Уравнение Шредингера Волновая функция и её статистический смысл Волновая функция и её статистический смысл Квантовая механика описывает законы движения и взаимодействия микрочастиц с учѐтом их волновых свойств. Сравнение дифракции световых волн и микрочастиц • Для света: дифракционная картина – ослабление или усиление света в различных точках пространства. Интенсивность ~ A2 световой волны. Сравнение дифракции световых волн и микрочастиц • Для частиц: дифракционная картина объясняется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях после рассеяния (отражения), т.е. проявляются вероятностные (статистические) закономерности распространения волн де Бройля. Но по волновому закону меняется не вероятность обнаружить частицу в точке пространства, а амплитуда вероятности, т.к. вероятность не может меняться по гармоническому закону, поскольку она не может быть отрицательной. В квантовой механике положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется волновой функцией (пси-функцией) x, y, z, t амплитуда вероятности. Вероятность dW того, что частица находится в элементарном объѐме dV, 2 пропорциональна и dV : dW dV dxdydz. 2 2 • ψ может быть комплексной. • Квадрат модуля волновой функции: *, 2 ψ* - функция комплексно сопряженная с ψ. Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический (вероятностный) характер. dW 2 плотность вероятности, т.е. dV определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в единичном объѐме dV в окрестности точки с координатой (x,y,z). Физический смысл имеет не ψ– функция, а 2 интенсивность волн де Бройля. Вероятность найти частицу в момент t в конечном объѐме V: W dW dV . 2 V V При интегрировании по бесконечному V вероятность обнаружить частицу равна 1. Из этого следует условие нормировки: 2 dV 1. Ограничения на ψ– функцию: 1. конечная (т.к. вероятность не может быть > 1), 2. однозначна (вероятность не может быть неоднозначной величиной), 3. непрерывна (вероятность не может изменяться скачком). Следовательно, ψ– регулярная. ψ– функция удовлетворяет принципу С n n суперпозиции: n если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ1, ψ2… ψn, то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций. ψ– функция – основная характеристика состояния микрообъекта, позволяет вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект: L L dV , 2 L – физическая величина, например, энергия или координата. Временное и стационарное уравнение Шредингера Т.к. микрообъекты (в соответствии с предположением де Бройля) обладают волновыми свойствами, то уравнение, описывающее их движение в различных силовых полях должно быть волновым уравнением подобно уравнению электромагнитной волны. В 1926 г. Шредингер постулировал временное уравнение Шредингера для частицы массой m, движущейся в поле с потенциальной энергией U(x,y,z,t) со скоростью v << c: U x, y, z, t i , (1) 2m t 2 общее уравнение Шредингера 2 2 2 2 2 2 оператор Лапласа, x y z i 1 – мнимая единица. Условия, накладываемые на ψ– функцию: 1. ψ– функция регулярная, т.е. конечная, непрерывная, однозначная, 2. ; ; непрерывные, x y z 3. 2 удовлетворяет условию нормировки. ● Во многих случаях силовое поле, в котором движется частица, – стационарное, т.е. потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит от t. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шредингера (уравнение Шредингера для стационарных состояний). Решение стационарного уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух функций: E i t x x, y, z, t , y, z e , (2) функция координат функция t E = const – полная энергия частицы для стационарного поля. Уравнение (2) подставляем в (1): e 2m 2 E i t Ue E i t E i i e E i t i 2 E 2m 2 E U 0, (3) стационарное уравнение Шредингера. , 2m 2 E U 0, (3) стационарное уравнение Шредингера. Решение этого уравнения имеет бесконечное множество решений, но с учѐтом условий, накладываемых на ψ– функцию (регулярная, непрерывны первые производные, т.е. на ψ– функцию накладываются граничные условия), отбираются только решения, имеющие физический смысл – собственные функции. Собственные функции существуют лишь при определѐнных значениях полной энергии Е, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений Е образуют энергетический спектр частицы. Если потенциальная энергия U – монотонная функция и U → 0 на бесконечности, то в области Е < 0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Отыскание собственных значений энергии Е и собственных ψ– функций составляет основную задачу квантовой механики. Движение свободной частицы Частица движется в отсутствие внешних полей, т.е. U = 0, E = Eк (полная энергия частицы равна кинетической энергии). Уравнение Шредингера для одномерного случая движения вдоль оси x: 2m 2 E 0 (3) 2 x 2 k2 дифференциальное уравнение плоской волны. Движение свободной частицы Решением (методом подстановки) является функция: x, t x t Ae e Ae i Формула Эйлера: e cos i sin . ikx it i t kx x, t ~ A cost kx(4) уравнение плоской волны. . Движение свободной частицы x, t Ae i t kx , E h , т.к. E h , , 2 px p h 2 k , (5) т.к. p , k . i x, t Ae Et px (6) плоская волна де Бройля. В последнем уравнении экспонента с минусом, но это не играет роль, т.