Методы математических доказательств

Методы математических доказательств
Гуев Т.А.
22 декабря 2015 г.
2
1. Доказательство «методом от противного».
Иногда для доказательства отдельных утверждений, нам не удается найти прямого рассуждения, с помощью которого мы могли бы вывести заключение 𝐵 из заключения 𝐴.
Такое может происходить не только из-за нашей несообразительности, но и потому, что
явной информации, содержащейся в 𝐴 недостаточно для доказательства истинности
утверждения 𝐵. При этом прямая проверка истиности утверждения 𝐵 может занимать слишком много времени или попросту невозможна. Поэтому нам нужно найти
другой способ доказательства. Рассмотрим таблицу истинности для двух противоположных утверждений: из 𝐴 следует 𝐵 (𝐴 ⇒ 𝐵) и из отрицания 𝐵 следует отрицание 𝐴
(𝐵 ⇒ 𝐴).
𝐴 𝐵
𝐵 𝐴 𝐴⇒𝐵 𝐵⇒𝐴
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
Можно заметить, что утверждение из 𝐴 следует 𝐵 полностью эквивалентно своей противоположности из 𝐵 следует 𝐴. В связи с этим стоит попытаться установить истинность
противоположного утверждения, что даст нам другой способ доказательств. Действительно, мы будем исходить из предположения ложности утверждения 𝐵 и выводить из
него ложность утверждения 𝐴. То есть показывая, истинность утверждения 𝐵 ⇒ 𝐴,
мы автоматически показываем истинность противоположного утверждения 𝐴 ⇒ 𝐵.
На практике достаточно из предположения об ошибочности 𝐵 прийти к заключению,
противоречащему 𝐴, тем самым доказав истинность утверждения 𝐴. Такой способ доказательства называют доказательство «методом от противного».
Таким образом доказательство «методом от противного» производится по следующей
схеме: сначала предполагается, что утверждение которое надо доказать ложно. Затем, с
помощью цепочки логических рассуждений приходят к выводу, что полученное утверждение невозможно или противоречит исходному утверждению, из чего автоматически
следует истинность исходного удтверждения.
Задачи
(a) Существует бесконечно много простых чисел.
√
(b) Докажите, что число 2 является иррациональным.
(c) Докажите, что сумма рационального числа 𝑥 и иррационального числа 𝑦 есть число
иррациональное.
(d) Докажите, что если квадрат числа суть число четное, то и само число четное.
√
(e) Докажите, что если число 𝑝 – простое, то 𝑝 иррационально.
√
(f) Докажите, что число 𝑛 2 не является целым ни при каком натуральном 𝑛.
√
√
√
(g) Докажите, что число 2 + 3 + 5 является иррациональным.
3
(h) Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐 – целые нечетные числа. Докажите, что уравнение 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 не
имеет рациональных решений.
2. Принцип наибольшего и наименьшего числа. Метод бесконечного спуска.
Принцип наибольшего числа утверждает, что в любом непустом конечном множестве
натуральных чисел найдётся наибольшее число.
Принцип наименьшего числа утверждает, что в любом непустом (не обязательно в конечном) множестве натуральных чисел существует наименьшее число.
Принцип наименьшего числа также можно сформулировать следующим образом: не
существует бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел.
Эти две формулировки принципа наименьшего числа равносильны. Действительно, если бы существовала бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, то
среди членов этой последовательности не существовало бы наименьшего. И наоборот,
если бы в некотором множестве натуральных чисел отсутствовало наименьшее число,
тогда для любого элемента этого множества найдётся другой, меньший элемент, а для
него ещё меньший, и так далее, так что возникает бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел.
Следует отметить, что принцип наименьшего числа, вообще говоря, неверен для мно1 1
жеств, состоящих из нецелых чисел. Например, множество положительных дробей 1, , , . . .
2 3
не содержит наименьшего числа.
Принцип наибольшего и наименьшего числа успешно применяется при решении многих
задач.
Задачи
(a) Доказать, что любое натуральное число, большее единицы, имеет простой делитель.
√
(b) Докажем иррациональность числа 2 с помощью принципа наименьшего числа.
√
Доказательство иррациональности числа 2 когда возникающее противоречие состоит
в появлении бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел называется
методом бесконечного или безграничного спуска.
