx ≥ 0 , причем y
h[ a , b ]
= 0 ⇔ y ( x) ≡ 0 = θ ;
a
2) ∀y ( x) ∈ h[a, b], ∀α :
αy
b
h[ a , b ]
y+z
3) ∀y ( x), z ( x) ∈ h[a, b] :
∫α
=
2
h[ a , b ]
2
y ( x)dx =| α | ⋅
2
a
b
b
∫y
2
( x)dx =| α | ⋅ y
h[ a , b ]
;
a
b
= ∫ ( y ( x) + z ( x)) 2 dx = ∫ ( y 2 ( x) + z 2 ( x) + 2 y ( x) z ( x))dx ≤
a
a
(с учетом неравенства Коши-Буняковского)
b
b
≤ ∫ y ( x) dx + ∫ z ( x) dx + 2
2
a
2
a
b
∫y
b
2
( x) dx ⋅
a
∫z
2
( x) dx = (|| y ||h[ a ,b ] + || z ||h[ a ,b ] ) ,
2
a
y+z
откуда получаем неравенство треугольника
4
h[ a , b ]
≤ || y ||h[ a ,b ] + || z ||h[ a ,b ] .
Пример 1.4. Найти норму y ( x) = sin x + cos x
a) в пространстве C[0, 2π ] ;
б) в пространстве h[0, 2π ] .
sin x + cos x
Решение. а)
C [0,2π ]
= max | sin x + cos x |= 2 ;
x∈[0,2π ]
2π
б)
sin x + cos x
h[0,2π ]
=
∫ (sin x + cos x)
2
dx = 2π .
0
Пример 1.5.
Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов
нормированного пространства фундаментальна.
Решение. Последовательность xn элементов нормированного пространства N называется
фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер K такой, что для любого n ≥ K
и любого натурального p выполнено || xn + p − xn || ≤ ε .
Пусть последовательность xn элементов нормированного пространства сходится (по
норме пространства N) к элементу x0 ∈ N , тогда для любого ε > 0 существует номер К
такой, что при n ≥ K и любом натуральном p одновременно выполнены два неравенства:
|| xn − x0 || ≤
ε
и || xn + p − x0 || ≤
ε
.
2
2
Пользуясь неравенством треугольника, получим при n ≥ K и любом натуральном p
|| xn + p − xn ||=|| xn + p − x0 + x0 − xn ||≤ || xn + p − x0 || + || xn − x0 ||≤ ε , что и требовалось.
Пример 1.6. Доказать, что пространство h[a, b] не является полным.
Решение.
Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной
последовательности элементов пространства h[a, b] , которая не является сходящейся в
этом пространстве.
Рассмотрим для определенности пространство h[−1,1] и последовательность
непрерывных функций (элементов этого пространства):
1

 − 1, − 1 ≤ x ≤ − n

1

yn ( x) =  nx, 0 ≤ | x | ≤
n

1

≤ x ≤1 .
 1,
n

Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[−1,1] .
Зададим произвольное ε > 0 и положим m > n , тогда существует такое натуральное
число N (ε ) , для которого
а)
y n ( x ) − ym ( x )
2
h[ −1,1]
1
1
1
m
n
= ∫ ( yn ( x) − ym ( x)) dx = 2 ∫ ( mx − nx) dx + 2 ∫ (1 − nx) 2 dx =
2
−1
2
1
0
4
при ∀ m > n > N (ε ) =   + 1 , что и требовалось доказать.
 3ε 
5
m
2
2n
4
4
+ 2−
≤
<ε
3n 3m 3m 3n
б) Пусть последовательность yn ( x) сходится в пространстве h[−1,1] , т.е. существует
непрерывная функция ϕ ( x) такая, что для ∀ε > 0 ∃ N1 (ε ) и при всех n ≥ N1 (ε ) выполнено
yn ( x ) − ϕ ( x )
1
h[ −1,1]
=
∫ ( y ( x) − ϕ ( x))
n
2
dx ≤
−1
ε .
2
 −1, − 1 ≤ x < 0

