Лекция 11. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ b ∫ f (x )dx 2) из расходимости интеграла следует расходи- a b 1. Признаки сравнения несобственных интегралов. 2. Абсолютная сходимость. 3. Признаки Дирихле и Абеля. мость интеграла a 1. Признаки сравнения несобственных интегралов. Будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале [a; b ) и интегрируемых по Риману на любом отрезке [a;η ] , a ≤ η < b (несобственный интеграл 1-го или 2-го рода) Лемма 1. Если функция f (x ) неотрицательна на интервале [a; b ) , ► Для любого η ∈ [a; b ) имеем ∫ f (x )dx a ∫ f (x )dx , η ∈ [a; b ) , было ограничено сверху, т.е. чтобы сущестa вовала такая постоянная c > 0 , что для всех η ∈ [a; b ) выполнялось неравенство η ∫ Случай 1. Если интеграл ∫ a ∫ g (x )dx сходится, то согласно лем- a η ме 1 интегралы ∫ g (x )dx , η ∈ [a; b) , ограничены сверху. Значит, и a η интегралы ∫ f (x )dx также ограничены сверху. По лемме 1 инте- a b грал ∫ f (x )dx сходится. a b Случай 2. Если интеграл ∫ f (x )dx расходится, то в силу дока- a b f (x )dx ≤ c . занного 1) интеграл a ∫ g (x )dx не может сходится. Если бы он a Без доказательства. Теорема 1 (признак сравнения). Пусть на промежутке [a; b ) определены две неотрицательные функции f (x ) и g (x ) , интегрируемые на каждом конечном отрезке [a;η ] , a ≤ η < b , причем ∀x ∈ [a; b ) справедливо 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) . Тогда b 1) из сходимости интеграла ∫ g (x )dx a b интеграла b f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx . a необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов η b b b то для сходимости несобственного интеграла ∫ g (x )dx . ∫ f (x )dx , a 219 следует сходимость b сходился, то и интеграл ∫ f (x )dx также сходился бы. Значит, a b интеграл ∫ g (x )dx расходится. ◄ a Следствие 1 (предельный признак сравнения). Пусть на промежутке [a; b ) определены две неотрицательные функции f (x ) и g (x ) , интегрируемые на каждом конечном отрезке [a;η ] , a ≤ η < b , причем ∀x ∈ [a; b ) g (x ) ≠ 0 , и существует конечный предел 220 lim x →b f (x ) = A>0. g (x ) +∞ ∫ 1 b Тогда 1) если интеграл ∫ g (x )dx dx 3 x2 . Поскольку сходится и 0 ≤ A < +∞ , то 1 3 x +1 a b интеграл ∫ f (x )dx сходится, 1 < x +∞ то из сходимости интеграла a b 2) если интеграл ∫ g (x )dx ∫ f (x )dx расходится, f (x ) 3) если lim = 1 , то интегралы x →b g ( x ) b ∫ g (x )dx a и ∫ f (x )dx +∞ dx ∫ ln x , 2) ∫ 0 1 dx 3 x +1 схо- a x3 + 1 согласно признаку сравнения сходится. b О п р е д е л е н и е 1. Несобственный интеграл dx ∫ ln x с расходящимся ин- 0 dx . Поскольку ln x = ln(1 + (x − 1)) ~ x − 1 при x → 1 , тегралом ∫ x − 1 0 назы- a вается абсолютно сходящимся интегралом, если сходится инb теграл ∫ f (x ) dx . ln x ln (1 + (x − 1)) = lim =1. x − 1 x →1 x −1 грала). Несобственный интеграл ∫ f (x )dx абсолютно сходится a тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое η , что для всех η1 и η 2 , удовлетворяющих условию η < η1 < b , η < η 2 < b , выполняется неравенство dx ∫ ln x расходится. 0 2. Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом 221 η2 ∫ f (x ) dx < ε . η1 Без доказательства. 