Электродинамика и распространение радиоволн. Методические

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Методические указания к решению задач
для студентов всех форм обучения
радиотехнических специальностей
Екатеринбург
2004
УДК 621.396
Составители: И.П. Соловьянова, С.Н. Шабунин
Научный редактор доц., канд.техн.наук. М.П. Наймушин
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН: Методические указания к решению задач/ И.П. Соловьянова, С.Н. Шабунин, Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004.
Излагаются краткие теоретические сведения, необходимые при решении
задач. Даны задачи для самостоятельного решения по следующим разделам:
элементы векторного анализа, уравнения электродинамики, плоские волны, отражение и преломление плоских электромагнитных волн. Предложены задачи
повышенной сложности, отмеченные звездочкой.
Библиогр. 4 назв. Прил. 1
Подготовлено кафедрой «Высокочастотные средства радиосвязи и телевидения»
@
ГОУ
ВПО
«УРАЛЬСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ – УПИ»
2
I. Элементы векторного анализа
I.I. Краткие теоретические сведения.
Представление
вектора в ортогональной системе координат
r
r
r
r
А = q01 A1 + q02 A2 + q03 A 3
v
Ai - проекции вектора A
где
q0 i - орты
на координатные оси ei ;
вдоль координатных осей ei .
r
r
Скалярное произведение векторов A и B .
r
r
где α - угол между векторами A и B
В декартовой системе координат
r
r
где Ax , Bx , Ay … проекции векторов A и B на оси х , у , z .
r
r
Векторное произведение векторов A и B
r
r
где α - угол между векторами A и B
r
r r
r
r
n - единичный вектор нормали к плоскости векторов A и B , причем A , B
r
и n образуют правую тройку векторов.
В декартовой системе координат
r
r
где x0 , и z0 - орты декартовой системы координат
Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов А, В и С
r
r
r
Двойное векторное произведение векторов A , B и C
Векторное поле – область пространства, в каждой точке которой определен
вектор, непрерывно зависящий от точки. Силовые линии векторного поля –
пространственные кривые, в каждой точке которых вектор поля направлен
вдоль касательной. Там, где интенсивность поля больше, силовые линии проводят чаще и наоборот. Уравнение силовых линий
где
hi - коэффициенты Лямэ. Коэффициенты Лямэ для трех коордиr
r
натных систем: декартова система координат ( q1 = x, q2 = y, q3 = z, q10 = x0 ,
r
r r
r
q20 = y0 , q30 = z0 )
3
h x = h y = hz = 1
r
r
r
r
r
r
цилиндрическая система координат ( q1 = r, q2 = φ, q3 =z, q10 = r0 , q20 = ϕ 0 q30 = z0 )
hr = 1, hϕ = r, hz = 1;
r
r
r
r
r
r
Сферическая система координат ( q1 = r, q2 = θ, q3 = φ, q10 = r0 , q20 = θ 0 , q30 = ϕ 0 )
hr = 1, hθ
= r, hϕ = r Sinθ.
r
Поток векторного поля A через поверхность S
r r
∫ A d S = ∫ An dS,
S
S
r r
r
где d S = n dS и n - единичный
вектор внешней нормали к площадке dS
r
r
An - проекция вектора A на нормаль n
r
Дивергенция (или расхождение ) векторного поля A
r
r
div A = ∇ A =
∂( A1 h2h3 )
∂( A2 h1h3 )
∂( A3 h1h2 )
1
[
+
+
]
∂q1
h1h2h3
∂q2
∂q3
Теорема Гаусса-Остроградского
r r
r
A
d
S
div
A
=
dV.
∫
∫
S
V
r
Циркуляция вектора A вдоль замкнутого контура
r r
A
∫ dl = Aτ dl,
l
r
r
r
r
q10
h2h3
r
∂
rot A =
∂q1
h1 A1
r
q20
h1h3
∂
∂q2
h2 A2
где d l = τ dl и τ - единичный вектор, касательный к контуру (направление обхода правовинтовое).
r
Ротор (или вихрь) векторного поля A
r
q30
h1h2
∂
∂q3
h3 A3
Теорема Стокса
r r
r r
A
d
l
rot
A
=
dS
∫
∫
l
S
где S - поверхность, опирающаяся на контур l
Градиент от скалярной функции
r
grad ψ = q10
r 1 ∂ψ
r 1 ∂ψ
1 ∂ψ
+ q20
+ q30
h1 ∂q1
h2 ∂q2
h3 ∂q3
Дифференциальный оператор – набла ∇ (оператор Гамильтона)
4
r 1 ∂
r 1 ∂
r 1 ∂
∇ = q10
+ q20
+ q30
h2 ∂q2
h3 ∂q3
h1 ∂q1
Дифференциальные
операции
через
набла.
r
r
r
r
grad ψ = ∇ ψ, div A = ( ∇ , A ), rot A =[ ∇ , A ].
Скалярное
произведение
( ∇ , ∇ ) = ∇ 2 - оператор Лапласа ( ∇ )
r
r
r
∇ 2 A = grad div A - rot rot A ,
∇ 2 ψ = ∇ ψ = div grad ψ =
1
h1h2 h3
⎡ ∂ ⎛ h2 h3 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ h1h3 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ h1h2 ∂ψ ⎞⎤
⎟⎟⎥
⎜⎜
⎟⎟ +
⎜⎜
⎟⎟ +
⎜⎜
⎢
⎣ ∂q1 ⎝ h1 ∂q1 ⎠ ∂q2 ⎝ h2 ∂q2 ⎠ ∂q3 ⎝ h3 ∂q3 ⎠⎦
Некоторые
формулы векторного анализа
r
div rot rA = 0, rot gradψ
= 0,r
r
rot rotr Ar= grad
divr A - r∇ 2 Ar ,
r
div [ A , B ] = B rot A - A rot B .
Векторное поле без источников, т.е.
с нулевой дивергенцией, называется
r
соленоидальным. Векторное
поле A , для которого во всех точках удовлеr
творяется условие rot A =0 , называется потенциальным.
1.2. Задачи
1.1. Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в декартовой системе координат одну составляющую
Ax = 20 Sin (y/π)
r
1.2. Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат:
Ar = 10/ r 2
r
1.3. Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , имеющего в
сферической системе координат единственную составляющую
Aθ = 8 r e −10 r
1.4. Найти ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в
декартовой
системе координат:
r r
r
a) A = x0 2 Cos ax + y0 3 Sin 2 bz
r r r
r
r
б) B = x0 6 z0 + y0 5 + z0 10 y 2
1.5.
Вычислить дивергенцию и ротор радиуса-вектора
r r
r
r
R = x0 x0 + y0 y0 + z0 z0
1.6. Скалярное поле ψ
задано в декартовой системе координат выражением
ψ = 3 x 2 y + 4z + 2 z 2
Вычислить и построить вектор grad ψ точке М
( 1 , 0, 1).
r
A задано в декартовой системе координат
1.7.
