Идеальное дифференцирующее устройство

Цель работы – знакомство с методами исследования линейных частотно-избирательных
цепей на примере расчета дифференцирующего устройства с заранее заданными
свойствами.
1. Описание устройства
Блок-схема рассматриваемого устройства представлена на рис. 1.1. Здесь u1(t)-некоторый
входной сигнал (сигнал управления), ДУ- дифференцирующее устройство, формирующее
сигнал по производной
d

u2( t)  m   u1( t)  ( 1.1)
d
t


Рис.1.1 Блок-схема рассматриваемого устройства
где m=const, ∑ - сумматор,
u3(t)-выходной
составляющих u1(t) и u2(t) можно регулировать.
сигнал,
в
котором
соотношение
Входной сигнал u1(t) используется в качестве сигнала управления в некоторой системе
автоматического регулирования. С целью достижения более высокого качества
управления (например, для увеличения запаса устойчивости системы), кроме сигнала u1(t)
должен использоваться также сигнал по производной u2(t), где m - постоянный
масштабный коэффициент (как правило, т<<1). Сигнал управления и сигнал по
производной суммируется на входе соответствующего суммирующего устройства.
Входной сигнал имеет вид:
u1 (t )  U 1m sin( t   1 )  U 2 m sin( kt   2 )  U qm sin( qt   q ) (1.2)
Две первые низкочастотные составляющие (1<к<<q) являются полезным сигналом
управления, высокочастотная составляющая с частотой qω - помеха. Такие
высокочастотные составляющие характерны, например, для сигнала, полученного в
результате демодуляции после передачи его по линии связи на несущей частоте. В этом
случае полезный сигнал передается как огибающая сигнала на несущей частоте. На
рис.1.2 огибающая показана пунктиром. Она может быть выделена в результате
демодуляции, а высокочастотная составляющая подавлена, однако, как правило, не до
Рис 1.2 Входной сигнал. Пунктиром
оказана огибающая
Рис 1.3 Демодуляция с частичным подавлением
помехи.
конца (рис.1.3). При этом уровень помехи невелик и является для полезного сигнала
допустимым.
Конечной целью данной курсовой работы является формирование сигнала по
производной
 d u ( t) 
1

