R ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ 1 семестр

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ
1 семестр
1. Числовая прямая и множество действительных чисел.
R
2. Множества в
как числовые подмножества. Абсолютная величина числа. Свойства
модуля.
3. Понятие отображения. Образ. Прообраз. Примеры отображений в зависимости от природы
отображаемых множеств.
4. Функция в
-мерном арифметическом пространстве ( -мерное арифметическое
пространство, примеры;
-мерная точка; понятие функции одной и нескольких переменных,
вектор-функции одной и многих переменных; область определения и область значения функции;
график функции, примеры).
5. Основные понятия матрицы и определителя.
6. Действия с матрицами. Элементарные преобразования. Канонические матрицы, метод
Гаусса.
7. Свойства матрицы, свойства определителей.
8. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов и
матрицы. Теорема об окаймляющих минорах.
9. Вырожденные и невырожденные матрицы. Свойства рангов.
10. Обратная матрица и ее свойства. Методы нахождения обратной матрицы (матричный,
Гаусса).
11. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Классификация СЛАУ. Теорема
Кронекера-Капелли.
12. Методы решения СЛАУ.
13. Фундаментальная система решений.
14. Собственные числа. Собственные векторы. Построение подпространства собственных
векторов ОСЛАУ.
15. Понятие вектора (представитель, длина, орт, коллинеарность, компланарность).
16. Действия над векторами.
17. Свойства операций над векторами. Проекция точки и вектора на ось. Свойства проекций.
18. Компоненты и координаты вектора.
19. Базис системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Система
координат. Декартова прямоугольная система координат.
20. Ориентация системы координат. Векторы в ДПСК (длина вектора и направляющие
косинусы).
21. Орт вектора в ДПСК. Операции над векторами в координатах (алгебраическая сумма,
умножение на скаляр, равенство векторов). Условие коллинеарности векторов. Нахождение
координат вектора по координатам его начала и конца.
22. Скалярное произведение векторов (определение, свойства, выражение через координаты,
работа по перемещению материальной точки).
23. Векторное произведение векторов (определение, свойства, выражение через координаты,
приложения).
24. Смешанное произведение векторов (определение, свойства, выражение через
координаты, приложения).
25. Расстояние между точками. Полярная система координат.
26. Деление отрезка в данном отношении. Общее уравнение прямой на плоскости.
27. Уравнения прямой, проходящей через данную точку, через две данные точки, в отрезках.
28. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору
(на плоскости). Полярное и нормальное уравнения прямых.
29. Основные задачи для прямой линии на плоскости (угол между двумя прямыми, расстояние
от точки до прямой).
30. Комплексная плоскость (понятие комплексного числа, его формы записи, геометрическая
интерпретация).
31. Взаимосвязь форм комплексных чисел. Формула Эйлера. Операции с комплексными
числами.
32. Кривые второго порядка. Эллипс.
33. Кривые второго порядка. Гипербола.
34. Кривые второго порядка. Парабола.
35. Векторное и параметрическое уравнения прямой.
36. Каноническое уравнение прямой и уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол
между двумя прямыми в пространстве.
n
n
n
37 Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно данному вектору.
Общее уравнение плоскости.
38. Нормальное уравнение плоскости.
39. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.
40. Расстояние от точки до плоскости.
41. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрическая
интерпретация предела.
42. Определения предела функции в точке (по Коши, по Гейне). Геометрический смысл
предела функции в точке. Действия над пределами.
43. Односторонние пределы функции в точке. Теорема существования предела функции в
точке.
44. Бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке, связь между ними.
45. Первый и второй замечательные пределы, их следствия. Эквивалентные функции в точке.
46. Непрерывность функции в точке.
47. Классификация точек разрыва функции. Свойства непрерывных функций в точке и на
отрезке.
48. Дифференцируемость функции в точке.
49. Два определения производной. Правила и формулы дифференцирования.
50. Логарифмическое дифференцирование. Виды задания функций, их дифференцирование.
51. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функции. Пример.
52. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
53. Свойство линейности в малом. Пример с геометрической и аналитической
интерпретацией.
54. Односторонние производные. Геометрическая интерпретация производной функции в
точке.
55. Уравнение касательной и нормали.
56. Теорема Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков.
57. Производные высших порядков от неявно и параметрически заданных функций.
58. Физический смысл производной и дифференциала.
59. Асимптота к графику. Теорема о наклонной асимптоте.
60. Монотонные функции в точке и на отрезке. Точки локального максимума и минимума.
Критические и стационарные точки.
61. Второе достаточное условие экстремума функции в точке. Наибольшее и наименьшее
значение функций. Схема нахождения.
62. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема исследования функций.
63. Формула Тейлора и Маклорена.
64. Формулы Маклорена для некоторых функций.