4.4. Степенная производственная функция Двухфакторная

4.4. Степенная производственная функция
Двухфакторная линейная зависимость в области действительных
переменных представляет собой уравнение плоскости в трёхмерном
пространстве. Линейная модель комплексного аргумента, как было выяснено
ранее – представляет собой уравнение прямой линии.
Нелинейные двухфакторные модели действительных переменных
представляют собой уравнение нелинейных поверхностей в трёхмерном
пространстве,
а
нелинейные
модели
комплексного
аргумента,
соответственно, представляют собой уравнение некоторой кривой линии в
трёхмерном пространстве.
Зная это, рассмотрим нелинейные модели
производственной функции комплексного аргумента.
Начнём
это
рассмотрение
с
традиционной
для
теории
производственной функций формы – степенной модели. Из всего
разнообразия форм степенных комплекснозначных функций рассмотрим
вначале функцию с действительными коэффициентами. Она будет иметь вид:
Qt  a( Kt  iLt )b .
(4.4.1)
Линеаризуя её, получим:
ln Qt  ln a  b ln( Kt  iLt ) .
(4.4.2)
Выделяя действительную и мнимую части линеаризованной функции,
и используя главное значение логарифма, получим следующие равенства:
ln Q  ln a  b ln L2  K 2 ,
t
t
t


Lt
0  barctg
Kt

.
(4.4.3)
Из второго равенства имеем обязательное условие: Lt=0, что означает
невозможность
использования
этой
модели
в
моделировании
производственных процессов.
Усложним модель за счёт введения в неё комплексного коэффициента
пропорциональности:
Qt  (a0  ia1 )( Kt  iLt )b .
(4.4.4)
Логарифмируем левые и правые части модели:
ln Qt  ln a02  a12  iarctg
a1
 b ln( Kt  iLt ) .
a0
(4.4.5)
Теперь, приводя отдельно действительную и мнимую части
полученных равенств, модель может быть представима в виде системы двух
равенств:
ln Q  ln a 2  a 2  b ln L2  K 2 ,
t
0
1
t
t


Lt
a1
arctg  barctg .
a0
Kt

(4.4.6)
Из полученной системы следует вывод о том, что степенная
производственная функция комплексного аргумента (4.4.4) может
использоваться в том случае, когда между ресурсами имеется линейная
зависимость (не важно – прямая или обратная) с постоянным углом наклона
между ними.
При этом зависимость между производственными ресурсами и
производственным результатом носит сложный характер, который сложно
понять из первого равенства (4.4.6). Но её суть можно определить из
экспоненциальной формы записи модели (4.4.4):
Qt  a02  a12 ( L2t  Kt2 )b .
(4.4.7)
Для
наглядного
представления
этой
зависимости
следует
воспользоваться известным в теории производственных функций приёмом определением уравнения изокванты. Следует напомнить, что график
изокванты представляет собой совокупность точек на плоскости ресурсов,
каждой из которых соответствует одно и то же значение производственного
результата. Поэтому, полагая Q  const , можно получить уравнение изокванты
для модели (4.4.4):
L2t  Kt2  C ,
(4.4.8)
где
C (
Q
a02  a12
1
b
) .
(4.4.9)
Таким образом, изокванты модели (4.4.4) представляют собой вид
окружностей с разными диаметрами, величина которых определяется
производственным результатом и коэффициентами модели. Если
рассматривать трёхмерное пространство, то это означает что проекции на
плоскость ресурсов фигуры, описываемой моделью (4.4.9), представляют
собой окружности.
Следовательно, в трёхмерном пространстве модель (4.4.4) представляет
собой пересечение плоскости, перпендикулярной плоскости ресурсов и для
которой отношение между ресурсами есть величина постоянная, и
нелинейной поверхности, на которой всё точки с равными объемами
представляют собой окружность (4.4.9).
Если показатель степени b равен единице, то линия их пересечения,
будет являться прямой линией, во всех остальных случаях – нелинейной,
вогнутой или выгнутой к плоскости ресурсов.
Для того, чтобы оценить коэффициенты такой модели на практическом
материале, следует использовать МНК так, как это показано в разделе
комплекснозначной эконометрики предыдущей главы.
Рассмотрим теперь модель производственной функции комплексного
аргумента с комплексным коэффициентом пропорциональности и мнимым
показателем степени:
Qt  (a0  ia1 )( Lt  iKt )ib .
(4.4.19)
Логарифмируя и выделяя действительные и мнимые части, получим:
Kt

2
2
ln Qt  ln a0  a1  barctg L ,

t

arctg a1  b ln L2  K 2 .
t
t

a0
(4.4.20)
Здесь мы видим из второго равенства, что между ресурсами должна
быть зависимость такая, что она описывает окружность. В трёхмерном
пространстве это означает модель одной четверти цилиндра,
перпендикулярного к плоскости ресурсов.
Между производственными
ресурсами
и
производственным
результатом имеется сложная нелинейная зависимость такой формы:
Qt  a  a e
2
0
2
1
 barctg
Kt
Lt
.
(4.4.21)
Её вид определяется значениями коэффициентов модели.
Если предположить, что производственный результат является
величиной постоянной, то можно найти уравнение изокванты такой
производственной функции.
Из (4.4.21) при условии постоянства результата имеем очевидное
равенство:
barctg
Kt
 const .
Lt
(4.4.22)
То есть, изокванта представляет собой прямую линию на плоскости
ресурсов, выходящую из начала координат.
Легко заметить, что смена показателя степени с действительного на
мнимый симметрично поменяла свойства действительной и мнимой частей.
Следовательно, вместе с ограничением на форму изменения ресурсов
(цилиндрическую) зависимость производственного результата от ресурсов,
изображённая в пространстве, представляет собой нелинейную кривую,
располагающуюся на поверхности цилиндра.
Форма этой модели значительно сложнее, чем форма модели с
действительным показателем степени.
Степенная форма производственной функции комплексного аргумента
может иметь и более сложный вид, если использовать комплексный
показатель степени:
Qt  a( Lt  iKt )(b0 ib1 ) .
(4.4.23)
Логарифмируя левую и правую части функции, получим:
ln Qt  ln a  (b0  ib1 ) ln( Lt  iKt )  ln a  (b0  ib1 )(ln L2t  Kt2  iarctg
Kt
).
Lt
(4.4.24)
Откуда, выделяя действительную и мнимую части:
Kt