 dt

u2( t)  m  
( 1.3)
с помощью некоторого дифференцирующего устройства с приемлемым качеством
дифференцирования и уровнем высокочастотной помехи.
2. Техническое задание
1. Проанализировать, какими частотными характеристиками должно обладать идеальное
дифференцирующее устройство, способное дифференцировать сигнал с неограниченным
спектром частот. Установить, от чего зависит уровень выходного сигнала такого
дифференцирующего устройства.
2. Проверить возможность применения для целей дифференцирования сигнала
простейшей дифференцирующей r-с цепочки (рис.2.1)
Так как суммирование u1(t) и
происходит на высокоомных входах
сумматора, можно считать, что r-с цепочка
используется в режиме холостого хода на ее
выходе. Не задавая конкретных значений r
Рис. 2.1 Дифференцирующая r-c цепочка
и с, вывести в общем виде амплитудночастотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ)
характеристики
рассматриваемой
r-с
цепочки, сравнить их с АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего устройства и
сделать вывод о принципиальной возможности проведения с ее помощью операции
дифференцирования сигнала u1(t) в интересующем нас диапазоне частот от ω до k ω.
3. В случае положительного результата по п.2 выбрать параметры r-c-цепочки, исходя из
выбранных критериев качества работы устройства. Определить и построить АЧХ и ФЧХ
устройства. С их помощью определить выходное напряжение u2(t) дифференцирующего
устройства и построить график u2(t). Проанализировать полученный результат с точки
зрения следующих критериев:
а) достаточен ли уровень полезного сигнала для его дальнейшего использования в
системе автоматического регулирования?
б) достаточна ли точность дифференцирования?
в) достаточно ли низок уровень высокочастотной помехи по сравнению с уровнем
полезного выходного сигнала?
Если хотя бы с точки зрения одного из этих критериев работу дифференцирую-щего звена
нельзя признать удовлетворительной, наметить меры по устранению обнаруженного
недостатка. Выяснить при этом, не приведут ли намеченные меры к ухудшению качества
по другим критериям. Оформить результаты анализа в виде предварительных выводов.
Если достижение нужного качества при использовании заданной простейшей схемы
дифференцирующего устройства затруднительно или невозможно, продумать и
предложить улучшенный вариант (варианты) схемы, которая должна при этом оставаться
пассивной. Улучшение должно состоять в том, что отмеченный недостаток в работе
простейшей схемы должен устраняться, но не за счет ухудшения других необходимых
качеств.
4. Вывести (в общем виде) выражения для АЧХ и ФЧХ новой, скорректированной схемы
устройства. Произвести выбор тех параметров схемы, которые в данном случае могут
быть признаны неизменяемыми. Если в схеме используется индуктивность, которая не
может быть реализована в виде стандартного элемента, выпускаемого промышленностью,
определить конструктивные параметры катушки (число витков, сечение провода),
обладающей приемлемым значением индуктивности, используя для этой цели кольцевой
магнитопровод, выполненный из феррита с относительной магнитной проницаемостью μr
, с размерами, указанными на рис.2.2. Активное сопротивление обмотки должно быть
рассчитано и включено в схему замещения дифференцирующего устройства.
Определить алгоритм выбора изменяемого параметра (параметров) устройства,
удовлетворяющего выбранным критериям
качества (приемлемый уровень выходного
сигнала при достаточной точности
дифференцирования и низком уровне помех).
Определить величину изменяемого параметра
(параметров) схемы.
Рис. 2.2 Схема кольцевого магнитопровода
дифференцирования,
построив
и
5. Построить графики АЧХ и ФЧХ
дифференцирующего устройства с учетом