Векторное
поле
r r
r
r
A = x0 3 x 2 y + y 0 y 2 z + z 0 z 2 x
5
r
r
Определить и построить векторы A и rot A в точке М (1,0,1).
1.8. rВ сферической системе координат вектор напряженности магнитного поля H имеет одну составляющую
⎡ 1
1 ⎤ − jkr
H& ϕ = H 0 sin θ ⎢ j +
e
2⎥
⎣ kr (kr ) ⎦
где
j - мнимая
единица,
k- постоянная величина.
r
r
E = rotH jωε a вычислить
По
формуле
вектор
напряженности
r
ω - кру
электрического поля E (
ε a -постоянная величина,
говая частота).
r r
1.9. Подсчитать поток вектора A = ra 5 r 2 через сферическую
поверхность радиусом r = а . Центр сферы совпадает с точкой r = 0.
r
r y
a
r x
a
Вычислить циркуляцию вектора H = − xa + ya
по окружности x 2 + y 2 = a 2
Найти
ротор вектора
r
r
r
r
A = x0 xy − y0 yx + z0 yz
r
Вычислить ротор от ротора вектора A .
r
1.12. В декартовой системе координат векторное поле A имеет
Az = 3y 2 .
Построить
качественно
единственную
составляющую
картину распределения силовых линий поля. Проверить,является ли
поле: а) соленоидальным,r б) потенциальньм.
E
некоторого
гармонически
колебающегося
1.13. Пусть
вектор
электромагнитного поля везде направлен
одинаково
(например, по
r
r
оси z). Используя выражение
, показать, что
rotE = − ∂B ∂t
r
r
вектор B перпендикулярен вектору E .
1.14.Изобразите
графически
картины
силовых
линий
следующих
векторных
полей:
r r
r r
а) A = x0 ( y + 10) ; б) B = y0 3z 2 .
r
В декартовой системе координат задано векторное поле A :
Az = 0 .
Ax = A0 ,
Ay = B0 ,
Построить картину силовых линий.
I.I6.
В сферической системе координат задано
векторное поле
r r
r
A = r0 r . Определить скалярное поле divA . Качественно построить картину
r
силовых линий векторного поля A .
r
1.17 В сферической системе координат векторное поле A имеет единственную r-ю составляющую, причем Ar = f (r ) . Какова должна быть функция
r
f (r ) , чтобы дивергенция поля A обращалась тождественно в нуль? Построr
ить картину силовых линий поля A .
2. Уравнения и теоремы электродинамики
2.1. Краткие теоретические сведения
Система уравнений электродинамики включает четыре уравнения Максвелла
и три материальных уравнения:
6
rэ
r
J
=
σ
E
r r
r
r
где E , H - векторы напряженностиD электрического
и магнитного
= εaE
полей;
r
r
r r
B = µ a H и магнитного полей;
D , B - векторы индукции электрического
r
J э - вектор объёмной плотности тока проводимости;
r
r
J см = ∂D ∂t - вектор объёмной плотности тока смещения;
r
J ст - вектор объёмной плотности стороннего электрического
тока;
ρ э - объёмная плотность свободных электрических зарядов;
ε а , µ а - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости
сред;
σ - удельная проводимость среды.
Уравнение непрерывности тока
r
∂ρ
divJ э = −
∂t
Относительные значения диэлектрической и магнитной проницаемости
ε = εa ε0
µ = µa µ0
где ε 0 , µ 0 - электрическая и магнитная постоянные вакуума.
Векторы
поляризованности
и намагниченности
среды
r r
r
r r r
r
r
э
м
P = D − ε 0 E = χ E , M = B − µ0 H = χ H
где χ э , χ м - диэлектрическая и магнитная восприимчивости
вещества.
Уравнение баланса мощности электромагнитного поля внутри замкнутого
объёма V, ограниченного поверхностью S (теорема Пойнтинга).
rr rr
r r d ⎛ DE BH ⎞
rr
r ст r
∫ ПdS + dt V∫ ⎜⎜⎝ 2 + 2 ⎟⎟⎠dV + V∫ JEdV + V∫ J E = 0
r
r r
где П = E , H - вектор Пойнтинга.
[
]
Граничные условия для тангенцальных и нормальных составляющих векторов поля на поверхности раздела двух сред.
E1τ = E2τ ,
ε a1E1n = ε a 2 E2 n
H1τ = H 2τ ,
µ a1 H1n = µ a 2 H 2 n
Граничные условия на поверхности идеального проводника {σ → ∞}
Eτ = 0
En = ρ s ε a
[nr, Hr ] = Jr
τ
S
Hn = 0
r
ρ S , J S - поверхностные плотности электрических зарядов
где
и тока.
r
Схема уравнений
электродинамики
для монохроматического поля
r
⎧ r r
∂D
э
э
+ Jrст
⎪rotH = J r& +
r
⎧rotH = ∂jtωrε& E& + J э
⎪
a
⎪ r r& ∂B
r& ст
⎪
=
−
rot
E
⎪ rotE = − jωµ a H
⎨
∂r&t
⎨r
⎪
э
эε& E
div
=э ρ ст
⎪
ρ
ρст
=
+
div
D
a
⎪
r&
r
⎪
⎪
=µ0a H = 0
⎩ divBdiv
⎩
7
r&
r&
D = εaE
r&
r&
B = µa H
r&
r&
J = σE
Векторные и скалярные величины с точкой (за исключением ε&a , µ& a )
означают комплексные этих величин,HЕ зависящие от времени.
Переход от комплексной амплитуды к мгновенному значению
соответствующей величины
r
r&
r
r
E (t ) = Re Ee jωt = Re (Eme jϕ e jωt ) = Em cos(ωt + ϕ E ) ,
(r )
(
)
E
(
)
jϕ
ρ (t ) = Re ρ&e jωt = Re ρ me ρ e jωt = ρ m cos(ωt + ϕ ρ )
Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости
ε&a = ε a′ − jε a′′ , µ& a = µ a′ − jµ a′′
Тангенсы углов диэлектрических и магнитных потерь
tgδ =
ε a′′
ε a′
tgδ M =
µ a′′
µ a′
Для немагнитных сред только с электрическими (тепловыми) потерями
µ a′′ = 0 , µ a′ = µ a , ε&a = ε a′ − j
σ
σ
, tgδ =
ω
ε aω
Уравнение баланса мощности монохроматического поля внутри замкнутого
объёма V , ограниченного поверхностью S,
∫
s
⎛µ H
r r
⎜ a
Пds + jω ∫ ⎜
2
v ⎜
⎝
r2
2
−
ε a E ⎞⎟
2
r& Э r
1 r2
dv
+
σ
E
dv
+
J
⎟
∫v 2
∫v 2 СТ Edv = 0 где
⎟
⎠
[ ]
r& 1 r& r&
П = E, H 2
ком-
плексный вектор
Пойнтинга. Среднее за период значение вектора Пойнтинга
r
r&
П ср = Re П
Неоднородные уравнения Гельмгольца для вынужденного поля
r
r&
r& Э
∇ 2 H + k& 2 H = − rotJ СТ
,
r& Э
r&
r&
1
Э
∇ 2 E + k&E = jωµ& a J СТ
+ gradρ СТ
εa
где л& = ω ε&a µ& a - волновое число.