Данный метод был изобретён и существенно развит французским математиком Пьером
Ферма, который использовал его для доказательства частного случая 𝑛 = 3 великой
теоремы, согласно которой уравнение 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 не имеет решений в натуральных
числах при 𝑛 > 2. Рассмотрим ещё раз его применение на примере.
Пример. Может ли последовательность квадратов содержать бесконечную арифметическую подпоследовательность.
4
Метод бесконечного спуска часто применяется при доказательстве неразрешимости уравнений в натуральных или целых числах. Пусть требуется показать, что уравнение
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, . . .) = 0
не имеет решений в натуральных числах. Если из предположения о том, что уравнение
имеет некоторое натуральное решение 𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . удается вывести существование другого
«меньшего» решения 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 , . . ., то продолжая аналогично, построим бесконечно убывающую последовательность натуральных чисел, чего быть не может. Значит уравнение
не имеет решений в натуральных числах.
Задачи
(a) Докажите, что уравнение 8𝑥4 + 4𝑦 4 + 2𝑧 4 = 𝑡4 не имеет решений в натуральных
числах.
(b) Докажите, что среди всех равных друг другу дробей непременно найдётся несократимая дробь.
(c) Доказать, что уравнение 𝑥2 + 𝑦 2 = 3(𝑧 2 + 𝑡2 ) не имеет решений в натуральных
числах.
(d) Доказать, что уравнение 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2𝑥𝑦𝑧 не имеет решений в натуральных
числах.
(e) Решить уравнение 𝑥3 + 25𝑧 3 + 5𝑦 3 − 15𝑥𝑦𝑧 = 0 в целых числах.
(f) Решите уравнение 𝑥3 − 3𝑦 3 − 9𝑧 3 = 0 в целых числах.
(g) Докажите, что система
{︃
𝑥2 + 5𝑦 2 = 𝑧 2
5𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑡2
не имеет решений в натуральных числах.
3. Метод математической индукции.
Математическая индукция – метод математического доказательства, который используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел.
Работоспособность данного принципа заложена в аксиомах Пеано для натуральных чисел.
Метод математической индукции. Предположим, что для каждого натурального
числа 𝑛 > 𝑛0 есть утверждение 𝑃 (𝑛), обладающее двумя свойствами:
(a) 𝑃 (𝑛0 ) истинно;
(b) для любого натурального 𝑘 > 𝑛0 из справедливости 𝑃 (𝑘) вытекает истинность
𝑃 (𝑘 + 1), то есть 𝑃 (𝑘) ⇒ 𝑃 (𝑘 + 1).
5
Тогда утверждение 𝑃 (𝑛) верно для любого натурального числа 𝑛 > 𝑛0 .
Первый шаг доказательста методом математической индукции, проверка истинности
утверждения 𝑃 (𝑛0 ) называется базой индукции. Допущение о справедливости высказывания 𝑃 (𝑘) для произвольного натурального числа 𝑘 называется предположением
индукции или индуктивным предположением. И наконец, индуктивный перехд или шаг
индукции заключается в доказательстве импликации 𝑃 (𝑘) ⇒ 𝑃 (𝑘 + 1), то есть утверждения «если 𝑃 (𝑘) верно, то и 𝑃 (𝑘 + 1) верно».
Начнем изучать метод математической индукции на примерах.
(a) Сколько 𝑛-значных чисел можно выписать, используя только единицы и двойки?
𝑛(𝑛 + 1)
.
2
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
(c) Доказать, что 12 + 22 + 32 + . . . + 𝑛2 =
.
6
(d) Доказать, что сумма углов выпуклого 𝑛-угольника равна 180(𝑛 − 2).
(b) Доказать, что 1 + 2 + 3 + . . . + 𝑛 =
(e) Докажите формулу бинома Ньютона.
1
1
1
𝑛
(f) Докажите, что
+
+ ... +
=
.
1·2 2·3
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛+1
𝑛+1
1 − 𝑞2
(g) Доказать, что (1 + 𝑞)(1 + 𝑞 )(1 + 𝑞 ) . . . (1 + 𝑞 ) =
.
1−𝑞
2
4
2𝑛
(h) Доказать, что 13 + 23 + 33 + . . . + 𝑛3 = (1 + 2 + 3 + . . . + 𝑛)2 .
(i) Докажите, что число 7𝑛 − 1 делится на 6 для любого 𝑛 ∈ N.