к. физический смысл 2 имеет . x, t ~ A cost kx(4) Движение свободной частицы x, t Ae i Et px (6) Из уравнений (4), (6) следует, что свободная частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Все положения свободной частицы в пространстве равновероятны, т.к. вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства * A const . 2 2 Движение свободной частицы mv p k E (5) p k 2 2m 2m 2m 2 k 2 E коэффициент в уравнении (3). 2 2 k E собственные значения 2m энергии, как для обычной 2 2 2 2 нерелятивистской частицы, т.е. энергетический спектр свободной частицы – непрерывный. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме (ящике) с бесконечно высокими стенками U = ∞ Частица движется вдоль оси x. Энергия отсчитывается от дна ямы. Яма описывается потенциальной энергией U = ∞ U = 0 0 l l – ширина ямы x , x 0, U x 0, 0 x l , , x l , Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме Уравнение Шредингера для стационарного состояния в одномерном случае: 2m E U 0. 2 2 x 2 Из граничных условий следует: 1. бесконечно высокие стенки → частица не проникает за пределы ямы → вне ямы 0, 2. на границе ямы (x = 0, x = l) непрерывная функция ψ обращается в нуль: 0 l 0, 3. в яме U = 0 Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме 2m 2 2 E 0. x 2 в яме U = 0 k2 Дифференциальное уравнение гармонического 2 осциллятора: 2 x 2 k 0. Общее решение диф. уравнения: x Asin kx B cos kx, B 0. условие на границе: 0 0. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме x Asin kx, l Asin kl 0 условие на границе: l 0. n n 2 kl n k , k 2 . l l 2 2 2 p k 2m 2 E k 2 E. 2m 2m 2 2 2 n En , n 1 , 2 , 3 ..., 2 2ml 2 2 n En , n 1,2,3..., 2 2ml 2 2 2 т.е. уравнение Шредингера удовлетворяется только при собственных значениях En = En(n). Т.о. En принимает дискретные значения – квантуется. Квантованные значения En называются уровнями энергии. n – главное квантовое число определяет энергию уровня. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме x Asin kx, n n x A sin x, l 2 Условие нормировки: dV 1, n k . l В одномерном случае: 2 dx 1. n A sin l 0 l 2 2 x dx 1 n A sin x dx 1 l 0 на концах промежутка интегрирования l 2 2 n sin l 2 x 0, n A sin l 0 l 2 2 n sin l 2 1 x 2 2 1 x dx A l 1 2 2 A l 2 n n x sin x l l Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме 2 n n x sin x l l Собственным функциям 2 2 2 соответствуют уровни энергии E n . n 2 2ml Следовательно, энергетический интервал между двумя соседними уровнями: En En1 En 2 2 n 1 n 2 2 2ml 2 2 2 2 2 n 1 n . 2 2 2ml ml 2 n x П лотн ость вероятн ости о бн аруж и ть части ц у. n x E E 3 E 2 E 2 n sin x l l 0 n E 3 E 3 2 E 2 1 1 l n x x 2 n 3 2 1 E 1 0 l x – в точ ках части ц а н е м ож ет н аходи ться . Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме 2 2 En • Критерий l. ml 2 n. Свободный электрон в металле, размер ямы l 10 м En 10 n Дж 10 nэВ, 1 35 16 т.е. энергетические уровни расположены так тесно, что спектр можно считать непрерывным для зоны проводимости. Размер ямы соизмерим с атомом l 10 м En 10 10 17 n Дж 10 nэВ, 2 т.е. дискретные значения энергии, спектр – линейчатый. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Критерий n. En 2 n 1 1 En n соседние уровни расположены очень тесно, можно говорить о непрерывных уровнях, т.е. о энергетической зоне (квазинепрерывные уровни). 2 2 n 1 Emin 2ml 2 частица в потенциальной яме и не может иметь энергию меньше Emin. Все остальные уровни n >1 имеют Е > Emin. Задачи 1. Частица находится в основном состоянии в потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти вероятность нахождения частицы в первой трети ямы. 2 n x n 1 0 xl 1 0 x l 3 E n E 3 E 2 3 2 1 E 1 W-? 0 1 /3 l 2 /3 l l x Задача 1 Вероятность нахождения частицы в интервале 2 dx связана с плотностью вероятности соотношением: dW 2 dx, где ψ(x)– волновая функция, которая для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме: n 1 dW 2 n n x sin x. l l 2 2 1 2 2 x sin x dx sin dx. l l l l Задача 1 2 2 x 1 2 W sin dx sin 1 cos 2 l 2 0 l l 3 2 1 3 2 1 cos l 2 0 l l 1 l 2 x sin l 2 l 1 3 0,195. 3 4 x dx l 1 1 2 x sin 3 0 3 2 3 Задача 2 r a A ψ – функция некоторой частицы имеет вид e , r где r – расстояние этой частицы до силового центра, a – некоторая константа. Используя условие нормировки вероятности, определить нормировочный коэффициент A. r a A e r a const 2 dV 1. r dV 4r dr. 2 А-? dr dV Задача 2 2 A 0 r 2 e 4A e 2 0 2r a 2r a 4r dr 1. 2 4A a dr e 2 2 2r a 1 A . 2a 0 2A a 1 2 Задача 3 r2 Волновая функция, описывающая некоторую 2 частицу, имеет вид 2 a Ae где r – расстояние этой частицы до силового центра, a – некоторая константа. Определить среднее расстояние частицы до силового центра. Ae r2 2a2 a const r r ? Из условия нормировки ищется нормировочный коэффициент А: A 1 3 a 2 . 3 , dV 4r dr. 2 Задача 3 r r dV rA e 2 2 0 r2 a2 4r dr 2 0 r2 a2 4 3 4r 3 e dr r e dr . 3 2 3 a 0 0 a 1 2 1 3 cx x e 2 c ; c a2 . 3 1 r2 a2 2 4 1 2 2 2a r a . 3 a 2 Задача 4 Волновая функция, описывающая основное состояние r электрона в атоме водорода, имеет вид Ae a , где r – расстояние электрона от ядра, a – первый Боровский радиус. Определить наиболее вероятное расстояние электрона до ядра. Ae r a a const rвер- ? dW dV , dV 4r dr. 2 2 2r 2 2 a dW 4A r e dr . Задача 4 Вероятность обнаружить частицу на dr: dW 2 2 4A r e dr Наиболее вероятное расстояние: d 2 2 2 8A re 4A r e dr d 0 extr . dr 2r a 2r a 2r a . 2 , a Задача 4 8A re 2 2r a r 1 0 a rвер 1 0 rвер a. a