Однородные уравнения Гельмгольца для свободного поля
r&
r&
∇ 2 H + k& 2 H = 0
r&
r&
∇ 2 E + k& 2 E = 0
2.2. Задачи
r
2.1. Показать, что векторное поле H , изменяющееся в пространстве и во
времени по закону
8
r r
r
H = x0 6 x cosωt + y0 2e −2 y sin ωt
не может быть полем магнитного вектора, удовлетворяющего уравнениям
Максвелла.
2.2. Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла в неоднородной
среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных
координат, вытекает следующее уравнение относительно вектора напряженности
магнитного
поля:
r
r
divH = +(1 / µ a )Hgradµ a
2.3. Записать уравнения Максвелла в виде скалярных уравнений относительно составляющих векторов поля в декартовой системе координат для изотропной среды и среды, обладающей магнитной анизотропией.
2.4. Записать первое уравнение Максвелла в виде скалярных уравнений в
цилиндрической ( r ,ϕ , z ) и сферической (r ,θ ,ϕ ) системах координат.
2.5. Доказать, что четвертое уравнение Максвелла можно рассматривать
как следствие второго уравнения Максвелла.
2.6. Показать, что уравнение непрерывности токавытекаетиз первого и
третьего уравнений Максвелла.
Нарисовать направления векторов
r
r r r r r dD
E , H , D, B , j ,
dt
при разряде конденсатора в замкнутой цепи.
Б однородной проводящей среде с параметрами ε и σ в момент времени
е=
0
создано
начальное
распределение
плотности
зарячто
за
счёт
токов
дов ρ 0 (x, y, z ) . Показать,
проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение объёмной
плотности заряда:
−
σ
t
εa
ρ ( x, y , z , t ) = ρ 0 e
Оценить τ - время релаксации этого процесса для типичного металла с проводимостью σ 1 = 10 −3 См/м, а также для полупроводника, имеющего прово3
димость
σ = 10 −3 См/м.
2.9. В материальной среде с параметрами ε = 3.5 и σ = 7.2 ⋅10 −1 См/м создано
электрическое поле, имеющее частоту 600 МГц и амплитуду 15 В/м. Определить амплитудное значение и фазовый угол вектора плотности полного
тока, существующего в каждой точке данной среды.
2.10. Некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все
составляющие
полей
зависят
ЛИШЬ
ОТ
координаты
Z
.
Показать, что на основании уравнений Максвелла при этом будут отсутствовать составляющие E z и H z .
2.11. В вакууме существует электромагнитное поле, гармонически изменяющееся во времени. В некоторой точке пространства вектор
9
r r
E = x0100 cos 2π ⋅1010 t
(
)
Определить объёмную плотность тока смещения в данной точке
2.12. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат записывается следующим образом:
0 ⎤
⎡6.5 0
⎢
ε = ⎢ 0 6.5 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 6.65⎥⎦
В r диэлектрике
создано
равномерное
электрическое
поr
r
r
r
ле E = x0 ⋅ 2.5 + y0 ⋅1.7 + z0 9.2 . Определи вектор электрической индукции D и
r
r
угол между векторами E и D .
2.13. Для кристаллического кварца компоненты тензора диэлектрической
проницаемости ε xx = ε yy = 4.55
и ε zz = 4.49 , а прочие равны нулю. При каких
r
r
направлениях векторы E и D сохраняют (несохраняют)параллельность.
В диэлектрике с относительной проницаемостью ε = 3.5 создано однородное
электрическое
поле,
напряженность
которого
равна 800 В/к. Найти модуль вектора электрической
поляризованности.
r
r
r
2.15В однородном электрическом поле E = 100 ⋅ x0 + 200 z 0 В/м сторонний электрический ток занимает кубrIxlxl см. Определить мощность источника, если
r
r
2
Э
= 10 x0 + 10 z 0 а/м .
плотность стороннего тока J СТ
ε = 2.4 создано
В
диэлектрике
с
проницаемостью
постоянное электрическое поде напряженностью Е=200кВ/м. Определить
3
электрический дипольный момент области диэлектрика
объёмом
6
см
.
r
Вектор напряженности электрического полк E в декартовой системе координат имеет единственную составляющую E x ,отличную от нуля. Показать, что
при этом вектор Пойнтинга не может иметь составляющей вдоль оса X.
Показать, что запас энергии изолированной системы изменяется по закону
e −αt , если эта величина пропорциональна мощности потерь. Что такое α ?
2.19. Вs некоторой точке пространства вектор напряженности электрического
r
поля E = y0 ⋅ 20 В/м, в то время, как вектор Пойнтинга в этой точке
r r
r
П = x0 ⋅10 + z 0 ⋅ 30 Вт/м .
Определить вектор напряженности магнитного поля.
2.20. Грозовая туча, имеющая площадь 5 км 2 , располагается на высоте 2 км
от поверхности Земли. Между тучей и Землей образуется постоянное электрическое поле с одинаковой во всех точках
напряженностью E = 2 ⋅10 5 В/м. Оценить энергию поля.
2.21.
Записать энергию
электромагнитного поля в случае
r r r r r
r
E = E1 + E 2 , H = H 1 + H 2
Проверить, выполняется ли принцип суперпозиции.
2.22.
Во сколько раз меняются нормальные составляющие векторов поля
r r r r
E , H , D, B при переходе из слюды ( ε = 5, µ = 1, δ = 0 ) в воздух.
10
На границе воды С £ =80) и воздуха амплитуды тангенциальных составляющих векторов поля равны: Er1 = 200 В/м, H r1 = 4 А/м. Определить амплитуды
тангенциальных
составляющих
r
r
векторов D и B в обеих средах.
Имеется плоская граница раздела двух немагнитных сред, обладавших параε a1 , ε a 2 ,,причем
ε a1
< ε a2 .
метрами
Силовые линии вектора E1 образуют в первой среде угол α1 с направлением
E2 , D2 во второй среде.
нормали. Найти ориентацию векторов
ε первонаВ толще однородного диэлектрика с известной проницаемостью
r
чально было создано равномерное электрическое поле E , а затем прорезаны
две
узкие
полости,
одна
из
которых ориентирована параллельно, а другая перпендикулярна силовым линиям поля. Полости заполнены воздухом. Какова величина напряженности
поля в обеих полостях?