(j) Докажите, что число 10𝑛 − 1 делится на 9 для любого 𝑛 ∈ N.
(k) Докажите, что последняя цифра числа 3𝑛 с натуральным показателем может быть
только 1, 3, 7 или 9.
𝑛5 𝑛4 𝑛3
𝑛
+
+
−
является целым для любого 𝑛 ∈ N.
5
2
3
30
(m) Докажите, что | sin 𝑛𝑥| 6 𝑛| sin 𝑥| для любых 𝑥 ∈ R, 𝑛 ∈ N.
1
1
1
(n) Докажите, что 1 + 2 + 2 + . . . + 2 < 2.
2
3
𝑛
(l) Докажите, что число
1
1
1
3
(o) Докажите, что 1 + 3 + 3 + . . . + 3 < .
2
3
𝑛
2
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
1
1
1
1
(p) Докажите, что 1 +
1+
1+
. . . 1 + 𝑛 < 3.
2
4
8
2
1
1
(q) Число 𝑥 + ∈ Z. Докажите, что число 𝑥𝑛 + 𝑛 ∈ Z для любого 𝑛 ∈ N.
𝑥
𝑥
1
1
(r) Докажите, что если 𝑥 + = 2 cos 𝛼, то 𝑥𝑛 + 𝑛 = 2 cos 𝑛𝛼.
𝑥
𝑥
6
4. Принцип Дирихле.
Принцип Дирихле обычно применяется в комбинаторной теории множеств, комбинаторной геометрии, а также в теории чисел. Впервые был сформулирован немецким
математиком Дирихле (1805-1859) и использован для решения задач теории чисел. Интуитивно понятная форма этого принципа, может быть сформулирована следующим
образом.
Принцип Дирихле. Пусть в 𝑛 клетках сидит не менее чем 𝑛 + 1 кроликов. Тогда найдётся клетка, в которой сидит не менее двух кроликов.
Доказательство. Предположим, что это не так, то есть в каждой клетки силит не более
одного кролика (один или ни одного). Тогда, так как общее число клеток равно 𝑛, то
во всех клетках сидит не более, чем 𝑛 кроликов, что противоречит условию о том, что
кроликов не менее чем 𝑛 + 1. Таким образом найдется клетка в которой сидит не менее
двух кроликов.
Принцип Дирихле можно расширить следующим образом.
Расширенный принцип Дирихле. Если в 𝑛 клетках сидит не менее 𝑘𝑛 + 1 кроликов,
то найдётся клетка, в которой сидит не менее 𝑘 + 1 кроликов.
Доказательство. Расширенный принцип Дирихле доказывается полностью аналогично
обычному принципу. Предположим, противное, то есть в каждой клетке сидит не более
𝑘 кролика. Тогда, так как общее число клеток равно 𝑛, то во всех клетках сидит не
более, чем 𝑛𝑘 кроликов, что противоречит условию о том, что кроликов не менее 𝑛𝑘 + 1.
Принцип Дирихле можно сформулировать и с геометрической точки зрения. Следующее геометрическое утверждение обычно называют геометрическим принципом Дирихле или принципом Дирихле для площадей.
Геометрический принцип Дирихле. Пусть 𝐴 – квадрируемая фигура, и 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛
– квадрируемые фигуры, содержащиеся в 𝐴. Предположим, что
𝑆(𝐴) < 𝑆(𝐴1 ) + 𝑆(𝐴2 ) + . . . + 𝑆(𝐴𝑛 )
Тогда как минимум две из фигур 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 имеют общую внутреннюю точку.
Доказательство. Предположим противное, то есть ни одна из фигур 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 не
имеют общих точек. Тогда
𝑆(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ . . . ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑆(𝐴1 ) + 𝑆(𝐴2 ) + . . . + 𝑆(𝐴𝑛 )
7
Условия 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 ⊆ 𝐴 влекут
𝑆(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ . . . ∪ 𝐴𝑛 ) 6 𝑆(𝐴)
Полученное противоречие с условием завершает доказательство.
Замечание. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой.
По аналогии с расширенным принципом Дирихле можно рассмотреть следующее обобщение принципа Дирихле для площадей.