выбранных величин ее параметров, определить
с их помощью выходное напряжение
сравнив
графики
. Проанализировать качество
идеальной производной
(где u1(t)) -полезный входной сигнал без учета помехи) и выходного
сигнала u2(t), оценив степень их совпадения. Коэффициент т следует выбрать так, чтобы
оба напряжения были соизмеримы по уровню.
Оформить этот анализ в виде окончательных выводов.
Исходные данные
u1(t)=sin500t + sin(1000t+π/2) + 0,01∙sin100000t.
Таблица 1
Исходные данные
Вар.
d1,
мм
d2,
мм
h,
мм
μr
dпр, мм
𝐾(𝑘)
⁄𝐾 ≤
(1)
3
12
20
5
2200
0.16
2.15
Размеры d1,d2 и h даны для ферромагнитного сердечника(рис.5).
μr – относительная магнитная проницаемость сердечника
dпр – диаметр провода обмотки
𝛥=
𝜋
− 𝛼(𝑘) ≤
2
0.052
3. Расчетная часть
Идеальное дифференцирующее устройство
Проанализируем характеристики, которыми должно обладать идеальное
дифференцирующее устройство.
Уравнение идеального дифференцирующего устройства:
𝑢2 = 𝑚 ∗
𝑑𝑢1 (𝑡)
𝑑𝑡
(3.1)
Амплитудо-частотная и фазо-частотная характеристики идеального дифференцирующего
устройства:
𝐾 = 𝑚 ∗ 𝜔 (3.2)
𝜋
𝜑=
(3.3)
2
3.1 АЧХ идеального дифференцирующего устройства
3.3 ФЧХ идеального дифференцирующего
устройства
В реальных системах такой вид характеристики устройства возможен лишь в
ограниченной полосе частот, так как неограниченное увеличение амплитуды с ростом
частоты требует бесконечной энергии.
Исследование r-c цепочки как дифференцирующего устройства
Найдем 𝐾(𝜔) и 𝛼(𝜔) для r-C цепочки(рис.3.4):
Рис. 3.4 Дифференцирующая r-c цепочка
𝑈̇2 = 𝐼 𝑟̇
1
{ ̇
𝑈1 = 𝐼 (̇
+ 𝑟)
𝑗𝜔𝐶
𝑈̇2
𝐾(𝑗𝜔) =
=
𝑈̇1
(3.2)
𝑗𝜔𝑟𝐶(1 − 𝑗𝜔𝑟𝐶)
(𝜔𝑟𝐶)2
𝜔𝑟𝐶
=
=
+
𝑗
1
(1 + 𝑗𝜔𝑟𝐶)(1 − 𝑗𝜔𝑟𝐶) 1 + (𝜔𝑟𝐶)2
1 + (𝜔𝑟𝐶)2
(𝑗𝜔𝐶 + 𝑟)
(3.3)
(𝜔𝑟𝐶)4
(𝜔𝑟𝐶)2
𝜔𝑟𝐶
+
=
2
2
2
2
(1 + (𝜔𝑟𝐶) )
(1 + (𝜔𝑟𝐶) )
√1 + (𝜔𝑟𝐶)2
(3.4)
𝑟
𝐾(𝜔) = √𝐾1 2 (𝜔) + 𝐾2 2 (𝜔) = √
𝛼(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
(𝜔𝑟𝐶)(1 + (𝜔𝑟𝐶)2)
𝐾2 (𝜔)
1
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
2
(1 + (𝜔𝑟𝐶) )(𝜔𝑟𝐶)
𝐾1 (𝜔)
𝜔𝑟𝐶
(3.5)
После нахождения формул для АЧХ и ФЧХ зададимся некоторыми параметрами цепочки
(r и c) и построим эти характеристики, для сравнения с характеристиками идеального
дифференцирующего устройства.
Параметры выберем из условия:
𝑟 ∗ 𝑐 = 𝜏 (3.6)
где 𝜏 =
𝑇2
100
(3.7)
C выберем равной 0.5 мкФ, тогда из (3.6) с учетом (3.7) получим r=10 Ом.
Построим АЧХ и ФЧХ
Рис. 3.5 Графики АЧХ ИДУ и r-c цепочки
Рис. 3.6 Графики ФЧК ИДУ и r-c цепочки
Анализируя графики видим, что в области низких частот график АЧХ имеет линейный
характер, что похоже на идеальное дифференцирующее устройство. ФЧХ в области
низких частот также схожа по характеру с ФЧХ ИДУ.
Теперь проверим, соответствуют ли найденные значения r и C условиям, заданным в
техническом задании.
Для АЧХ. Поскольку АЧХ ИДУ линейна, т.е.
𝐾𝑘
𝐾1
𝜔
= 𝜔𝑘 =
1
1000
500
= 2, то это отношение
для r-C цепочки также должно незначительно отличаться от 2. Согласно ТЗ
𝐾𝑘
Для полученных r и C имеем:
𝐾1
≤ 2.15
(3.8)
𝜔2 𝑟𝐶
𝐾(𝜔2 )
√1 + (𝜔2 𝑟𝐶)2
=
= 2 < 2.15
𝜔1 𝑟𝐶
𝐾(𝜔1 )
√1 + (𝜔1 𝑟𝐶)2
(3.9)
По параметру АЧХ – r-C цепочка соответствует ТЗ.
Для ФЧХ. Оценим различия ФЧХ ИДУ и r-C цепочки с найденными параметрами.
Δ=
Согласно ТЗ
𝜋
− 𝛼𝑘 (3.10)
2
Δ ≤ 0.052 радиан
Для полученных r и C имеем:
∆=
𝜋
1
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 0.005 < 0.052
2
𝜔2 𝑟𝐶
(3.11)
По параметру ФЧХ – r-C цепочка соответствует ТЗ.
Сопоставим кривые U2(t) с кривой идеальной математической производной входного
сигнала dU1(t)/dt и кривой U1(t). Так как кривые не сопоставимы по уровню сигнала, то
𝑑𝑈1 (𝑡)
строим кривые 𝑚1 𝑑𝑡
и 𝑚2 𝑈1 (𝑡). При этом пренебрегаем помехой – так как операция
дифференцирования помехи не предусматривается.
m1=0.000005; m2=0.005
510
3
U2( t )
d