Для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей записать граничные условия на поверхности идеально проводящего кругового бесконечного цилиндра.
Дня составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей записать граничные условия для волны, распространяющейся внутри
идеально проводящей бесконечно длинной трубы, поперечное сечение которой имеет вид окружности или прямоугольника.
2.28. На идеально проводящую плоскость нанесен слой диэлектрика постоянной толщины. Записать граничные условия для векторов электромагнитного поля.
2.29. На шар конечной проводимости нанесен слой диэлектрика постоянной
толщины. Записать граничные условия для векторов электромагнитного поля.
2.30. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды векторов поля:
r
r&
r
r
E = 35e j 60 x0 В/м
H = j 4 ⋅10 −3 y0 А/м
Найти мгновенные значения векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга.
2.31. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля
0
r&
r
r
r
E = 20e j 0.15 x0 − 100e − j1.2 y 0 + 30e j 2.3 z 0
(углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц.
Найти мгновенное значение вектора Е в момент времени, равный О, I мкс.
2.32. Комплексные амплитуды векторов электромагнитного пиля в.некоторой
точке пространства задаются выражениями
r
r
E = 0.8e j 0.4 x0 − 1.5e − j 0.6 y0 В/м
r&
r
А/м
H = 4 ⋅10 −3 e − j1.2 z 0
Определить комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение.
11
2.33.* В цилиндрических координатах компоненты вектора напряженности
магнитного поля в свободном пространстве имеют вид
H rt и её производственные ограничеH r = H ϕ = 0 H z = H (r , t ) , где функция
ны. Определить напряженность Е вихревого электрического поля, индукцированного данным магнитным полем.
.
2.34.* В цилиндрических координатах компоненты вектора напряженности электрического поля в свободном пространстве имеют E a = Eϕ = 0
E z = E ( z, t )
и
г д е ф у н к ц и я Ert и её производные ограничены. Определить напряженr
ность E вихревого магнитного поля, индуцированного данным электрическим
полем.Определить, при какой частоте амплитуда гармонически изменяющегося тока
смещения В морской воде будет равна амплитуде, тока проводимости, если
известно,
что
проводимость
ε =
морской воды σ = 4.5 См/к, в её диэлектрическая проницаемость
81.
За какое время амплитуда свободно колеблющегося поля в изолированном
объёме уменьшится в 100 раз? Частота 1С ГГц. Материал заполнения- полистирол.
Имеется
плоская
граница
раздела
двух
сред,
обладающих относительными МАГНИТНЫМИ проницаемостями µ1 и µ 2 Силовые линии магнитного поля в первой среде образуют угол θ1 с направлением
нормали. Найти ориентацию силовых линий магнитного поля во второй среде.
3. Плоские электромагнитные волны
3.1. Основные формулы
Поле плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси 2 декартовой системы координат воднородной изотропной среде с электрическими
иr магнитными потерями. Описывается выражениями:
-jkz r
-jkz
Е = х о Е& охе + y o Е& oyе
В/м,
H = − xo
E& oy
r E&
&
&
e − jkz e − jϕc + yo ox e − jkz e − jϕc
Zc
Zc
А/м.
где
k& = ω ε&a µ& a = k ′ − jk ′′
- ■ коэффициент (постоянная) распространения :
k ′ - коэффициент фазы;
к"- коэффициент затухания (ослабления);
z&c = µ& a / ε&a = z c e jϕ - характеристическое сопротивление среды.
Плотность потока мощности в среднем за период определяется средним
значением вектора Пойнтинга
c
12
[ ]
2
2
r
r
⎛ 1 ⎞ r H&
1 r& r r E&
П ср = Re П = Re E , H = z o
Re ⎜⎜ ⎟⎟ = z o
Re Z& c
2
2
2
⎝ zc ⎠
Длина волны, фазовая и групповая скорости
λ=
2π
k
Vф =
ω
k′
Vгр =
dω
dk ′
Коэффициент затухания на единицу длины (I м) в Неп/м
k ′′ = ln
E& (z = 0) 1 Пcp( z = 0)
= ln
E& ( z = 1) 2 Пcp( z = 1)
Коэффициент затухания на единицу длины (I м) в дБ/м
k ′′ = 20 lg
E& ( z = 0 )
Пср ( z = 0)
= 10 lg
&
Пcp( z = 1)
E ( z = 1)
Расстояние, на котором амплитуда поля плоской волны убывает в
(глубина проникновения поля)
∆=
е
раз
1
k ′′
Для немагнитных сред с электрическими потерями
µ a″ = 0
ε&a = ε a′ − jε a′′ = ε a (1 − jtgδ ) = ε&a e − jδ
k& = ω ε&a µ a e − jδ / 2
k ′ = ω ε&a µ a cos(δ / 2)
k ′′ = ω ε&a µ a sin (δ / 2)
k ′′ = k ′tg (δ / 2) Z& c = µ a / ε&a e jδ / 2
В немагнитных средах с малыми электрическими потерями tgδ ⟨⟨1 (реальные
диэлектрики)
k′ = ω ε a µa
k ′′
µa
2 ε
δ
µa
εa
Zc =
В реальных проводниках tgδ ⟩⟩1
k′ =
ωµ aδ
k ′′ =
2
ωµ aδ
2
Zc =
µ aω − j π4
µ
1
e
= (1 + j ) aω = (1 + j )
δ
δ∆
2δ
В вакууме ( δ = 0 ε a = ε 0 µ a = µ 0 )
k ′ = ω ε 0 µ0
Zc = Z0 =
k ′′ = 0 VФ =
1
ε 0 µ0
=c
µ0
= 120π λ0 = c / f
ε0
В идеальном диэлектрике ( δ = 0 , ε ′′ = 0 a µ a = µ 0 )
13
k ′ = ω ε a µ0
k ′′ = 0 Vф =
1
εaa
=
c
ε
Zc =
µ0
1
= Z0
λ = λ0 / ε
ε0
ε
В дисперсирущих средах
Vгр =
dVф
dω
= Vф + ω
dω
dk ′
r
Вид поляризации плоской волны определяется поведением вектора E . В общей случае вершина вектора 1Гплоской однородней волны, бегущей вдоль
оси Z , в плоскости xOy описывает эллипс. Если
E& ox = Eox e jφ x
E& y = Eoy e jϕy
∆ϕ = ϕ y − ϕ x
то коэффициент эллиптичности
⎡
2
⎛ Eox Eoy ⎞
1
⎢ Eox Eoy
⎟ + 4 cos 2 ∆ϕ
K эл =
+
+ ⎜
−
⎢
⎜
⎟
2 sin ∆ϕ Eoy Eox
⎝ Eoy Eox ⎠
⎢⎣
⎤
⎥
⎥ Угол
⎥⎦
наклона
большой
оси
эллипса определяется углом α из условия
tg 2α =
2 Eox Eoy
Eox2 − Eoy2
cos ∆ϕ
УГОЛ α отсчитивается от оси x по часовой стрелке, если смотреть вдоль
оси z. Частные случаи:
а)
Eox = 0 или E oy = 0 -линейная поляризация.
