КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической

1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексные числа в алгебраической форме
1.Основные понятия
Определение 1. Комплексным числом в алгебраической форме
называется выражение вида
, где
так называемая мнимая единица
Если
, то число
, то число
и
действительные числа, а
.
называется чисто мнимым; если
есть действительное число. А это означает, что
множество действительных чисел R является подмножеством множества C
всех комплексных чисел, т.е.
Число
C.
называется действительной частью комплексного числа
обозначается
,а
мнимой частью
и
.
Так, действительная часть комплексного числа
равна
,
мнимая часть равна 2.
Определение 2. Два комплексных числа
называются равными (
и
) тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части:
и
.
Определение 3. Комплексное число
тогда, когда
равно нулю только
.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Определение 4. Два комплексных числа
и
̅
,
отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются комплексносопряженными.
Определение 5. Модулем комплексного числа
число | |
√
называется
.
Замечание. Сопряженные комплексные числа
имеют равные модули | |
| ̅|.
и ̅
2
2.Геометрическое
истолкование
комплексных
чисел
в
алгебраической форме
Любое комплексное число
плоскости
можно изобразить точкой
. Обратно, каждую точку
координатной
плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа
.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, на
ней лежат действительные числа
. Ось ординат называется
мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа
Соединив точку
.
с началом координат, получим вектор ̅̅̅̅̅. В
некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа
вектор ̅̅̅̅̅.
3. Действия и свойства действий над комплексными числами в
алгебраической форме
Определение 1.Сложение комплексных чисел. Суммой двух
комплексных чисел
и
называется комплексное
число, определяемое равенством
(1)
Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел,
изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов
(Рис.1).
3
Рис.1
Сложение комплексных чисел обладает переместительным
(коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
,
.
Докажем первое свойство.
.
Определение 2. Вычитание комплексных чисел. Разностью двух
комплексных чисел
и
называется такое
комплексное число, которое, будучи сложенным с
, дает число
:
.
Пример. Найти сумму и разность комплексных чисел
(2)
и
.
,
.
Рис.2
Из равенства (2) следует, что геометрически комплексные числа
вычитаются как векторы (Рис.2). Непосредственно из рисунка видно, что
|
|
| |
| |. Отметим, что |
|
√
, т.е.
модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками,
изображающими эти числа на комплексной плоскости.
4
Например, равенство |
|
определяет на комплексной плоскости
множество точек , находящихся на расстоянии 2 от точки
окружность с центром в
, т.е.
и радиусом 2.
Определение 3. Умножение комплексных чисел. Произведением
комплексных чисел в алгебраической форме
и
называется комплексное число, определяемое равенством
.
(3)
Эта формула формально получается путем перемножения двучленов
и
:
.
Например,
.
и ̅
Замечание. Произведение сопряженных чисел
в силу равенства (3) выражается так:
̅
или
̅
| |
| ̅| .
Т.е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату
модуля каждого из них.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным,
сочетательным, распределительным (дистрибутивным) свойствами:
,
,
.
В этом легко убедиться, используя определение (3).
Определение 4. Деление комплексных чисел. Деление комплексных
чисел определяется как действие, обратное умножению. Частным двух
комплексных чисел
и
будучи умноженным на
,
называется комплексное число , которое,
, дает число
, т.е.
, если
. Если
5
{
Решая систему, найдем значения
и :
Окончательно получаем
Практически деление комплексных чисел выполняется следующим
образом: чтобы разделить
на
, умножим числитель
и знаменатель на число, сопряженное знаменателю (т.е. на
). Тогда
делителем будет действительное число; разделив на него действительную и
мнимую части делимого, получим частное
ыполнить деление
Замечание. Если в выражении, составленном из комплексных чисел
посредством конечного числа арифметических действий, каждое
комплексное число заменить на сопряженное, то и результат заменится на
комплексно-сопряженный.
Для доказательства достаточно проверить для каждого действия в
отдельности:
̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ,
̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ,
̅̅
̅̅̅̅̅̅ ,
6
̅̅̅̅̅̅
( )
̅
Проверим, например, выполнение первого из действий:
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Комплексные числа в тригонометрической форме
1.Основные понятия
Определение. Тригонометрической формой ненулевого комплексного
числа
называется выражение
комплексного числа
, где
модуль
].
, а угол
Покажем, как перейти от алгебраической формы задания
комплексного числа
к тригонометрической форме.
Т. к.
, то или
, или
, значит,
; и,
значит, комплексное число можно записать в виде
√
(
√
)
√
Нетрудно проверить, что:
|
|
√
|
√
|
Значит, существует такой угол
(
√
)
(
√
√
)
,и
√
| | есть модуль комплексного числа.
√
Угол
называется аргументом комплексного числа и обозначается
. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до
слагаемого
, где
любое целое число:
.
При переходе от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической достаточно определить лишь главное значение
аргумента комплексного числа , т.е. считать
Отметим, что в качестве значения аргумента
из промежутка
].