U1( t ) 
 dt

0.000005
0
3
510
0.01
0.015
0.02
0.005 U1( t )
 510
3
 0.01
t
Рис. 3.7 Графики 1) U2(t) сигнал на выходе r-C цепочки; 2) dU1(t)/dt график идеальной
математической производной; U1(t) входной сигнал.
Теперь оценим уровень выходного сигнала 𝑢2 (𝑡). Для приемлемой точности
дифференцирования сигнала при помощи r-C цепочки мы взяли величину ее постоянной
времени 𝜏 достаточно маленькой(𝜏 = 2.5 ∗ 10−5 ). Но уменьшение 𝜏 ведет к уменьшению
уровня выходного сигнала. Слишком слабый сигнал, по видимому, будет нуждаться в
дальнейшем усилении, а его сложно осуществить без значительных нелинейных
искажений, т.е. по существу, без потери точности дифференцирования в процессе самого
усиления. В качестве минимально-необходимого можно принять, например, сигнал 𝑢2 (𝑡),
у которого амплитуда первой гармоники не меньше 1мВ. Наше устройство этому
критерию удовлетворяет(20).
К(𝜔1 ) = 2.5 мВ
(3.12)
Определим допустимый уровень помехи в составе выходного сигнала 𝑢2 (𝑡). Его можно
установить, определив уровень помехи в составе входного сигнала 𝑢1 (𝑡), который
очевидно, считается приемлемым. Можно подсчитать, например, отношение амплитуды
помехи к амплитуде первой гармоники полезного сигнала в составе 𝑢1 (𝑡).
Приблизительно таким же можно принять соотношение помехи и полезного сигнала для
𝑢2 (𝑡). Действительно, в процессе дифференцирования происходит очень существенное
ослабление уровня выходного сигнала 𝑢2 (𝑡) по сравнению с 𝑢1 (𝑡), поэтому требуется
примерно такое же ослабление сигнала помехи. В дальнейшем, при суммировании
сигналов 𝑢1 (𝑡) и 𝑢2 (𝑡), (стр.1 рис.1.3) их уровни должны стать соизмеримы, т.е. требуется
существенной усиление сигнала 𝑢2 (𝑡), которое будет осуществляться, разумеется, вместе
с помехой. Таким образом, в результате абсолютные уровни помех во входном сигнале и в
сигнале по его производной также окажутся соизмеримы между собой, что, очевидно,
вполне приемлемо.
Проведем оценку величинаы помехи.
Отношение амплитуды помехи к амплитуде первой гармоники, для входного сигнала:
0.01
= 0.01
1
Отношение амплитуды помехи к амплитуде первой гармоники, дитля выходного сигнала:
0.01 ∗
𝜔𝑞 𝑟𝐶
√1 + (𝜔𝑞 𝑟𝐶)
2
= 1.78
(3.13)
𝜔1 𝑟𝐶
√1 + (𝜔1 𝑟𝐶)2
Из вычислений видно, что уровень помехи выходного сиглана значительно больше, чем
уровень помехи входного. Очевидно, что для проведения дифференцирования простая r-C
не подходит, ввиду того что происходит усиление помехи. Разумеется, помеху можно
было бы без особого труда подавить на выходе с помощью частотного фильтра. Но в этом
случае необходимо учесть влияние (вполне возможно, неблагоприятное) фильтра на
качество дифференцирования полезного сигнала, так как АЧХ и ФЧХ совместно
работающих дифференцирующего устройства и фильтра, скорее всего, окажутся
существенно хуже АЧХ и ФЧХ отдельно рассчитанной r-C цепочки.
Исследование r-L-C цепочки как дифференцирующего устройства
Гораздо более удачным был бы вариант электрической цепи, которая обладала бы
дифференцирующими свойствами в области частот полезных составляющих входного
сигнала и одновременно свойством подавления высокочастотной помехи. Таким
дополнительным свойством обладала бы цепь, в которую включена катушка
индуктивности, т.е. выполненная по схеме(рис.11).
Рис. 3.8
Здесь -индуктивность катушки, 𝑟𝑘 - ее активное сопротивление, 𝑟 и 𝐶 - активное
сопротивление и емкость, величины которых могут остаться такими же, как и в r-C
цепочке, рассмотренной ранее. Индуктивное сопротивление 𝑥𝐿 = 𝜔𝐿 особенно велико на
частоте помехи и способно существенно ограничить составляющую тока этой частоты, а
следовательно, и выходное напряжение сигнала помехи, что и является ожидаемым
полезным эффектом. Однако наличие дополнительных параметров 𝐿, 𝑟𝑘 изменяет вид
АЧХ и ФЧХ и в области частот полезного сигнала, причем пока не ясно, в сторону их
улучшения или ухудшения. Поэтому необходимо исследовать(аналитически, в общем
виде) АЧХ и ФЧХ предложенной 𝑟-𝐿-𝐶 цепи.
𝑈̇2 = 𝐼 𝑟̇
1
{ ̇
𝑈1 = 𝐼 (̇ 𝑗𝜔𝐿 +
+ 𝑟 + 𝑟𝑘 )
𝑗𝜔𝐶
𝐾(𝑗𝜔) =
𝑈̇2
=
𝑈̇1
(3.14)
𝑟
𝑟𝜔𝐶((𝑟 + 𝑟𝑘 )𝜔𝐶 + 𝑗(1 − 𝜔2 𝐿𝐶))
=−
2
1
((𝑟 + 𝑟𝑘 )𝜔𝐶) + (1 − 𝜔 2 𝐿𝐶)2
𝑗𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑟 + 𝑟𝑘
𝜔𝑟𝐶
𝐾(𝜔) = √𝐾1 2 (𝜔) + 𝐾2 2 (𝜔) =
(3.15)
(3.16)
2
√((𝑟 + 𝑟𝑘 )𝜔𝐶) + (1 − 𝜔 2 𝐿𝐶)2
𝛼(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐾2 (𝜔)
1 − 𝜔2 𝐿𝐶
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐾1 (𝜔)
𝜔𝑟𝐶
(3.17)
Поскольку 𝑟𝑘 ≪ 𝑟, то для предварительных расчетов будем использовать упрощенную
формулу для 𝐾(𝜔) (26).
𝐾(𝜔) =
𝜔𝑟𝐶
√(𝑟𝜔𝐶)2 + (1 − 𝜔 2 𝐿𝐶)2
(3.18)
1.5
1
K(  )
0.5
110
0
5
5
210
310
5