б)
∆ϕ = mπ m=0 ± 1…-линейная поляризация.
,
круговая
поляризация.
в)
∆ϕ = n π / 2 Eox = Eoy
Направление вращения вектора Е, если смотреть вдоль оси распространения волны,
при 0⟨ ∆ϕ ⟨π или − 2π ⟨ ∆ϕ ⟨−π - правое,
при − π ⟨ ∆ϕ ⟨0 или π ⟨ ∆ϕ ⟨ 2π - левое.
3.2. Задачи
Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями ε = µ = 10 ,
если частота волны 10 МГц.
Плоская
гармоническая
волна
с
частотой
f
=80
МГц,
распространяясь в некоторой материальной среде без потерь,имеет длину
волны α = 0,7 м. Вычислите фазовую скорость этой волны.
14
Характеристическое сопротивление среды равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость ε = 1 . Определить относительную магнитную
проницаемость среды без потерь.
Найдите характеристическое сопротивление материальной среды с параметрам ε = 4 µ = 7 , δ = 3 ⋅10 −3
У плоской электромагнитной волны все составляющие полей зависят лишь от
координаты Z. Показать, что на основании уравнений Максвелла при этом
будут ,отсутствовать продольные составляющие E z и H z .
Докажите принципиальную невозможность существования чисто продольных
электромагнитных волн, которые имели бы ненулевые составляющее E z и H z ,
не зависящие от поперечных координат х и у. Указание: воспользуйтесь
двумя
первыми
уравнениями Максвелла, записанными в декартовой системе координат.
В идеальном диэлектрике вдоль оси Z
распространяется плоская однородная волна с произвольной линейной поляризацией. Записать комплексные
амплитуды
и.
мгновенные
значения
векторов поля. Записать уравнения поверхностей равных фаз и разных амплитуд.
Доказать, что в средах без потерь фазовый фронт и плоскость равных амплитуд плоских неоднородных волн образуют между собой угол 90°.
3.9.В среде без потерь распространяется плоская однородная волна в произвольном
направлении f . Записать комплексные амплитуды векторов поля
r
r
E и H в системе координат x,y,z
3.10.Комплексная амплитуда электрического поля
r&
r
r
E = −28e − j 0.16 x0 − 105e − j1.2 y 0 + 36e j 2.3 z 0
(углы даны в радианах).
_Частота колебаний 2 МГц. Найти мгновенное знаr
чение вектора E в момент времени, равный 0,1 мкс.
3.11.
Указать направление распространения волны
r
E = E0 e − jk (0.5 x+0.7 y +0.51z )
r r
H = H 0 e − jk (0.5 x+0.7 y +0.51z )
3.12. Описать "в декартовой системе координат (х,у,z.) волну,
распространяющуюся вдоль биссектрисы угла х,у и поляризованную в
плоскости этого угла.
3.13. В среде с параметрами ε = 4 , µ = 1 , σ = 0 распространяется плоская
электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности
электрического поля которой в плоскости Z= 0
r
r
r
E = (0.5 x0 + 0.2 y0 )
Определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля,
если волна распространяется в направлении возраста-кия координаты Z .
15
3.14. Комплексные амплитуды векторов электрического и магнитного полей
волны
с частотой 10 ГГц. известны.
r r
r
E = ( x0 0.5 + y0 0.2) В/м,
r
r
r
H = (− x0 1.061 + y0 2.65)10 −3 А/м
Найти зависимость от времени компонентов поля в плоскости Z = I см.
3.15.. На пути волны, распространяющейся в вакууме, выделен кубический
объём со стороной
а = I м. Найти, заключенную
в нем среднюю энергию
r
электромагнитного поля, если амплитуда E составляет I В/м.
3.16. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 300'МГц. Определить расстояние, на котором фаза волны изменится на
270° и 2520°,
3.17.Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде
без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой I ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40°.
Определить относительную диэлектрическую проницаемость среды.
3.18. Однородная плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Вектор Пойнтинга волны лежит в плоскости X, Z и образует угол
ϕ = 60 0 с осью Z . Найти расстояние вдоль оси £ , на котором фаза волны
изменится на 360°, если частота колебаний 100 МГц.
3.19.В вакууме распространяется неоднородная плоская волна с частотой
300 МГц. Плоскость равных амплитуд параллельна плоскости Z = 0 . Фазовый фронт движется вдоль oси X со скоростью 10 8 M/с. Определить напряженность поля в плоскости Z = 0,1 м, если в плоскости Z = О она равна I
В/м, а при Z → ∞ обращается в нуль.
3.20. Некоторый диэлектрик на частоте 10 ГГц обладает параметрами: ε
=3,8, µ =I, tgδ = 10 −4 . Определить длину волны, коэффициент затухания и
характеристическое сопротивление данной среды. 3.21Определить толщину
медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного ПОЛЯ В 104 раз на частотах 50 Гц и 50 МГц.
Погонное затухание однородной плоской волны составляет 0,45 дБ/м. Определите, на каком расстоянии амплитуда волны уменьшится в 106 раз по сравнению с исходным уровнем.
3.23Найдите коэффициент фазы и коэффициент , ослабления плоской электромагнитной волны в материальной среде с параметрами ε = 2 , µ = 1 ,
σ = 2 ⋅10 −5 См/м при частоте ω = 10 6 c −1
3.24.Найдите коэффициент ослабления плоской электромагнитной волны в
ε = 2.1 , µ = 1 , tgδ = 4 ⋅10 −4 на частоте
диэлектрике с параметрами
f = 3
ГГц.
3.25. Во сколько раз уменьшится амплитуда волны, распространяющейся в
алюминии на расстоянии
Z = I мм на частотах 30 КГц, 3 МГц и 3 ГГц.
3.26. Вывести формулу для определения уменьшения амплитуды поля плоской электромагнитной волны на пути, равном длине волны в среде с поте16
рями. Во сколько раз уменьшится амплитуда поля на указанном расстоянии в среде с параметрами ε = 2 , µ = 1 , σ = 10 −4 См/м на частоте 10 МГц
3.27. Плоская электромагнитная волна с частотой 10 9 Гц распространяется
в среде с параметрами ε = 2,4 , tgδ = 10 −1 , µ = 1 . Определить фазовую скорость,
длину волны и коэффициент затухания.
3.28Керамика титанат бария на частоте 10 ГГц имеет параметры ε = 144 ,
µ = 1 , tgδ = 0.6 . Определить длину волны, коэффициент затухания и характеристическое
сопротивление
данной
среды.
