Д9. Теорема об изменении кинетической энергии

328
Динамика системы
Глава 12
Имеем следующие выражения для скоростей точек стержня AB, имеющего МЦС в точке P :
vA = ω4 AP,
vC = ω4 CP,
vB = ω4 BP.
Из первого равенства находим угловую скорость стержня 4
ω4 = vA /AP = 4v1 r2 /(3l4 R2 ),
а из двух других — скорости
√
vC = ω4 CP = 13 v1 r2 /(3R2 ), vB = ω4 BP = 5v1 r2 /(3R2 ).
(12.15)
(12.16)
Остается найти угловые скорости стержней 3 и 5. Поделив скорости
точек A и B на длины стержней, получим
ω3 = vA /l3 = v1 r2 /(l3 R2 ), ω5 = vB /l5 = 5v1 r2 /(3l5 R2 ).
(12.17)
Подставим скорости и угловые скорости (12.15) – (12.17) в выражения
для кинетических энергий (12.14). Получим
m1 v12
v2
ρ2 m2 v12
= 1 , T2 =
= 8 v12 ,
2
2
2 R22
r 2 m3 v 2
3 v12
T3 = 2 2 1 =
,
6 R2
2
T1 =
T4 =
43 v12
43 r22 m4 v12
=
,
2
54 R2
2
T5 =
25 r22 m5 v12
v12
=
.
54 R22
2
Следовательно, приведенные массы тел системы (коэффициенты при
v12 /2) равны µ1 = 1 кг, µ2 = 16 кг, µ3 = 3 кг, µ4 = 43 кг, µ5 = 1 кг.
Суммарная приведенная масса
µ = 1 + 16 + 3 + 43 + 1 = 64 кг.
Д9. Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема. Изменение кинетической энергии системы при некотором ее
перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к ней [36].
В отличие от теоремы об изменении количества движения и момента
количества движения в теореме присутствуют как внешние (Fke ), так и
Д9.
Теорема об изменении кинетической энергии
329
внутренние (Fki ) силы. Кроме того, она имеет скалярный вид
X
T1 − T0 =
A(Fke ) + A(Fki ).
k
Здесь T0 и T1 — кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии соответственно. Для неизменяемых систем 1 работа
внутренних сил A(Fki ) равна нулю. В настоящем параграфе все системы
неизменяемые — нити нерастяжимые, связи идеальные.
Условия задач
Механическая система движется под действием внешних сил. Заданы
радиусы цилиндров, блоков, длины стержней и расстояние S (в сантиметрах). Радиусы инерции даны для блоков, цилиндры и стержни считать однородными. Для вариантов 1, 4, 10, 14, 20, 24, 28–30 считать,
что механизм расположен в вертикальной плоскости, в остальных — в
горизонтальной. Пронумерованные тела имеют массу (в килограммах),
другие — принять невесомыми. Силы даны в ньютонах, моменты — в Нм.
Какую скорость (см/c) приобретет брусок (клин, шток), переместившись
из состояния покоя на расстояние S?
F
P
Д9. 2.
Д9. 1.
S-
3
-
M
?
?M
S-
P
2
α
2
F-
1
α
1
m1 = 64, m2 = 4, m3 = 6, r1 = 3,
R1 = R2 = 4, ρ1 = 2, r2 = 2, ρ2 = 3,
F = 8, P = 451,5, M = 8, S = 1.
m1 = 0,2, m2 = 0,49, F = 2, P = 21,
M = 28, R = 0,2 м, S = 25,25,
cos α = 0,8.
Д9. 3.
Д9. 4.
P
S
-
F-
1
2
?
α
P
S
2
1
M
M
-F
m1 = 0,2, m2 = 6,4, F = 43, M = 0,8,
P = 8, cos α = 0,8, R = 20, S = 20,4.
1
Например, твердое тело.
m1 = 100, m2 = 8, F = 30, P = 245,
M = 20, r = 4, R = 5, ρ = 3, S = 200.
Д9.
Теорема об изменении кинетической энергии
Д9. 29.
333
Д9. 30.
2
3
F
-
3
1
2
S
6
1
sS
α
F
α
m1 = 2, m2 = 6, m3 = 3, R = 3r, ρ =
= 2r, F = 1,5, S = 36.
/
4
α
m1 = 10, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 4,
F = 41, S = 1, sin α = 0,8.
Пример решения
Задача. Между цилиндром массой m1 = 3 кг, радиусом R = 1 м и
скошенным прессом (призмой, cos α = 3/5) массой m2 = 10 кг зажата
пластина 3, скользящая по гладкой поверхности пресса (рис. 186). Масса
пластины m3 = 5 кг. К цилиндру приложен момент M = 9 Нм, к пластине
— сила F = 10 Н, а к прессу — сила P = 13 Н. Проскальзывание в точках
контакта цилиндра отсутствует. Механизм расположен в горизонтальной
плоскости. Найти скорость, которую разовьет пресс из состояния покоя,
переместившись на расстояние S = 4 см.
y
6
P
2
?