Расширенный геометрический принцип Дирихле. Пусть 𝐴–квадрируемая фигура, и 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑚 – квадрируемые фигуры, содержащиеся в 𝐴. Предположим, что
𝑛𝑆(𝐴) < 𝑆(𝐴1 ) + 𝑆(𝐴2 ) + . . . + 𝑆(𝐴𝑚 )
для некоторого натурального 𝑛 < 𝑚. Тогда как минимум 𝑛 + 1 из фигур 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑚
имеют общую внутреннюю точку.
Задачи
(a) В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день
года.
(b) Шесть мальчиков съели 13 конфет. Докажите, что найдутся два мальчика, которые
съели поровну конфет (возможно, что ни одной).
(c) Докажите, что любое множество состоящее из 10 целых двухзначных чисел, содержит два непересекающихся подмножества с одинаковой суммой элементов.
(d) На плоскости даны 5 точек с целыми координатами. Докажите, что середина одного
из отрезков, соединяющих их, также имеет целые координаты.
(e) Докажите, что среди любых 𝑛 + 1 натуральных чисел найдутся два числа таких,
что их разность делится на 𝑛.
(f) В единичном круге нарисовано 9 точек. Докажите, что найдутся три точки явля1
ющиеся вершинами треугольника площадь которого не превосходит .
8
(g) В школе 30 классов и 995 учеников. Докажите, что в ней имеется класс, в котором
не менее 34 учеников.
(h) Докажите, что из любых трёх чисел можно найти два, сумма которых четна.
(i) Докажите, что среди любых 𝑛 + 1 натуральных чисел найдутся два числа, которые
при делении на 𝑛 дают одинаковые остатки.
(j) Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых
делится на 3?
8
(k) Доказать, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое
делится на 1997.
(l) Доказать, что существует натуральное число, последние четыре цифры которого
1996 и которое делится на 1997.
(m) На плоскости проведено 𝑛 прямых. Докажите, что какие-то две из них образуют
180
градусов.
угол не больше
𝑛
(n) Докажите, что среди любых семи действительных чисел 𝑦1 , . . . , 𝑦7 , найдутся два,
таких, что
1
𝑦𝑖 − 𝑦𝑗
6√
06
1 + 𝑦𝑖 𝑦𝑗
3
(o) Докажите, что среди любых 13 действительных чисел найдутся два числа 𝑥 и 𝑦,
такие, что
√
|𝑥 − 𝑦| 6 (2 − 3)|1 + 𝑥𝑦|
5. Инварианты и полуинварианты.
Принцип инвариантов применяется при решении многих алгоритмических задач (игры, повторения). Некоторые операции в задачах выполняются повторно. Инвариантом
называется, то что сохранется, не изменяется при некоторых преобразованиях. Проще
говоря, можно сказать:
Если некоторые преобразования выполняются повторно, нужно искать
инвариант!
Полуинвариант — это некоторая величина, которая в отличие от инварианта не остается неизменной, а увеличивается или уменьшается и может принимать при этом лишь
конечное число различных значений.
Задачи
(a) На столе стоят вверх дном семь стаканов. Разрешается переворачивать одновременно любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все семь стаканов на
столе стояли на дне?
(b) Круг разделён на 6 секторов. В каждом секторе написано число. Резрешается одновременно увеличивать числа в двух соседних секторах на один. Можно ли сделать
все числа равными, если в начале они имели вид 1, 0, 1, 0, 0, 0?
(c) Даны три числа 2011, 2012, 2013. За один ход разрешается заменить числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 на
числа 𝑎𝑏/𝑐, 𝑎𝑐/𝑏, 𝑏𝑐/𝑎. Можно ли через несколько ходов получить числа 2008, 2012, 2016?
(d) На доске написаны знаки + и −. Вы можете стереть два произвольных образом и
записать вместо них + если знаки равны и − если знаки различны. Докажите, что
последний знак не зависит от порядка стирания.
9
(e) На доске написано число 1234. Разрешается к числу либо прибавить по единице
к двум соседним цифрам, либо вычесть по единице (если среди них нет девяток,
нулей соответсвенно). Можно ли получить число 2013?
(f) На табло горит число 1001. Каждую секунду какие-то две соседние цифры одновременно либо увеличиваются на 1, либо уменьшаются на 1 (если могут). Может
ли на табло загореться число 2015?
(g) На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 20. Разрешается стереть любые два числа 𝑎 и 𝑏
и записать вместо них число 𝑎𝑏 + 𝑎 + 𝑏. Какое число может остаться на доске после
19 таких операций?