3.29Вo сколько раз уменьшится амплитуда плоской электромагнитной волны
с частотой 2 МГц при распространении в среде с параметрам
δ = 10 −3 См/м, ε = 2 , µ = 1 на пути в 1м?
3.30.Напряженность магнитного поля в меди при Z=0 Н0= I А/м, частота колебаний f= 300 МГц. Найти значение координаты Z при котором амплитуда поля уменьшается на 20 дБ.
Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской
волны,
распространяющейся
вдоль
оси
Z
в
r
r r jϕ
0
плоскости Z = 0, E = E0 (x0 + y0 e ) .Определить вид поляризации, если ϕ = 60 .
Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской
волны,
распространяющейся r
вдоль
оси
Z,
r
r
E = E0 ( x0 − 0.5 jy0 ) .Определить
плоскости
Z
=0
вид
поляризации.
Две плоские электромагнитные волны с левой и правой круговой поляризацией в плоскости Z=0 имеют векторы напряженности электрического поля
r
r
r
E1 = E0 (x0 − jy0 )e jϕ1
r
r
r
E2 = E0 ( x0 + jy0 )e − jϕ 2
Определить вид поляризации,
суммарного поля, если разность фаз
0
∆ϕ = ϕ1 − ϕ 2 = 45 .
Плоская электромагнитная волна с правой эллиптической поляризацией распространяется в вакууме в сторону уменьшения координаты z , Волна имеет
комплексную
амплитуду
вектора
r r
r
T = (x ⋅130 + jy0 ⋅ 40)e jkz
напряженности
электрического
поля
r
Найдите комплексную амплитуду вектора H данной волны.
Вектор напряженности электрического поля плоской однородной волны имеет
вид:
r r
E = z 0 A cos(ωt − kx + ϕ1 ) + y0 B cos(ωt − kx + ϕ 2 )
Определить вид поляризации в случаях:
r
r r
1) a1 = x0 , a2 = z 0 , A = B,ϕ1 = ϕ 2 − π / 2
17
r
r
r
2) a1 = z 0 , a2 = x0 , A ≠ B,ϕ1 = ϕ 2 + π / 2
3.37.
В
среде
с
параметрами
ε = 4, µ = 1,σ = 0
вдоль оси Z распространяется плоская однородная волна. В момент t = 0 в
точке Z = 0 напряженность электрического
поля равна Е = 2 мВ/м. Найти
r r r
численные значения векторов E , H , ПСР в точке Z=300 и в момент t = I мксек.
Частота колебаний f = I07 Гц.
3.38.*В фиксированной точке пространства известны мгновенные значения
векторов
поля
r r
E = E0 cos(ωt + ϕ1 )
r r
H = H 0 cos(ωt + ϕ 2 )
r r
где E0 , H 0 - постоянные векторы.
Показать, что мгновенное значение вектора Пойнтинга складывается из неизменного во времени среднего значения и колеблющейся части, изменяющейся во времени с удвоенной частотой.
3.39. Плоская электромагнитная волна с частотой 109 Гц распространяется в
среде с параметрами ε = 2.25, tgδ = 0.01, µ = 1 .
Амплитуда электрического поля в плоскости Z=0 равна 100 В/м. Определить
среднюю плотность потока мощности в плоскости Z = 1м.
Плоская однородная волна распространяется в среде без потерь с параметАмплитуда
вектора
рами µ = 1, ε = 4,5 .
напряженности электрического пел я Е 0=30 В/м. Вычислите амплитуду вектора напряженности магнитного поля и модуль среднего значения вектора
Пойнтинга.
Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси Z в среде с потерями. _Амплитуда напряженности электрического поля в сечении Z=0
составила 100 В/м, в сечении Z=2 м - 10 В/м. Определить долю мощности,
рассеиваемую этой волной на пути в 10 м.
3.42.Электрический пробой атмосферного воздуха при нормальных условиях
наблюдается в том случае, когда напряженность электрического поля достигает значения 3⋅10 6 В/м. Определите предельно допустимое среднее значение
плотности
потока
энергии
плоской электромагнитной волны, распространяющейся в воздухе.
3.43.Плоская волна, распространяющаяся в среде с потерями, имеет коэффициент ослабления
k ′′ =0,015 Неп/м. Волна распространяется в сторону положительных значений Z. При Z = 0 модуль среднего значения вектора Пойнтинга
П ср (0 ) = 60 Вт/м. Вычислите значение Пер в плоскости Z=100м.
ε = 2.25 ,
σ =0
3.44. В
среде
с
параметрами
µ =1,
распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрического поля
100 В/м. Определить среднее значение плотности потока мощности переносимой волной в направлении распространения.
18
3.45.Амплитуда напряженности магнитного поля плоской электромагнитной
волны, распространяющейся в среде с параметрами ε = 3.8 , µ = 1 , σ = 2 ⋅10 −4
См/м, в плоскости Z=0 равна I А/м. Определить плотность потока мощности волны на расстоянии Z, равном I м от начала координат.
3.46.Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в среде с
параметрами ε = 144 , µ = 1 , tgσ = 0.6 определить плотность потока мощности
в плоскости Z=0 на частоте 10 ГГц, если амплитуда напряженности электрического поля в этой плоскости равна 100 В/м. 3.47.Среднее значение вектора Пойнтинга плоской электромагнитной волны
в процессе распространения уменьшается на 10 % на пути длиной 2-й. Определить коэффициент ослабления волны.
3.48.Пучок оптического квантового генератора (лазера) имеет площадь поперечного сечения 4 мм2. Мощность генератора 100 Вт. Определить напряженность
электрического
поля,
полагая,
что в пределах пучка излучение квантового генератора представляет собой
плоскую электромагнитную волну.
3.49.Некоторые современные лазеры обладают импульсной мощностью порядка 10 Вт. Определить максимальную площадь поперечного сечения пучка,
при котором происходит электрический пробой воздуха. Напряженность
электрического поля,
обеспечивающего пробой, положить равной 30 кВ/см.
4. Отражение и преломление плоских волн на границе раздела сред
4.1. Основные формулы
При падении плоской волны из среды с параметрами ε1 , µ1 ,σ 1 на границу
раздела со средой, имеющей параметры ε 2 , µ 2 ,σ 21 возникают отраженная и
прошедшая во вторую среду волны. Коэффициент отражения
R& = E& отр / E& пад
коэффициент прохождения
Т& = Е& пр / Е& пад
где Е& пад , Е& отр , Е& пр -
комплексные амплитуды падающей, отраженной и про-
шедшей волн.
Угол падения ϕ , угод отражения ϕ ′ и угол прохождения (прелокления)
ψ связаны между собой соотношениями:
ϕ = ϕ′,
sin ϕ n2 Re (n& 2 )
=
=
sinψ n1 Re (n&1 )
i -й среды.