Рис. 3.9 АЧХ r-L-C цепочки
2
1
(  )
0
510
4
110
5
1.510
5
5
210
1
2

Рис. 3.10 ФЧХ r-L-C цепочки
Из графиков АЧХ и ФЧХ видно, что на низких частотах (в которые попадают частоты
полезного сигнала) характер АЧХ и ФЧХ соответствует ИДУ, а на высоких частотах (на
частоте помехи) АЧХ стремится к нулю, следовательно будет происходить гашение
помехи. Значит дальнейшие операции имеют смысл.
Сама по себе цепь с последовательным соединением 𝑟, 𝐿, 𝐶 является резонансной и
обладает известными из курса электроники частотными свойствами. Поскольку результат
предварительного исследования АЧХ и ФЧХ положительный, необходимо, решить задачу
правильного выбора величины индуктивности 𝐿. Разумеется, значение резонансной
частоты 𝜔0 не может находиться внутри или на границе диапазона частот составляющих
полезного сигнала(хотя бы потому, что значение ФЧХ при 𝜔 = 𝜔0 равно нулю, а должно
𝜋
быть, в идеале, равным 2 ). С другой стороны, резонансная частота не должна совпадать
или быть близкой к частоте помехи (хотя бы потому, что условие 𝜔 = 𝜔0 соответствует
максимуму тока в цепи и, следовательно, максимуму напряжения на выходе, а задача
состоит как раз в обратном – в необходимости максимально уменьшить это напряжение).
Следовательно, положение резонансной частоты на оси частот определяется неравенством
𝜔𝑘 < 𝜔0 < 𝜔𝑞 , где 𝜔𝑘 - частоты второй гармоники полезного входного сигнала, 𝜔𝑞 –
частота помехи. Поскольку 𝜔𝑞 приблизительно на два порядка больше 𝜔𝑘 , диапазон
возможного положения 𝜔0 на оси частот достаточно широк, и это позволяет надеяться,
что при каком-то значении индуктивности 𝐿 цепь сможет соответствовать всем указанным
выше критериям качества, хотя это и не гарантировано. Поскольку все три критерия
взаимно противоречат друг другу, следует рассчитать значение частоты
𝜔0
(индуктивности 𝐿), исходя последовательно из требований каждого критерия в
отдельности, а затем найти компромисс, если он возможен.
Примем следующие обозначения:
𝜔01 - минимально необходимое значение резонансной частоты 𝜔0 , обеспечивающее
соответствие первому критерию качества,
𝜔02 - максимально возможное значение 𝜔0 , обеспечивающее выполнение требований
второго критерия,
𝜔03 - максимально возможное значение 𝜔0 , обеспечивающее выполнение требований
третьего критерия.
1. Построим функцию
( r w2  C)




