Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

Лекция № 6.
Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.
При обработке дискретных сигналов большое значение представляет
ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша
относятся к классу кусочно-постоянных знакопеременных функций, задаваемых на
отрезке 0, 1 либо  1 2, 1 2 и принимающих значения 1 . Для представления
реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно
пользоваться функциями Уолша с интервалом определения 0, 1 .
Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность
N  2m (m  1, 2,...) равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша
принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов имеют разрывы первого рода,
причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.
Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную
систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку
нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными
способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту и Адамару.
Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочнопостоянных функций Радемахера r ( k , t ) . Эти функции на интервале 0, 1 заданы
следующим образом:
r (0,1)  1; r (k , t )  sign(sin 2k  t ), k  1, 2,...
1, x  0
Выражение sign ( x) является функцией знака x : sign( x)  
0, x  0
(6.1)
(6.2)
Функции Радемахера, имеющие вид совокупности меандров, представлены на
рис. 6.1 (приведены первые три функции):
1
r (0, t )
t
-1
0
1
1
r (1, t )
t
-1
0
1
1
2
1
r (2, t )
-1
0
t
1
2
1
1
Функции Радемахера ортонормированны на интервале 0, 1 , но не образуют
полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины
интервала. В частности, можно подобрать функцию sign(cos 2k  t ) , которая будет
ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера
функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций
Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами
упорядочения.
Диадно-упорядоченная система функций Уолша (упорядочение по Пэли).
Функции Пэли  pal (k , t ) с номером k ( k  0, 1, 2, ... ) формируются из произведений
таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций
двоичного представления числа k , содержащих 1. Если номер функции k имеет
следующее двоичное n  разрядное представление
n 1
k   k p 2 p ; k p  0,1 ,
(6.3)
p 0
то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:
n 1
pal (k , t )   r ( p  1, t )
kp
(6.4)
p 0
В случае, если k есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное
представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.
Пример. Построить систем у функций Пэли для случая N  8, t  0,1 :
pal (0, t )  r (0, t );
pal (1, t )  pal (001, t )  r (1, t );
pal (2, t )  pal (010, t )  r (2, t );
pal (3, t )  pal (011, t )  r (1, t )r (2, t );
pal (4, t )  pal (100, t )  r (3, t );
pal (5, t )  pal (101, t )  r (1, t )r (3, t );
pal (6, t )  pal (110, t )  r (2, t )r (3, t );
pal (7, t )  pal (111, t )  r (1, t )r (2, t )r (3, t ).
Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя
первыми функциями Радемахера. На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5,
упорядоченные по Пэли:
2
pal (3, t )
1
t
1
_
pal (4, t )
pal (5, t )
1
1
1
_
1
1
1
_
0
1
t
1
0
t
0
1
Упорядочение по Адамару
1
может быть получено из системы Пэли двоичной
инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления
номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара
( n  011  3 ) совпадает с шестой функцией в системе Пэли ( k  110  6 ).
Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой
упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу
смены знаков) на интервале  0,1 . Запишем функции системы Хармута в форме:
n 1
wal (k , t )   sign(cos k p 2 p  t )
(6.5)
p 0
Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в
которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного
интервала. То есть: wal (2, t )  pal (3, t ); wal (3, t )  pal (2, t ); wal (4, t )  pal (6, t ) и т.д.
Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута
тригонометрической системе функций cos 2 mt , sin 2 mt . Поэтому спектр сигнала в
базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии
в упорядочении функций.
Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша,
но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.
Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша wal (k , t ) .
1. Ортогональность функций на интервале 0, 1 :
1
1, k  l
.
k l
 wal (k , t )wal (l , t )  0,
0
(6.6)
2. Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения 1 :
wal (k , t )  1 .
(6.7)
3
3. Среднее значение функций Уолша для всех k  0 равно нулю в силу
ортогональности с функцией wal (0, t ) :
1
 wal (k , t )dt  0;
k  0.
(6.8)
0
4. Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):
1
  wal (k , t )
2
dt  1
при любом k .
(6.9)
0
5. Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую
функцию Уолша из этой же системы:
wal (k , t ) wal (l , t )  wal (k  l , t ),
(6.10)
где  означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел k и l.
Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.
Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым
квадратом на интервале определения 0, 1 :
1
 x  t  dt  .
2
(6.11)
0
Ряд Уолша записывается в виде:

x(t )   Ck wal (k , t ).
(6.12)
k 0
Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:
1
Ck   x (t ) wal (k , t )dt.
(6.13)
0
В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)
справедливо равенство Парсеваля:

1
 Ck2    x(t ) dt.
2
k 0
(6.14)
0
Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения  0, T .
Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию
приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят
безразмерный аргумент   t T . Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают
первыми N членами, исходя из точности представления сигналов:
N 1
x(t )   Ck wal (k ,  ).
(6.15)
k 0
4