где n&i = ε i µ i - коэффициент преломления
r
Если вектор E плоской волны лежит в плоскости угла падения,
z& cosψ − z&c1 cos ϕ
R& // = c 2
z&c 2 cosψ + z&c1 cos ϕ
19
2Z& c 2 cos ϕ
Z& c 2 cosψ + Z& c1 cos ϕ
r
Если вектор E падающей плоской волны перпендикулярен плоскости падеT&// =
ния
Z& cos ϕ − Z& c1 cosψ
R& ⊥ = c 2
Z& c 2 cos ϕ + Z& c1 cosψ
2 Z& cv 2 cos ϕ
Z& c 2 cos ϕ + Z& c1 cosψ
T&⊥ =
где Z& ci - характеристическое сопротивление
электриков (σ i = 0, µ i = 1)
i-й среды. Для идеальных ди-
sin (ψ − ϕ )
sin (ψ + ϕ )
R⊥ =
Угол Брюстера (угол полного прохождения)
⎛ ε2 ⎞
⎟
⎟
ε
⎝ 1⎠
ϕ БР = arctg ⎜⎜
Критический угол (угол полного отражения)
⎛ n2 ⎞
⎟⎟
⎝ n1 ⎠
ϕ kp = arcsin⎜⎜
Для углов падения ϕ ⟩ϕ kp угол преломления ψ =
где shψ ′′ = (n1 / n2 ) sin 2 ϕ − 1
Коэффициенты отражения и прохождения
π
2
+ jψ ′′
2
Z& cos ϕ +
R& ⊥ = c 2
Z& c 2 cos ϕ −
jZ& c1 shψ ′′
jZ& c1 shψ ′′
Z& cos ϕ +
R& // = − c1
Z& c1 cos ϕ −
T& ⊥=
T&// =
jZ& c 2 shψ ′′
jZ& c 2 shψ ′′
2Z& c cos ϕ
Z& c 2 cos ϕ − jZ& c1 shψ ′′
2 Z& c 2 cos ϕ
Z& c1 cos ϕ − jZ c′2 shψ ′′
20
k z
E& ПР = T&E ПАД e 1
sin 2 ϕ − ( n 2 / n1 )2
e − jk 1 x sin ϕ
Поле во второй среде представляет собой неоднородную плоскую волну,
амплитуда которой убывает при удалении от границы раздела сред. Вместо
T& подставляется T&// или T&⊥ в зависимости от поляризации падающего поля. Ось Х лежит в плоскости раздела сред, а ось Z перпендикулярна ей.
При падении плоских волн на границу с оптически плотной средой
(n2 ⟩⟩ n1 ) или реальным металлом угол ψ ≈ 0 . Тангенциальные к границе раздела сред компоненты поля, связаны соотношением
E&τ 1 / H& τ 1 = Z& c 2
где Z& c 2 характеристическое сопротивление второй среда. В случае реальных металлов при решении задач можно положить H& τ 1 = H& τ , где
H& τ - тангенциальная компонента магнитного поля, вычисленная для иде-
ального проводника.
Среднее значение вектора Пойнтинга, направленного внутрь металла,
П СР
[
]
r&
r&
H& τ
1
=
Re Eτ , H τ =
2
2
2
r
R e (Z& МЕТ n )
µ=1, σ =0,1 См/м . Определять комплексные коэффициенты отражения
R
и преломления T на частоте 100 МГц. Полагая, что амплитуда напряженности электрического поля падающей волны в плоскости
z = 0 , совпадающей с границей раздела, равна 1 В/м, записать выражение для мгновенного
значения напряженности электрического поля отраженной волны.
4.2*Измерения комплексного коэффициента отражения R
от диэлектрика
с нeизвестными параметрами ε и µ на частоте I ГГц дали величину
R=
-0,5 e
Определить параметры диэлектрика ε,σ,tgδ если известно, что
µ= I. Падение волны считать нормально.
Плоская электромагнитная волна падает по нормали из вакуума на пластину
диэлектрика без потерь толщиной d . Определить условия, при которых пластина становится прозрачной для падающей волны. Показатель преломления
n считать известным.
Плоская электромагнитная волна падает под углом φ на поверхность реального металла с электрической проводимостью σ
Вывести формулу для удельной мощности потерь Pyд на площадке в I м 2
, обусловленной свойствами металла.
Плоская электромагнитная волна падает нормально на границу раздела между вакуумом и металлом с удельной электрической проводимостью
σ=6
7
10 См/м.
Определить
коэффициент
отражения по электрическому полю на частоте 10 ГГц,
4.6.Плоская электромагнитная волна с частотой 10 МГц и средним значением плотности потока мощности I Вт/м падает нормально из вакуума на по− 0 , 09 j
21
верхность металла с удельной электрической проводимостью
σ =6
7
10 См/м .
Определить напряженность электрического поля и среднее значение плотности потока мощности в металле непосредственно у границы раздела.
4.7. Плоская электромагнитная волна падает нормально на границу раздела
между вакуумом и диэлектриком с параметрами
ε = 4, µ =1, tgδ=0. Определить среднее значение плотности потока мощности в диэлектрике, если среднее значение потока мощности падающей волны
I Вт/м 2 .
4.8. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, падает на безграничную пластину идеального металла под углом φ . Найти распределение
суммарного
электрического
и
магнитного полей в вакууме, если вектор Е падающей волны перпендикулярен плоскости падения.
4.9. Найти условия, при которых плоская электромагнитная волна будет
распространяться путем отражения от двух безграничных пластин идеального металла, расположенных В вакууме параллельно друг другу на расстоянии
а
,
если
угол
падения
равен
φ
.
Для каких значений λ возможно распространение волн в такой структуре
при заданном а ?
4.10. Для условий задачи 4.8 определить направление переноса энергии,
ориентацию
и
скорость
движения
фазового
фронта
Vф .
φ= 45°.
Вычислить Vф для
4.II. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает из вакуума на поверхность диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε a = εε 0 ( µ =
1,
σ
=0)
под
углом
φ= arctg ε .Найти соотношение между векторами Пойнтинга падающей и
прошедшей и волн. Обсудить полученный результат с точки зрения закона
сохранения энергии.
4.12. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает из диэлектрика с параметрами µ1 = 1, ε 1 = 9,σ 1 = 0 на поверхность диэлектрика с параметрами
µ2 = 1, ε 2 = 1,σ 2 = 0 .
При
каких углах падения:
а} вся энергия падающей волны переходит
во вторую среду;
б) вся энергия падающей волны отражается от границы раздела?
22
Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией падает из вакуума на поверхность плавленого кварца. Определить угол падения, при котором осуществляется преобразование круговой поляризации в линейную.