F
-
α
S
?
1
M
3
~
v
α
?
K
α
: ~vот
O
P
Рис. 186
-x
Рис. 187
Решение
При движении пресса вниз пластина, скользя по его поверхности,
будет выдавливаться направо и катить в этом же направлении цилиндр,
с которым она находится в зацеплении.
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии
плоского движения цилиндра, поступательного движения пресса и пластины:
2
2
3m1 vO
m2 v 2
m3 vK
+
+
,
T =
4
2
2
где vO — скорость оси (центра масс) цилиндра, v — искомая скорость пресса, vK — скорость пластины. Точка K является точкой контакта цилиндра
334
Динамика системы
Глава 12
и пластины (рис. 187). Выразим скорости vK и vO через искомую скорость
v. Введем систему координат xy и составим кинематический граф
1
1
π/2
π−α
P −→ O −→ K .
(12.18)
Ему соответствуют два уравнения:
vKx = vP x − ωz R sin(π/2) − ωz R sin(π − α),
vKy = vP y + ωz R cos(π/2) + ωz R cos(π − α),
где ωz — угловая скорость цилиндра. С учетом vP x = 0, vP y = 0, получаем
отсюда следующую линейную систему:
vKx = −Rωz (1 + sin α),
vKy = −Rωz cos α.
(12.19)
Пластина совершает сложное движение. Относительное движение пластины — скольжение по прессу, переносное движение — движение пресса.
По теореме о сложении скоростей
~vK = ~vот + ~vп ,
где ~vK — абсолютная скорость точки K, определяемая графом (12.18),
~vп — переносная скорость пресса (направлена вниз). В проекциях на оси
координат имеем
vKx = vот sin α,
(12.20)
vKy = −v + vот cos α.
Из (12.19) и (12.20) следует система уравнений для vот и ωz
−Rωz (1 + sin α) = vот sin α,
−Rωz cos α = −v + vот cos α.
(12.21)
Решаем эту систему и находим
ωz = −(v/R) tg α,
v (1 + sin α)
.
cos α
При этом из (12.19) или из (12.20) получаем
(12.22)
vот =
vKx = v (1 + sin α) tg α, vKy = v sin α.
Квадрат скорости пластины
2
2
2
vK
= vKx
+ vKy
=
2v 2 sin2 α
.
1 − sin α
(12.23)
Д9.
Теорема об изменении кинетической энергии
335
Осталось найти скорость центра цилиндра vO . Так как угловая скорость цилиндра уже выражена через v, то эта задача простая. Составим
граф
1
P −→ O ,
(12.24)
vOx = vP x − ωz R sin(π/2) = v tg α.
(12.25)
π/2
откуда с учетом (12.22) получим
В результате кинетическая энергия системы примет вид
4 m3 sin2 α
v 2 3 m1 2
tg α + m2 +
.
T =
2
2
1 − sin α
Подставляя в это выражение числовые данные, получаем
v2
v2
((3/2) · 3 · 16/9 + 10 + (32/5) · 5) = (8 + 10 + 32) = 25 v 2 .
2
2
Найдем работу внешних сил, приложенных к системе на указанном
перемещении. Так как система расположена в горизонтальной плоскости,
то силы тяжести работу не совершают. Работа силы P , приложенной
к прессу на перемещении S равна AP = P S. Работа силы F равна
AF = Fx ∆Kx , где ∆Kx — смещение пластины вдоль оси x. Учитывая
соотношение скоростей (12.23), получим, что перемещение ∆Kx связано
со смещением пресса по формуле
T =
∆Kx = S (1 + sin α) tg α.
Отсюда,
AF = F S (1 + sin α) tg α.
И, наконец, работа момента на угле поворота цилиндра равна M ϕ. Интегрируя по времени (12.22), получим ϕ = −(S/R) tg α. Следовательно,
работа момента имеет вид AM = −M (S/R) tg α. Суммарная работа
A = AP + AF + AM = S (P + F (1 + sin α) tg α − (M/R) tg α),
или, с учетом данных задачи,
A = 0,04 (13 + 10 · (9/5) · (4/3) − (9/1) · (4/3)) = 1 Нм.
По теореме об изменении кинетической энергии
T − T0 = A.
Но так как в начальном состоянии система находилась в покое, и T0 =
= 0, то отсюда получаем уравнение для определения скорости 25v 2 = 1.
Находим скорость пресса
p
v = 1/25 = 0,2 м/с = 20 см/с.