(h) На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 20. Разрешается стереть любые два числа 𝑎 и 𝑏
и записать вместо них число 𝑎 + 𝑏 − 1. Какое число может остаться на доске после
19 таких операций?
(i) На доске в строчку написаны числа 1, 2, . . . , 10. Докажите, что независимо от расстановки между ними знаков ±, их сумма никогда не будет равна 0.
(j) На доске написаны числа 1, 2, . . . , 4𝑛 − 1. За один шаг разрешается заменить любые
два числа их разностью. Докажите, что через 4𝑛 − 2 шагов на доске останется
чётное число.
(k) Пусть 𝑛 нечётное положительное число. На доске написаны числа 1, 2, . . . , 2𝑛. Некто
выбирает два любых числа 𝑎 и 𝑏, стирает их, и записывает вместо них число |𝑎 − 𝑏|.
Докажите, что в конце останется нечётное число.
(l) Набор чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐 каждую секунду заменяется на 𝑎 + 𝑏 − 𝑐, 𝑏 + 𝑐 − 𝑎, 𝑐 + 𝑎 − 𝑏.
В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время
получиться набор 2001, 2002, 2003.
(m) Тимур разорвал листок на 10 частей, некоторые из получившихся кусков он снова
разорвал на 10 частей и так далее. Мог ли он получить 2012 кусков бумаги?
√
1
(n) Дана тройка чисел 2, 2, √ . Разрешается любые два числа заменить на следую2
√
√
щие два числа: их сумму, деленную на 2, и их разность, деленную на
√ 2. Можно
√
ли, проделав эту операцию несколько раз, получить тройку чисел 1, 2, 1 − 2?
(o) Решите уравнение (𝑥2 − 3𝑥 + 3)2 − 3(𝑥2 − 3𝑥 + 3) + 3 = 𝑥.
(p) Можно ли преобразовать функцию 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 в 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 + 9 с
помощью преобразований
(︂
)︂
)︂
(︂
1
1
2
2
𝑓 (𝑥) ↦→ 𝑥 · 𝑓
+1 ,
𝑓 (𝑥) ↦→ (𝑥 − 1) · 𝑓
𝑥
𝑥−1
(q) Можно ли получить многочлен ℎ(𝑥) = 𝑥 из многочленов 𝑓 (𝑥) и 𝑔(𝑥) используя
операции сложения, вычитания и умножения, если
i. 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2,
10
ii. 𝑓 (𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 2𝑥,
iii. 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2.
(r) Допустимыми операциями для квадратного трёхчлена 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 являются
i. заменить 𝑎 на 𝑐,
ii. заменить 𝑥 на 𝑥 + 𝑡 где 𝑡 – действительное число.
Можно ли таким образом привести 𝑥2 − 𝑥 − 2 к виду 𝑥2 − 𝑥 − 1?
(s) На доске написаны многочлены 𝑃 (𝑥) = 𝑥2 +2 и 𝑄(𝑥) = 𝑥+1. Разрешается записать
на доску сумму, разность или произведение любых двух из уже выписанных на
доску многочленов. Может ли на доске появиться многочлен 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 2?
(t) Пусть 𝑑(𝑛) обозначает сумму чисел числа 𝑛 ∈ N. Решите уравнение 𝑛 + 𝑑(𝑛) +
𝑑(𝑑(𝑛)) = 1997.
(u) Последовательность (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛 ) строится по следующему принципу
𝑥0 = 1, 𝑦0 = 0, 𝑥𝑛+1 =
12𝑥𝑛 + 5𝑦𝑛
5𝑥𝑛 − 12𝑦𝑛
, 𝑦𝑛 =
13
13
Найдите 𝑥2𝑛 + 𝑦𝑛2 для 𝑛 = 102 , 103 , 104 , 105 , 106 , 107 .
(v) В квадрате 20 × 20 стоят 400 ненулевых чисел. Можно изменить знак у всех чисел,
стоящих в одном столбце или в одной строке. Докажите, что за конечное число
таких операций можно добиться того, что сумма чисел, стоящих в любой строке
или в любом столбце, будет неотрицательной.
(w) По окружности расставлены 𝑛 натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записывают их наибольший общий делитель. После этого исходные
числа стирают, а с оставшимися проделывают то же самое. Докажите, что через
несколько шагов все числа станут равными.