1 Значит, интеграл ∫ f (x )dx b 1 x →1 dx , ∀x ∈ [1;+∞ ) Теорема 2 (критерий Коши абсолютной сходимости инте- Р е ш е н и е . 1. Сравним интеграл lim 3 x2 3 x2 a . 1 то имеем dx 1 2. Абсолютная сходимость. b дятся или расходятся одновременно. Без доказательства. Примеры. Исследовать на сходимость интегралы 1 ∫ 1 a 1) +∞ следует, что интеграл b грал 1 расходится и 0 < A ≤ +∞ , то инте- a ∫ = 3 b Теорема 3. Если несобственный интеграл ∫ f (x )dx a но сходится, то он сходится. 222 абсолют- b ► Если несобственный интеграл ∫ f (x )dx абсолютно сходит- a ся, то по теореме 2 для любого ε > 0 существует такое η , что для всех η1 и η 2 , удовлетворяющих условию η < η1 < b , η < η 2 < b , выполняется неравенство η2 ∫ f (x ) dx < ε . +∞ ∫ 1 sin xdx сходится. x 2. Из неравенства 1 − cos 2 x 2 следует, что для любого η > 1 выполняется неравенство sin x ≥ sin 2 x = η η1 ∫ Тогда η2 +∞ Интеграл η1 Интеграл b ∫ f (x )dx сходится. ◄ ∫ Замечание. Обратное верно не всегда. +∞ Пример. Исследовать на сходимость интегралы 1) ∫ 1 2) ∫ sin x dx x 1 sin xdx , x 1 sin xdx d (cos x ) cos x ⎛1⎞ =− =− + cos xd ⎜ ⎟ = x x x 1 1 ⎝ x⎠ 1 1 ∞ ∫ ∫ 1 +∞ ∫ +∞ ∫ 1 1 +∞ грал dx ∫ x2 ∫ 1 +∞ dx ∫ x2 сходится, то инте- 1 cos x dx абсолютно сходится. Следовательно, интеграл x2 223 +∞ ∫ 1 +∞ ∫ 1 sin 2 x dx = x2 sin 2 x dx x2 сходящийся, α = 2 > 1 . Значит, интеграл cos x 1 ≤ 2 и интеграл 2 x x ∞ 1 +∞ cos x dx . x2 1 грал ∫ d (sin 2 x ) 1 sin 2 x 1 = + x 2 x 1 2 sin 2 x sin 2 x 1 dx сходится, поскольку ≤ 2 и инте2 2 x x x +∞ = cos1 − ∫ Поскольку +∞ 1 1 = − sin 2 + 2 2 и интеграл +∞ ∫ cos 2 xdx сходится, поскольку x +∞ Р е ш е н и е . 1. Имеем +∞ ∫ cos 2 xdx 1 = x 2 . η 1 dx 1 cos 2 xdx . − 2 ∫1 x 2 ∫1 x dx расходится. x 1 +∞ a η ≥ ∫ 1 +∞ В силу критерия Коши для сходимости интеграла, интеграл +∞ x 1 η2 ∫ f (x )dx < ∫ f (x ) dx < ε . η1 sin x dx sin x dx x расходится. 3. Признаки Дирихле и Абеля. Теорема 4 (признак Дирихле). Пусть на полуоси x ≥ a 1)функция f (x ) непрерывна и имеет ограниченную первообразную, 2)функция g (x ) непрерывно дифференцируема и 224 lim g (x ) = 0 . +∞ ∫ x → +∞ +∞ Тогда интеграл ∫ f (x )g (x )dx сходится. 1 sin x arctg xdx xp сходится. a +∞ Пример. Исследовать на сходимость интеграл ∫ 1 Вопросы для самоконтроля sin xdx , xp p > 1. Р е ш е н и е . Функция f (x ) = sin x имеет ограниченную пер1 вообразную F ( x ) = − cos x , а функция g (x ) = p , p > 1 , убывает x 1 при x → +∞ , т.е. lim p = 0 . Согласно признаку Дирихле интеx → +∞ x 1. Сформулируйте и докажите признак сравнения для неотрицательных функций. 2. Сформулируйте предельный признак сравнения для неотрицательных функций. 3. Какой несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся? 4. Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. +∞ sin xdx сходится. xp 1 Теорема 5 (признак Абеля). Пусть на полуоси x ≥ a грал ∫ 1)функция f (x ) непрерывна и интеграл +∞ ∫ f (x )dx сходится, a 2)функция g (x ) непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна. +∞ Тогда интеграл ∫ f (x )g (x )dx сходится. a Пример. Исследовать на сходимость интеграл +∞ sin x arctg xdx , p > 1. xp 1 ∫ +∞ Р е ш е н и е . Интеграл ∫ 1 sin xdx , p > 1 , сходится, а функция xp g (x ) = arctg x ограничена и монотонна. В силу признака Абеля интеграл 225 226