ðîãî íàõîäèòñÿ âäàëè íà ëèíèè öåíòðîâ ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé? À.Î÷êîâ Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1641, Ì1646 Ì1650, Ô1658 Ô1667 Ì1641. Åñòü ïîëóáåñêîíå÷íàÿ ïîëîñêà áóìàãè, ðàçäå- ëåííàÿ íà êëåòî÷êè ñ íîìåðàìè 1, 2, 3, ..., è n êàìíåé. Íà ïåðâîé êëåòî÷êå êàìåíü ëåæèò âñåãäà. Ðàçðåøàåòñÿ ïîëîæèòü â êëåòêó êàìåíü èëè óáðàòü êàìåíü èç êëåòêè, åñëè íà ïðåäûäóùåé êëåòêå ëåæèò êàìåíü. Êàê äàëåêî îò íà÷àëà ïîëîñêè ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü, äåéñòâóÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðàâèëîì? Äîêàæèòå, íàïðèìåð, ÷òî íà êëåòêó ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü ìîæíî. ÊÂÀÍT 1999/¹1 Äîêàæåì, ÷òî íà êëåòêó ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü ìîæíî. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêòèâíûì. Èíäóêöèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî ÷èñëó êàìíåé. Ñëó÷àé n = 1 î÷åâèäåí íà ïåðâîé êëåòêå êàìåíü ëåæèò ïî óñëîâèþ. Ïóñòü ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü íà êëåòêó 2n−1 , èñïîëüçóÿ n n êàìíåé. Ïîêàæåì: êàê äîáðàòüñÿ äî êëåòêè 2 , èñïîëüçóÿ íà îäèí êàìåíü áîëüøå. Âñå òðåáóåìûå äëÿ ýòîãî äåéñòâèÿ ðàçáèâàþòñÿ íà ÷åòûðå ýòàïà. Ýòàï 1. Áåç èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî êàìíÿ ïîìåñòèì êàìåíü íà êëåòêó 2n−1 . Ýòàï 2. Äîïîëíèòåëüíûé êàìåíü ïîìåñòèì íà êëåòêó 2n−1 + 1. Ýòàï 3. Òåïåðü óáåðåì ñ ïîëîñêè âñå êàìíè, êðîìå ñàìîãî ïåðâîãî (ëåæàùåãî íà ïåðâîé êëåòêå) è ñàìîãî ïîñëåäíåãî (ëåæàùåãî íà êëåòêå 2n−1 + 1). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîâòîðÿÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå äåéñòâèÿ, ñîâåðøåííûå íà ýòàïå 1 (ðàçðåøåííûå äåéñòâèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïîñòàíîâêè è ñíÿòèÿ êàìíåé). Ýòàï 4. Òåïåðü çàáóäåì î ïåðâûõ 2n−1 êëåòêàõ ïîëîñêè. Ïîâòîðèì âñå äåéñòâèÿ ýòàïà 1, ñ÷èòàÿ íà÷àëüíûì êàìåíü, ëåæàùèé íà êëåòêå 2n−1 + 1. Ïðè ýòîì ìû ñòàâèì è ñíèìàåì êàìíè, îñâîáîäèâøèåñÿ íà ýòàïå 3. n Ïîñëåäíèì äåéñòâèåì ýòàïà 4 íà êëåòêó 2n−1 + 2n−1 = 2 êëàäåòñÿ êàìåíü, ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Äàëüøå êëåòêè ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü íåëüçÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òàêæå èñïîëüçóåò èíäóêöèþ ïî ÷èñëó êàìíåé. È â ýòîì ñëó÷àå áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà (ïðè n = 1 åäèíñòâåííûé êàìåíü îñòàåòñÿ íà ïåðâîé êëåòêå ïî óñëîâèþ). Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ k < n äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå âåðíî, ò.å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëîæèòü êàìåíü k −1 íà êëåòêó ñ íîìåðîì áîëüøèì 2 , íàì íóæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå k êàìíåé. Ïóñòü N ìàêñèìàëüíûé íîìåð êëåòêè, íà êîòîðóþ ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü ïðè èñïîëüçîâàíèè n êàìíåé. Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî òðåáóåìûõ äëÿ ýòîãî äåéñòâèé Ò, ñîñòîÿíèå ïîëîñêè (ïîëîæåíèÿ êàìíåé, ëåæàùèõ íà íåé) ïîñëå t äåéñòâèé îáîçíà÷èì À(t), íàèáîëüøèé íîìåð êëåòêè, â êîòîðîé ëåæèò êàìåíü ïîñëå t äåéñòâèé, îáîçíà÷èì N(t) (â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ N = N(T)). Èç ïðàâèë, ïî êîòîðûì êëàäóòñÿ è ñíèìàþòñÿ êàìíè, ñëåäóåò, ÷òî N(t) 1 ≤ N(t + 1) ≤ N(t) + 1. Ïîýòîìó ñðåäè ÷èñåë N(t) îáÿçàòåëüíî âñòðåòÿòñÿ âñå ÷èñëà îò 1 äî N, áûòü ìîæåò, íå îäèí ðàç. n− 2 Ðàçîáüåì ïîëîñêó íà äâå ÷àñòè: êëåòêè îò 1 äî 2 +1 16 îáðàçóþò ëåâóþ ÷àñòü, à êëåòêè ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè n−2 + 1, îáðàçóþò ïðàâóþ ÷àñòü. 2 Åñëè N ≤ 2 n−2 + 1 (âñå êàìíè â ëåâîé ÷àñòè), òî ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè äîêàçàíî è äëÿ n êàìíåé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàéäåòñÿ òàêîå t0 , ÷òî âûïîëíåíî n−2 n− 2 N t0 = 2 + 1 è N(t) > 2 + 1 ïðè t > t 0 . Äðóãèìè ñëîâàìè, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t 0 , â ïðàâîé ÷àñòè íàõîäèòñÿ õîòÿ áû îäèí êàìåíü. Ëåììà. Ïðè t > t 0 â ëåâîé ÷àñòè íàõîäÿòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà êàìíÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàìåíü, ñòîÿùèé íà ïåðâîé êëåòêå, íàõîäèòñÿ â ëåâîé ÷àñòè âñåãäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò t ′ â ëåâîé ÷àñòè íå îñòàëîñü íèêàêèõ êàìíåé çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî. Äëÿ t0 ≤ t ≤ t ′ îáîçíà÷èì ÷åðåç B t ′ − t òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëîñêè, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò ñîñòîÿíèÿ A(t) òåì, ÷òî ñíÿòû âñå êàìíè èç ïðàâîé ÷àñòè (à â ëåâîé ÷àñòè A(t) ñîâïàäàåò ñ B t ′ − t ).  ñîñòîÿíèè B(0) åñòü ðîâíî îäèí êàìåíü íà ïåðâîé êëåòêå. Ïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ B τ ê ñîñòîÿíèþ B τ + 1 ñîâåðøàåòñÿ ðàçðåøåííûì äåéñòâèåì (ïðàâèëà îáðàòèìû åñëè ìîæíî ïîñòàâèòü êàìåíü, òî åãî ìîæíî ñëåäóþùèì äåéñòâèåì ñíÿòü, è íàîáîðîò).  ñîñòîÿíèè B t ′ − t0 íà êëåòêå 2 n− 2 + 1 ëåæèò êàìåíü.  ëþáîì ñîñòîÿíèè B(t), 0 ≤ t ≤ t ′ t 0 , íà ïîëîñêå ëåæèò íå áîëåå n 1 êàìíÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ìîìåíò t 0 áûë âûáðàí òàê, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò ïîñëå íåãî â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîñêè åñòü õîòÿ áû îäèí êàìåíü. Ïðè ïåðåõîäå îò A t ′ − t ê B(t) òåðÿþòñÿ âñå êàìíè, îêàçàâøèåñÿ â ïðàâîé ÷àñòè. Òàê ÷òî â ñîñòîÿíèè B(t) ïî êðàéíåé ìåðå íà îäèí êàìåíü ìåíüøå, ÷åì â ñîñòîÿíèè A t ′ − t . Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèÿ B(t) n−2 îïèñûâàþò ñïîñîá ïîëîæèòü êàìåíü íà 2 + 1 êëåòêó, íà÷èíàÿ îò îäíîãî êàìíÿ íà ïåðâîé êëåòêå è èñïîëüçóÿ íå áîëåå n 1 êàìíÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëåììó. Òåïåðü çàáóäåì î âñåé ëåâîé ÷àñòè ïîëîñêè, êðîìå êëåòêè n−2 2 + 1. Êàê ñëåäóåò èç äîêàçàííîé ëåììû, îò ìîìåíòà t 0 äî Ò â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîñêè èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå n 2 êàìíåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(t), t 0 ≤ t ≤ T, òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëîñêè, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç A(t) ñäâèãîì n−2 âëåâî íà 2 è äîáàâëåíèåì êàìíÿ íà ïåðâóþ êëåòêó, åñëè åãî òàì íåò. Ñîñòîÿíèÿ îò C t0 äî C T îïèñûâàþò ñïîñîá n−2 ïîëîæèòü êàìåíü íà êëåòêó ñ íîìåðîì N 2 , íà÷èíàÿ îò îäíîãî êàìíÿ íà ïåðâîé êëåòêå è èñïîëüçóÿ íå áîëåå n 1 êàìíÿ. n−2  ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè N 2 ≤ 2 n−2 , n−1 ïîýòîìó N ≤ 2 . Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Ì.Âÿëûé ? D ? D ? >C > C ? ? ? D D D D ? D >C Ì1646. Ó íåñêîëüêèõ êðåñòüÿí åñòü 128 îâåö. Åñëè ó êîãî-òî èç íèõ îêàçûâàåòñÿ íå ìåíåå ïîëîâèíû âñåõ îâåö, îñòàëüíûå ñãîâàðèâàþòñÿ è ðàñêóëà÷èâàþò åãî: êàæäûé áåðåò ñåáå ñòîëüêî îâåö, ñêîëüêî ó íåãî óæå åñòü. Åñëè ó äâîèõ ïî 64 îâöû, òî ðàñêóëà÷èâàþò êîãîòî îäíîãî èç íèõ. Ïðîèçîøëî 7 ðàñêóëà÷èâàíèé. Äîêàæèòå, ÷òî â ðåçóëüòàòå âñå îâöû ñîáðàëèñü ó îäíîãî êðåñòüÿíèíà. Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñèòóàöèÿ 7 ðàñêóëà÷èâàíèé â ïðèíöèïå âîçìîæíà.