Плоская электромагнитная волна падает на границу раздела сред с различными значениями относительной магнитной проницаемости. Будет ли существовать угол, при котором отсутствует отраженная волна? Если да, то
как величина этого угла связана с параметрами сред?
Вычислить угол полного внутреннего отражения для следующих диэлектриков: дистиллированной воды (ε = 81),слюды (ε = 6), оптического стекла (ε
- 2,25), полупроводника ( ε= 1 6 )
Призма, показанная на рисунке, используется для поворота пучка электромагнитных волн. Определить комплексный
коэффициент передачи устройства, т.е. отношение комплексных амплитуд
напряженности электрического поля входящей и выходящей волн на передней грани призмы, принимая во внимание только однократные отражения.
Показатель преломления материала призмы принять равным 1,5.
4.17. Каким показателем преломления должка обладать среда, чтобы в результате однократного полного внутреннего отражения на границе её раздела с вакуумом можно было преобразовать волну с линейной поляризацией в волну с круговой поляризацией?
Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией падает на границу раздела между средой с показателем преломления 1,5 и вакуумом.
Вектор напряженности электрического поля образует с плоскостью падения угол 45°. Определить вид поляризации отраженной волны, если угол
падения равен 45°.
Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с показателем преломления n= 1,5, падает под углом 45° на границу раздела между средой и вакуумом. Напряженность электрического поля падающей волны I В/м. Определить напряженность электрического поля в вакууме на
расстоянии 6 см от границы раздела, если частота колебаний равна 10
Ггц, а вектор напряженности электрического поля перпендикулярен плоскости падения.
Плоская электромагнитная волна распространяется в безграничной плоскопараллельной пластине диэлектрика с ε α = εε 0 ,под углом θ к границе раздела
с
вакуумом.
При
каких
условиях
волна не будет покидать пластину?
4.21* Плоская электромагнитная волна падает из вакуума на поверхность
диэлектрика, показатель преломления которого зависит от частоты. Исследовать угловую дисперсию преломления волны dψ/df . Вычислить эту величину при угле падения 60°, если частотная зависимость показателя
преломления имеет вид n=1,75+1,68 10 1 6 ( f - 5.I0 1 4 ).
4.22. Плоская электромагнитная волна падает под углом 60° на металлическую поверхность. Найти амплитуду напряженности электрического поля на
поверхности металла, если
σ =5 10 7 См/м, µ =1, f =100 ГГц, а вектор
23
напряженности магнитного поля с амплитудой 1 А/м лежит в плоскости
падения. Определить удельную мощность потерь (см. задачу 4.4).
4.23. Плоская волна круговой поляризации правого вращения падает из вакуума под углом 60° на поверхность немагнитной среды. Определить вид
поляризации отраженной и прошедшей волн, если параметры второй среды:
ε 2 = 3,σ 2 = 0 ;
а)
б)
; ε 2 = 5,σ 2 = 10 −2
σ 2 = 5,8 -10 7 .
в)
Волна, длина которой равна 20 м, падает из воздуха на водяную поверхность ( ε α = 81ε 0 ,σ = 10-3 См/м) под углом 45°. Какова будет сшибка при вычислении коэффициентов отражения и прохождения, если истинный угол
преломления принять равным нулю?
Определить фазовую скорость поверхностной волны и расстояние от границы, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз в воздухе. Волна
образуется на границе полиэтилена (ε= 2,25) и воздуха при
φ= 70°,
частота 300МГц.
4.26.*Плоская ЭВМ, распространяющаяся в среде с показателем преломления n =1.5, падает под углом 30° на границу раздела между средой и вакуумом. Напряженность электрического поля падающей волны 10 В/м. Определить напряженность электрического поля в вакууме на расстоянии 6
r
см от границы раздела, если
f = 10ГГц; а вектор E падающей волны лежит в плоскости падения. .
4.27. Плоская электромагнитная волна с частотой 25 МГц и средним значением плотности потока мощности 4 Вт/м 2 падает нормально из вакуума
на поверхность металла с удельной электрической проводимостью
σ =4 10 7 См/м. Определить напряженность электрического поля и среднее
значение плотности потока мощности в металле непосредственно у границы раздела.
4.28.*Плоская волна, распространяющаяся в морской воде ( ε= 81,
σ= 2
7
С М / M ) , падает под углом 60° на лист меди (σ=5,7*10
См/м). Определить соотношение отраженной и поглощенной мощностей, если амплитуда
напряженности электрического поля на высоте I м над листом меди состаr
вила I В/м, а частота колебаний I ГГц. Вектор E падающего поля лежит в
плоскости падения.
4.29. Из вакуума на медную пластину под углом 30° падает плоская волна
с частотой 5 ГГц. Определить напряженность электрического поля на граr
нице с металлом, если амплитуда падающего поля Е = 100 В/м и вектор E
лежит в плоскости падения. ( σ Cu = 5,8 ⋅ 10 7 Cм/м, µ=1)
4.30.Из вакуума на медную пластинку нормально падает плоская волна
с частотой 100 МГц. Напряженность поля Е = 100 В/м. Определить поле на
границе пластины и мощность, поглощенную
I м 2 пластины.
( σ Cu = 5,8 ⋅ 10 7 Cм/м, µ=1)
24
Волна, длина которой равна 20 м,
падает на водяную
−3
поверхность (
ε = 81,
σ= 10
См/м) под углом 45°. Какова
будет ошибка при вычислении коэффициентов отражения и прохождения, если
истинный угол преломления принять равным нулю?
Плоская
однородная
электромагнитная
волна
падает
нормально на плоскость раздела сред, магнитная и диэлектрическая проницаемости которых равны µa1 = µ0 ,ε a1 = 5ε 0 , µ a 2 = µ 0 , ε a 1 = 5 ε 0 , ВЫЧИСЛИТЬ коэффициенты отражения и прохождения.
4.33*. Плоская электромагнитная волна распространяется в среде ε = 9, tg
δ= 10 −2 и нормально падает на границу раздела со средой ( ε = I, σ= 0).
Обе среды немагнитные. Определить напряженность поля на высоте 4 м
над границей раздела, если на глубине 2 м под границей она составила I
мВ/м. Частота 3 ГГц.
4.34. Плоская ЗВМ падает нормально из среды: ε 1 = 9, µ1 = 1,σ 1 = 10 −1 в среду с
параметрами
f = I ГГц. На какой высоте от
ε 2 = 1, µ 2 = 1, σ 2 = 0 . Частота
плоской границы амплитуды падающего и отраженного полей будут отличаться в e2 раз?
4.35*Плоская электромагнитная волна круговой поляризации падает из вакуума на поверхность диэлектрика без потерь под углом 60°. Определить
ε диэлектрика, если при этом угле наблюдается преобразование поля в линейно поляризованную волну. Определить Кэл поля в среде.
25