2

2


 ( r w2 C) 2   1  w2  
 w02  



  (3.19)
D( w0 ) 
( r w1  C)


2

 w12  
2
 
 ( r w1 C)   1 

2  


 w0  
которая отвечает за выполнения пункта ТЗ: K2/K1<=2.15. Здесь учитывается то, что
1
𝜔0 =
. Находим пересечение этой функции в прямой 2.15. Частота на которой
√𝐿𝐶
происходит пересение и будет граничной частотой по 1-му критерию.
2.4
2.3
D( w0)
2.2
2.15
2.1
2
4
210
4
410
610
4
4
810
110
5
w0
Рис. 3.12
𝜔0 ≥ 3.316 ∗ 103 на частотах больше этой выполняется заданное условие.
2. Построим функцию
2 

  1  w2  
2
 

w0   (3.20)
Delta( w0 ) 
 atan 

2
 r w2  C 
𝜋
которая отвечает за выполнения пункта ТЗ: ∆= 2 − 𝛼к <=0.052.
0.1
0.08
0.06
0.052
Delta( w0)
0.04
0.02
0
210
3
3
410
610
3
w0
Рис. 3.13
810
3
110
4
𝜔0 ≥ 1.052 ∗ 103 на частотах больше этой выполняется заданное условие.
3. Построим функцию
( r w1  C)
A1g ( w0 ) 
( r w1  C) 
(3.21)
2

 1  w1 

2
w0 

2
которая показывает изменение амплитуды первой гармоники при изменении
резонансной частоты. По ТЗ амплитуда первой гармоники должны быть не меньше
1мВ. Постоим график этой функции.
510
3
410
3
310
3
210
3
110
3
A1g( w0)
1 10
3
0
210
4
410
4
610
4
4
810
5
110
w0
Рис. 3.14
По графику видно, что при любой резонансной частоте уровень сигнала будет
больше 1мВ.
4. Построим функцию
0.01 
Aq ( w0 ) 
( r wq  C)

 ( r wq  C) 2 




2
2

 1  wq  

2 
w0  

( r w1  C)