].
можно брать величину
7
Модуль и аргумент
комплексного числа можно рассматривать как
полярные координаты радиус-вектора ̅̅̅̅̅, изображающего комплексное
число .
Если точка лежит на действительной или мнимой оси, то
можно
найти непосредственно (см. Рис.3).
Например,
для
;
для
;
для
;
для
.
Рис.3
Пример 1. Записать комплексное число
в
тригонометрической форме.
Решение. Найдем модуль и аргумент данного комплексного числа:
| |
√
√ ;{
√
√
и, значит,
.
8
√ (
Поэтому,
).
(
Пример 2. Запись
) не является
тригонометрической формой записи комплексного числа.
Перепишем
что
(
в виде
. Таким углом из промежутка
,
является угол
). Надо найти такой угол
(
. Значит,
]
).
2. Действия над комплексными числами в тригонометрической
форме
Теорема 1 (произведение комплексных чисел в тригонометрической
форме)
Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число,
модуль которого равен произведению модулей перемножаемых чисел, а
аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
Доказательство
Найдем произведение двух комплексных чисел, заданных в
тригонометрической форме
и
:
(
)
Теорема доказана.
Правило умножения комплексных чисел распространяется на любое
конечное число сомножителей.
В частности, если
, то
целое положительное число,
,
9
Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при
возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль
возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Формулу Муавра легко доказать методом математической индукции.
Теорема 2 (деление комплексных чисел)
Модуль частного двух комплексных чисел, заданных в
тригонометрической форме, равен частному модулей делимого и делителя;
аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Доказательство
(
)
(
)
Теорема доказана.
Пример 1.Найти произведение
и частное
,
= (
(
.
(
Решение.
)
комплексных чисел
) (
(
))
(
(
Пример 2.Найти (
Решение. Запишем число
)
(
(
);
)
(
))
)
√ ) .
√ в тригонометрической форме:
10
√
| |
(
√
(
( √ )
√ )
(
)
[ (
(
√
(
)
(
; т.е.
,
)). По формуле Муавра имеем
(
))]
)
.
3.Извлечение корней из комплексных чисел
Определение. Корнем
комплексное число,
√
, если
ой степени из комплексного числа называется
ая степень которого равна подкоренному числу, т.е.
.
Если
,а
,
то по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем
, т.е.
,
, где
√ ,
любое целое число, √
арифметическое
(действительное положительное) значение корня из положительного числа .
Следовательно,
√ (
√
Придавая
значения
корня. Для других значений
число, кратное
)
, получим
(4)
различных значений
аргументы будут отличаться от полученных на
, и, следовательно, получатся значения корня,
совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень,
ой степени из комплексного числа имеет ровно
различных значений.
Пример. Найти все значения кубического корня из 1.
Решение. Представим 1 в тригонометрической форме:
По формуле (4) получаем:
.
11
√
√
Полагая
.
равным 0, 1, 2, находим три различных значения корня:
,
√
,
√
.
Комплексные числа в показательной форме
Используя формулу Эйлера
, комплексное число
можно записать в так называемой показательной
(или экспоненциальной) форме
, где
| | модуль комплексного
числа, а угол
В силу формулы Эйлера, функция
периодическая с периодом
.
Для записи комплексного числа в показательной форме, достаточно найти
главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать угол
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать
в тригонометрической и показательной формах:
√ ;
a)
b)
c)
;
(
).
Задание 2. Представить в алгебраической форме числа:
a)
(
);
b)
√ (
c)
.
);
.
12
Задание 3. Представить в тригонометрической и алгебраической формах
числа:
a)
;
(
b)
).
Задание 4. Найти
и
a)
, если:
;
b)
.
Задание 5. Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел:
a)
;
(√
b)
√ )
(
)
.
Задание 6. Найти расстояние между точками:
a)
и
b)
и
;
.
Задание 7. Изобразить на комплексной плоскости множества точек,
удовлетворяющих следующим условиям:
a) {
̅
|
b)
|
c) {
|
d)
√
√
|;
|
|
(
)
.
13
Задание 8. Вычислить:
a)
;
b)
;
c)
.
Задание 9. Найти:
a) (
) ;
b)
c)
;
(√
)(
.
√ )
Задание 10. Вычислить:
a) (√ (
b) (
)) ;
√
√
c) (
√
)
;
) ;
d)
.
Задание 11. Выполнить действия:
a)
(
)
(
(
b) (√
)
(
,
))
) , результат представить в алгебраической форме.
Задание 12. Найти все значения корней из комплексных чисел:
a) √
b) √
;
√ ;
14
c) √
;
d) √
.
Задание 13. Решить уравнения:
a)
;
b)
c)
;
d)
;
̅
;
e) | |
f)
;
.
Задание 14. Найти:
a) действительные решения;
b) комплексные решения
системы уравнений
{