ψ ( x) =  0,
x=0 .
 1, 0 < x ≤ 1

Рассмотрим разрывную функцию
Тогда для ∀ε > 0 ∃ N 2 (ε ) такое, что при ∀n ≥ N 2 (ε ) имеем
1
1
2 ε
≤ .
3n 2
n
2
∫ ( yn ( x) −ψ ( x)) dx = 2 ∫ (nx − 1) dx =
2
−1
0
Так как ϕ ( x) - непрерывная, а ψ ( x) - разрывная функция, то ϕ ( x) −ψ ( x) ≡/ 0 и,
1
∫ (ϕ ( x) −ψ ( x))
следовательно,
2
dx > 0 .
Поэтому для всех ε > 0 и n ≥ max{N1 (ε ), N 2 (ε )}
−1
1
1
2
∫ (ϕ ( x) −ψ ( x)) dx =
0<
∫ [(ϕ ( x) − y ( x)) + ( y ( x) −ψ ( x)] dx
2
n
−1
1
2
∫ ( yn ( x) −ψ ( x)) dx = yn ( x) − ϕ ( x)
−1
≤
−1
1
2
∫ (ϕ ( x) − yn ( x)) dx +
≤
n
−1
1
+
h[ −1,1]
∫ ( y ( x) −ψ ( x))
n
2
dx ≤
−1
ε
2
+
ε
2
=ε .
Ввиду произвольности выбора ε > 0 получаем противоречие, а значит
предположение о сходимости последовательности yn ( x) в пространстве h[−1,1] неверно.
Итак, построенная последовательность yn ( x) фундаментальна в пространстве
h[−1,1] , но не является сходящейся в этом пространстве, что и требовалось доказать.
Замечание.
При доказательстве было использовано соотношение

+
≤
+
+
⋅
=

(
y
(
x
)
z
(
x
))
dx
y
(
x
)
dx
z
(
x
)
dx
2
y
(
x
)
dx
z
(
x
)
dx
∫a
∫a
∫a
∫a
∫a

b
b
2
b
2
b
2
b
2
2
2

,
+

y
(
x
)
dx
z
(
x
)
dx
∫a
∫a

b
b
2
2
являющееся следствием неравенства Коши-Буняковского.
Пример 1.7.
Доказать, что не всякая ограниченная последовательность в пространстве
C[a, b] является компактной.
Решение. Рассмотрим пространство C[0,1] и последовательность элементов этого
пространства
yn = sin 2n π x , n = 1, 2,3, ... . Очевидно, yn C [0,1] = max | yn ( x) | = 1 , т.е.
x∈[0,1]
последовательность ограничена.
Покажем, что никакая ее подпоследовательность не может сходиться в C[0,1] .
1
Действительно, для любого номера i существует точка x∗ = i +1 ∈ [0,1] такая, что в
2
1
ней yi ( x∗ ) = sin 2i π i +1 = 1 . При этом для любого k > i в этой же точке имеет место
2
1
yk ( x∗ ) = sin 2k π i +1 = 0 . Следовательно,
yi − yk C [0,1] ≥ | yi ( x∗ ) − yk ( x∗ ) | = 1 , т.е. никакая
2
подпоследовательность
рассматриваемой
последовательности
не
является
фундаментальной, а значит и не может сходиться.
6
Задачи для самостоятельного решения
1.1
Доказать, что пространство h[ a, b] является линейным.
1.2
Доказать, что пространство C
1.3
1.4
Доказать, что в пространстве \ нельзя ввести норму по формуле || x || = | arctg x | .
Можно ли определить нормы следующими функциями для указанных множеств:
а) || y ||= max
| y ( x) |
в C[ a , b ] ;
a +b
( p)
[a, b] является линейным.
1
x∈[ a ,
2
]
б) || y ||=| y ( a ) | + max | y ′( x) |
в C [ a , b] ;
в) || y ||=| y (b) − y ( a ) | + max | y ′( x) |
в C [ a , b] .
(1)
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
1.5
(1)
Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространств C[0, 2] и C (1) [0, 2] :
а) y = 2 sin πx − cos πx
б) y = 3 cos πx − sin πx
в) y = x 2 − x
г) y = x 2 − 4 x
д) y = x 2 − 6 x .
1.6
Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространства h[0, 2] :
а) y = 2 sin πx − cos πx
б) y = x 2 − x
1.9
в) y = x 3 − 1 .
Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта
последовательность ограничена.
Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [a, b] функциональной
последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость.
Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h[ a, b] .
1.10
Привести пример ограниченной некомпактной последовательности в пространстве h[ a, b] .
1.11
Доказать, что последовательность yn ( x ) = x ограничена и некомпактна в пространстве C[0,1] .
1.12
Доказать, что последовательность непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций yn ( x) ,
1.7
1.8
n
yn
удовлетворяющих неравенству
2
h[ a , b ]
+ yn′
2
h[ a , b ]
≤ γ, γ > 0,
является компактной в
пространстве C[ a, b].
Ответы к задачам
1.4
а)
нет;
1.5
а)
|| y ||C [0,2] = 5 ,
|| y ||C (1) [0,2] = (π + 1) 5 ;
б)
|| y ||C [0,2] = 10 ,
|| y ||C (1) [0,2] = (π + 1) 10 ;
в)
|| y ||C [0,2] = 2 ,
|| y ||C (1) [0,2] = 5 ;
г)
|| y ||C [0,2] = 4 ,
|| y ||C (1) [0,2] = 8 ;
д)
|| y ||C [0,2] = 9 ,
|| y ||C (1) [0,2] = 15 .
а)
|| y ||h[0,2] = 5 ;
1.6
б)
б)
да;
в)
|| y ||h[0,2] =
7
4
;
15
в)
нет.
|| y ||h[0,2] =
86
.
7