 ( r w1  C) 2 


(3.22)
2
2  

 1  w1  

2  
w0  

которая является отношением амплитуды помехи в амплитуде первой для
выходного сигнала в зависимости от резонансной частоты, пересекая эту функцию
в допустимым уровнем помехи 0.01 – отношение амплитуды помехи к амплитуде
первой гармоники для входного сигнала.
0.1
0.08
0.06
Aq( w0)
0.04
0.02
0.01
210
4
410
4
610
4
810
4
110
5
w0
Рис. 3.15
𝜔0 ≤ 7.071 ∗ 103 на частотах меньше этой выполняется заданное условие.
Как мы видим, существует приемлемый диапазон частот Δ𝜔 (𝜔 ∈ (𝜔01 , 𝜔03 )) в котором
выполняются все критерии, резонансную частоту 𝜔0 можно совместить с любой точкой
этого диапазона. При этом следует иметь ввиду, что при выборе наименьшего из
возможных 𝜔0 заведомо уменьшается уровень помехи и уменьшается точность
воспроизведения производной входного сигнала, а при выборе наибольшего из
возможных значений 𝜔0 - наоборот.
Поскольку в ТЗ не указано, что является для нас более приоритетной задачей,
подавление помехи или точность дифференцирования, выберем среднее значение для 𝜔0 .
Пусть 𝜔0 = 5000, тогда 𝐿0 = 𝜔
1
0
2𝐶
= 0.08.
Для расчета индуктивности используем формулу
𝐿 = 𝑛2 ℎ
𝜇𝑟 𝜇0
𝑑2
ln ( )
2𝜋
𝑑1
(3.23)
Из нее выражаем формулу для расчета количества витков
𝑛=√
2𝜋𝐿
(3.24)
𝑑
ℎ𝜇𝑟 𝜇0 𝑙𝑛 ( 2 )
𝑑1
𝑛 = 267
(3.25)
При этом длина проводника будет равна 𝑙 = 𝑛(2ℎ + 2(𝑑2 − 𝑑1 )) = 6.942м, площадь
поперечного
сечения
𝑙
проводника
𝑆=
𝜋𝑑2 пр
4
= 2.011 ∗ 10−8 м2,
сопротивление 𝑟𝑘 = 𝜌м 𝑆 = 5.939 Ом.
Построим АЧХ и ФЧХ для с найденными параметрами.
следовательно
0.8
0.6
K1(  )0.4
0.2
0
0
210
4
410
4
610
4
4
810
110
5

Рис. 3.16 АЧХ r-L-C цепочки с конечными значениями r, C, L, rk
1
(  )
0
210
4
410
4
610
4
810
4
110
5
1

Рис. 3.17 ФЧХ r-L-C цепочки с конечными значениями r, C, L, rk
Сопоставим кривые U2(t) с кривой идеальной математической производной
входного сигнала dU1(t)/dt и кривой U1(t). Так как кривые не сопоставимы по
𝑑𝑈1 (𝑡)
уровню сигнала, то строим кривые 𝑚1 𝑑𝑡
и 𝑚2 𝑈1 (𝑡). По графику видим, что
𝑑𝑢 (𝑡)
1
кривые 𝑢2 (𝑡) и 𝑑𝑡
почти совпадают. Значит, устройство дифференцирует
достаточно точно, при этом происходит подавление помехи.
0.01
510
3
U( t )
d
U1( t )  0.000005
dt
0
3
210
3
3
410
610
0.005 U1( t )
 510
3
 0.01
t
810
3
0.01
Выводы
1. Выполняя курсовую работу я познакомилась с методами расчета частотноизбирательных цепей на примере расчёта дифференцирующего устройства с
заранее заданными свойствами.
2. Целью курсовой работы было спроектировать дифференцирующее устройство,
которое давало бы сигнал близкий к идеальной математической производной и
при этом подавляло бы помеху входного сигнала или хотя бы оставляло бы ее
на прежнем уровне. В ходе выполнения курсовой работы такое устройство
было найдено – это r-L-C цепочка.
3. Изначально в качестве дифференцирующего устройства была взять простейшая
r-C цепочка. Она давала неплохое качество дифференцирования и хороший
уровень сигнала, но уровень сигнала помехи при этом увеличивался по
сравнению с входным сигналом. Из этого можно сделать вывод, что это
устройство необходимо усовершенствовать.
4. В качестве усовершенствования была добавлена индуктивность, то есть была
получена r-L-C цепочка. Это устройство обладало хорошим качеством
дифференцирования, уровень сигнала был высоким, кроме того устройство
обладает свойством подавлять сигнал на частоте помехи. Уровень помехи
выходного сигнала находится в допустимых пределах. Все эти критерии
показывают, что r-L-C может быть использована в качестве
дифференцирующего устройства.
5. В результате выполнения курсовой работы произошло знакомство с
применением теоретических расчетов электрических цепей для решения
реальных задач.