УДК 539.3 РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ RVR-МЕТОДА В.А. Сало, доцент, д.т.н., Военный институт ВВ МВД Украины Аннотация. Предложен RVR-метод определения напряженно-деформированного состояния оболочек с отверстиями. Используемый метод основан на вариационном принципе Рейсснера, методе И.Н.Векуа, теории R-функций, общих уравнениях трехмерной теории упругости и алгоритме двусторонней оценки точности приближенных решений смешанных вариационных задач. Эффективность метода показана на конкретном примере. Ключевые слова: вариационный принцип, оболочка, концентрация напряжений. Введение Несмотря на накопленный в научной литературе огромный материал расчетов различных оболочек, большинство из существующих методов их исследований приводят к расчетным моделям, которые не всегда позволяют обосновать выбор конструктивных параметров оболочек с отверстиями. Очевидно, существенный прогресс в достижении конкретных и достоверных результатов решения в пространственной постановке краевых задач теории оболочек невозможен без использования основных соотношений трехмерной теории упругости и привлечения современных быстродействующих ПЭВМ. В этой связи актуальна потребность в создании достаточно универсальных и алгоритмически простых для численной реализации методов расчета ослабленных отверстиями оболочек произвольной толщины. последовательностью решений двумерных задач. В монографии [1] автором даны классификация и обстоятельный анализ известных в научной литературе уточненных теорий оболочек, рассмотрено современное состояние проблемы определения концентрации напряжений в упругих оболочках с отверстиями, а также предложен разработанный, теоретически обоснованный и численно реализованный автором эффективный метод решения краевых задач определения напряженно– деформированного состояния статически нагруженных оболочек (в частности, пластин) с отверстиями. Метод основан на использовании смешанного вариационного принципа Рейсснера, метода И.Н. Векуа, теории R–функций и общих уравнений пространственных задач математической теории упругости. Изложенный в монографии [1] метод можно использовать при выполнении расчетов упругих оболочек с одним или несколькими, периодическими или двоякопериодическими системами отверстий. Анализ публикаций Цель и постановка задачи Оценка прочности и жесткости упругих оболочек предполагает выполнение расчета их напряженно–деформированного состояния на основе решений соответствующих краевых задач теории упругости. К настоящему времени построено большое количество разнообразных и нередко противоречащих друг другу вариантов уточненных теорий оболочек, однако их обилие создает определенные затруднения в выборе и практическом применении конкретной модели оболочки. Для расчета оболочек средней толщины и оболочек толстостенных необходимо привлекать трехмерную теорию упругости или обобщенные теории оболочек, основанные на замене решения трехмерной задачи теории упругости регулярной В приводах современных машин в качестве средства управления и улучшения динамических характеристик нередко применяются гидрообъемные передачи. Одним из основных элементов гидромотора является его корпус – толстостенное цилиндрическое тело с периодической системой соосно расположенных цилиндрических полостей. При работе машины масло, находящееся под давлением в полости отверстий, вызывает на их поверхности равномерно распределенную нагрузку интенсивности q. В гидрообъемных машинах давление масла достигает высоких значений, и фактор концентрации напряжений около отверстий может существенно влиять на несу- щую способность конструкции, поэтому при проектировании гидромотора возникает потребность исследования его корпуса на прочность. Покажем эффективность использования RVRметода [1] в задаче расчета корпуса гидромотора. Введем цилиндрическую систему координат { r , ϕ , z } . Так как полости отверстий нагружены силами, не изменяющимися вдоль оси корпуса и перпендикулярными к этой оси, то в этом случае часть корпуса, удаленная от торцов, подвергается плоской деформации, а перемещение всех точек деформированного тела происходит в плоскостях ( r , ϕ ) – в сечениях, перпендикулярных к оси z цилиндрического тела, то есть ε z = 0; γ rz = 0; γ ϕz = 0; ⎫⎪ ⎬ σ rz = 0; σϕz = 0. ⎪⎭ Внешняя и внутренняя поверхность толстостенного цилиндра (корпуса гидромотора) свободны от внешних напряжений, а поверхности цилиндрических полостей (круговых отверстий радиуса R2 ) нагружены равномерно распределенным давлением