2
2
ln Qt  ln a  b0 ln Lt  Kt  b1arctg L ,

t

K
0  b arctg t  b ln L2  K 2 .
0
1
t
t

Lt
(4.4.25)
Из второго равенства этой системы уравнений следует, что модель
(4.4.23) пригодна для моделирования производственных процессов, для
которых зависимость между ресурсами носит сложный нелинейный
характер, представление которой в явном виде проблематично. Поскольку
при разных значениях коэффициентов b0 и b1 эта зависимость принимает
самый различный вид, то она имеет больше оснований для практического
применения, нежели модели степенных производственных функций
комплексного аргумента, рассмотренные ранее.
Универсальной следует признать степенную производственную
функцию комплексного аргумента с комплексными коэффициентами:
Qt  (a0  ia1 )( Lt  iKt )(b0 ib1 ) ,
(4.4.26)
поскольку, логарифмируя левую и правую части этой функции, и выделяя
действительную и мнимую части, получим:
Kt

2
2
2
2
ln Qt  ln a0  a1  b0 ln Lt  Kt  b1arctg L ,

t

0  arctg a1  b arctg Kt  b ln L2  K 2 .
0
1
t
t

a0
Lt
(4.4.27)
Разные сочетания коэффициентов этой модели позволяет моделировать
самые различные нелинейные зависимости производственного результата от
ресурсов, зависимость между которыми меняется от линейной (при b1=0) до
сложных нелинейных. Коэффициенты такой модели следует находить с
помощью МНК так, как об этом говорилось в третьей главе монографии.
Впрочем, использование комплексного показателя степени позволяет
находить промежуточные значения этого показателя. Для этого возьмём
отношения друг к другу левых и правых частей модели в рядом стоящие
моменты времени. Получим:
Qt
L  iKt b0 ib1
.
( t
)
Qt 1
Lt 1  iKt 1
(4.4.28)
Откуда легко найти комплексный показатель степени:
bt 0  ibt1  ln
Qt
L  iKt
/ ln( t
).
Qt 1
Lt 1  iKt 1
Продемонстрируем изменение показателя степени для этой модели на
примере экономики России. Для этого будем использовать более длинный
ряд данных с 1995 по 2009 год. Результаты вычисления комплексного
показателя степени приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5.
Исходные данные (в безразмерных величинах) для построения степенной ПФКА и
расчётные значения комплексного показателя степени
Год
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
ВВП, Qt
1
1,406
1,640
1,841
3,376
5,114
6,261
7,574
9,246
Основные
фонды, Kt
1
2,523
2,564
2,726
2,749
3,204
3,906
4,714
5,853
Численность
экономически
активного населения,
Lt
1
0,983
0,961
0,950
1,019
1,021
1,008
1,022
1,028
Коэффициенты
b0
b1
0,373
5,833
1,836
15,272
2,715
1,016
1,016
0,924
0,238
6,783
0,801
-19,114
0,919
0,312
0,222
0,176
2004
2005
2006
2007
2008
2009
11,919
15,127
18,843
23,274
29,001
27,371
6,280
7,404
8,457
10,469
12,457
14,371
1,029
1,042
1,046
1,059
1,071
1,056
3,609
1,450
1,653
0,990
1,266
-0,404
0,603
0,204
0,210
0,105
0,111
-0,035
На протяжении всего периода вычислений комплексный показатель
степени менял свои значения. Особенно это заметно для ситуации времени
дефолта – 1998-1999 годы. Расчётное значение коэффициента существенно
изменилось. Если же рассматривать комплексный показатель степени за
последующий период, то его действительная и мнимая части менялись не
столь значительно. Следовательно, в этот период модель (4.4.26) может
описать производство более или менее удовлетворительно.
В завершение обзора модели степенной производственной функции
комплексного аргумента необходимо отметить, что экономическая
интерпретация её коэффициентов затруднительна. Это можно рассматривать
как недостаток модели по сравнению с простой линейной производственной
функцией комплексного аргумента. В то же время сложно найти
производственные процессы, которые бы изменялись по линейному закону,
поэтому экономическая простота интерпретации, похоже, не только
очевидное, но и единственное преимущество линейной модели.
Существенным преимуществом степенной ПФКА является то, что
ареал её применения несравнимо более обширен, поскольку при b0=1 и b1=0
модель (4.4.26) превращается именно в модель линейной производственной
функции комплексного аргумента, что говорит о том, что линейная модель
ПФКА является частным случаем степенной модели. Кстати, при b0=1 и b1=0
моделируется обратно пропорциональная комплекснозначная зависимость,
которая в теории производственных функциях вряд ли применима, поскольку
увеличение производственных ресурсов этой модели приводит к
уменьшению производственного результата.