интенсивности q. Таким образом, граничные условия исследуемой плоской задачи будут следующими: σr = 0, σ r ϕ = 0 на σn = − q , σ τ = 0 на Γ 0 и Γ 1 ;⎫⎪ ⎬ Γ2. ⎪⎭ (3) Кроме того, на граничной поверхности, определяемой уравнением ϕ=γ, должны выполняться условия периодичности (1) uϕ = 0, σrϕ = 0. (4) Рассмотрим в полярной системе координат { r , ϕ } с внешним и внутренним круговыми кон- Нормальные σn и касательные στ напряжения на границе Γ 2 связаны с радиальными σr , окруж- турами радиусов R и R1 упругую область, ослабленную периодической системой N круговых отверстий радиуса R2 (рис. 1). следующими зависимостями: ными σϕ и касательными σrϕ напряжениями ⎫⎪ ⎬ σ rϕ , ⎪⎭ σn = f12 σr + 2 f1 f 2 σrϕ + f 22 σϕ ; ( στ = f1 f 2 ( σϕ − σ r ) + f − f r M f1 = ψ A B R2 R1 Γ1 02 C D R Γ0 Пусть OO2 = a . Расчет упругой области сводится из соображений симметрии к исследованию пе( 0 ≤ ϕ ≤ γ , где риодического участка Ω γ = π N ). Разобьем границу области Ω на элементы Γ i ( i = 0 , 2 ), которые зададим функциями Γi = 0 ): 2 1 ⎛r⎞ ω0 = 1 − ⎜ ⎟ ; ω1 = 2 r 2 − R12 R ⎝R⎠ 1 2 ω2 = 2 r − 2ra cos ϕ + a 2 − 1. R2 ( (5) ( ) ⎬ ⎪ ⎪⎭ (6) ⎡ ( j + 1) πϕ ⎤ ⎫ ⎛ j πϕ ⎞ C j = cos ⎜ ⎥ ;⎪ ⎟ ; S j = sin ⎢ γ ⎝ γ ⎠ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ω0 ω1 m = i ( n2 + 1) + j + 1; Φ r = ;⎬ ω0 ω1 + ω2 ⎪ ⎪ ω 1 0 ω1 S 0 ; Φ rϕ = ; ⎪ Φϕ = ω0 ω1 S0 + ω2 1 + ω2 ⎪⎭ σψ = f 22 σr − 2 f1 f 2 σr ϕ + f12 σϕ . (7) (8) Представим удовлетворяющие условиям (3) и (4) радиальное ur , окружное uϕ перемещения и ⎫ ) ;⎪⎪ R2 ∂ω2 R ∂ω2 ; f2 = 2 . 2 ∂r 2 r ∂ϕ Введем обозначения Γ2 Рис. 1. Исследуемая периодическая область Ω ωi ( ωi ) Ω γ 0 2 2 где направляющие косинусы f1 и f 2 нормали n к контуру Γ 2 определяются выражениями q ϕ 2 1 (2) напряжения в виде ( Pk – полиномы Лежандра) n1 n2 n1 n2 ⎫ ur = ∑ ∑ urm Pk C j ; uϕ = ∑ ∑ uϕm Pk S j ;⎪ k =0 j =0 k =0 j =0 ⎪ n1 n2 ⎛ 2 ⎞ ⎪ 2 σr = Φ r ⎜ − f1 q + f 2 ∑ ∑ σ m Pk C j ⎟ + ⎪ k =0 j =0 ⎝ ⎠ ⎪ n1 n2 ⎪ +ω0 ω1ω2 ∑ ∑ σrm Pk C j ; ⎪ k =0 j =0 ⎪ ⎪ n1 n2 ⎛ 2 ⎞ ⎪ σϕ = Φ ϕ ⎜ − f 2 q + f12 ∑ ∑ σ m Pk C j ⎟ + ⎬ (9) k =0 j =0 ⎝ ⎠ ⎪ n1 n2 ⎪ +ω2 ∑ ∑ σϕm Pk C j ; ⎪ k =0 j =0 ⎪ n1 n2 ⎛ ⎞ ⎪⎪ σr ϕ = − f1 f 2 Φ r ϕ ⎜ q + ∑ ∑ σ m Pk C j ⎟ + k =0 j =0 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ n1 n2 ⎪ +ω0 ω1ω2 ∑ ∑ σ rϕm Pk S j . ⎪⎭ k =0 j =0 После подстановки структур (9) в вариационное уравнение Рейсснера задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно постоянных urm , uϕm , σrm , σϕm , σ r ϕm и σm , по значениям которых определяются перемещения, напряжения, а также нормальное напряжение σψ (8) на границе Γ 2 . Численная реализация задачи Численная реализация задачи выполнена для изотропного ( E = 196, 2 ГПа ; ν = 0, 3 ) корпуса гидромотора с параметрами: a = 46,5 мм ; R = 65 мм ; R1 = 28 мм ; R2 = 13, 75 мм . 12.5 13.5 q 11.5 R2 B 02 Γ2 С σ% = σψ q . В табл. 1 для характерных точек исследуемой области Ω представлены найденные при различных значениях межцентрового расстояния a и радиуса R2 кругового отверстия безразмерные приведенные напряжения σ% . Таблица 1 Значения приведенного напряжения a , мм 45 49.5 R2 , мм 11.5 13.75 11.5 13.75 σ% A 1.875 3.007 1.061 1.963 σ% B 1.288 0.542 1.371 2.265 σ% max 2.784 5.867 3.070 6.637 σ% C 2.322 3.727 2.436 6.637 σ% D 1.584 3.312 3.118 9.750 Выводы Из полученных результатов следует, что напряженное состояние корпуса гидромотора существенно зависит от размеров концентратора и от его расположения в исследуемой области. Так, при изменении величины радиуса R2 от 11.5 мм до 13.75 мм максимальное напряжение σ% max , которое возникает на контуре Γ 2 отверстия при ψ = 65° ÷ 85° , увеличивается почти в два раза, а уровень напряжений σ% при этом уменьшается в точке B ( ψ = 0 ) и увеличивается в точке C ( ψ = 180° ). При увеличении межцентрового расстояния a и соответственно уменьшении перемычки CD (рис. 2) окрестность точки D становится не менее напряженной, чем контур Γ 2 отверстия. Полученные результаты в виде установленных зависимостей напряженного состояния корпуса гидромотора от размеров отверстий и от их расположения в расчетной области, использованы при проектировании гидромотора. Литература 1. Сало В.А. Краевые задачи статики оболочек с отверстиями. – Харьков, 2003. – 216 с. Рис. 2. Распределение напряжения σ% на контуре отверстия Γ 2 Рецензент: В.Г. Солодов, профессор, д.т.н., ХНАДУ. На рис. 2 штриховыми линиями показано (числа возле графиков соответствуют значениям радиуса R2 ) распределение приведенного напряжения Статья поступила в редакцию 4 марта 2005 г.