Тема 3. Решение задачи квантовой механики «о частице в яме». П.1. Частица в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме. П.2. Определение фазы ВФ и энергии частицы в яме П.3. Определение амплитуды ВФ частицы в яме П.4. Свойства ВФ частицы в яме 1 П.1. Частица в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме. Проблема: Решить до конца достаточно важную, но достаточно простую задачу квантовой механики. Решение: Таковой является задача о движении частицы внутри одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. 2 U Волновая функция вне ямы ψ = 0 , т.к. невозможно попасть в область бесконечных потенциальных энергий (например, нельзя взобраться на бесконечно высокую гору). U= ∞ U= ∞ U= 0 ψ = 0 ψ = 0 ψ(x) 0 L X Внутри ямы U = 0 и уравнение Шредингера выглядит так: d 2ψ ( x ) 8π 2 m + E ⋅ ψ ( x ) = 0. 2 2 dx h Это уравнение вида ψ xx + const ⋅ ψ = 0. Обращаемся к математике, которая говорит, что мы получили дифференциальное уравнение свободных колебаний координаты х. '' Его решение: ψ(x) = A Sin(Ωx+ϕ0), где Ω = const . 3 ТЕСТ Ответ: Решение для частицы в яме ψ ( x ) = ψ 0 sin(Ω x + ϕ 0 ), где Ω = 8π 2 m E. 2 h Замечание: Здесь 2 характеристики неизвестны – это амплитуда ψ0 и начальная фаза ϕ0 . Их мы будем находить в следующих пунктах. 4 П.2. Определение фазы ВФ и энергии частицы в яме Задача: Определить начальную фазу ВФ частицы в яме. Дополнительные уравнения, возникающие из граничных условий: 1) ψ(x=0) = 0 – первое граничное условие. 2) ψ(x=L) = 0 – второе граничное условие. Рассмотрим первое: ψ(x=0) = ψ0Sin(0+ϕ0) = ψ0Sin(ϕ0) = 0. Это выполняется в двух случаях: 1. ψ0 = 0 , но тогда ψ(x) = 0 и частица вообще отсутствует, что неинтересно, 5 2. Sin(ϕ0) = 0 и тогда ϕ0 = 0. Вопрос: Что дает второе граничное условие? Перепишем его: ψ(x=L) = ψ0Sin(ΩL) = 0, отсюда Sin(ΩL) = 0, что выполняется, π если Ωn L = nπ или имеем ряд (набор чисел) Ω где n = 1, 2, 3, ... – любые целые числа. Но Ω = отсюда 8π 2 m E, 2 h следовательно Ω n = n = n , L 8π 2 m π En = n , 2 h L h 2Ω 2n h 2 2 - формула квантования En = = n 2 2 энергии частицы в яме. 8π m 8mL Квантованием некоторой физической характеристики называется явление, когда эта характеристика может принимать значения только из определенного набора чисел. 6 ТЕСТ П.3. Определение амплитуды ВФ частицы в яме Задача: Найти амплитуду волновой функции ψ0 . Используем: условие нормировки ВФ: L 2 ( ψ ( x )) ∫ n dx = 1. 0 Подставим сюда первую ВФ частицы в яме (n = 1): x ψ 1 ( x ) = ψ 0 sin 1 ⋅ π : L L 1 Известно: sin α = (1 − cos 2α ) , 2 x ψ ∫ sin π dx = 1. L 0 2 0 2 2 L Вычислим I(ψ n ) = x ∫0 sin π L dx. 2 7 L L L 1 x 1 x I( ψ 1 ) = ∫ 1 − cos 2π dx = ∫ dx − ∫ cos 2π dx = 20 2 0 L L 0 L ψ1 x 0 Sin2(α) L 1 L x L L = L− sin 2π = 2 2π L 0 2 1 Используя условие нормировки, получаем: 1/2 0 1 1 L x x = ( L − 0) − ∫ cos 2π d 2π = 2 2 0 2π L L x L ψ ⋅ = 1⇒ ψ 0 = 2 2 0 ОТВЕТ: набор волновых функций частицы в яме: 2 ⇒ L 2 x ψn= sin nπ . L L 8 ТЕСТ П.4. Свойства ВФ частицы в яме Вопрос: Как ведет себя частица в яме? 2 x sin nπ . L L Ответ: Так, как показывает ее волновая ψ n ( x ) = функция! ψ 12 Стационарным ψ1 x x состоянием движения 0 02 L L частицы называют ψ 2 ψ2 x движение частицы, x описываемой 2 ψ3 ψ3 стационарной волновой x x функцией (которая является решением Есть «излюбленные» места стационарного уравнения пребывания частицы в яме. Шредингера). 9 Стационарное движение – это движение, не изменяющееся со временем. Каждая функция ψ n приписывается некоторому стационарному состоянию движения частицы. Энергия частицы в каждом состоянии: 2 π 2 2 En = n . 2 2m L Вывод: En ~ n2. Уровни энергии расположены на разных расстояниях друг от друга или неэквидистантно. Значения, которыми физическая характеристика может обладать, называются разрешенными или доступными, а значения, которыми она не может обладать, называются запрещенными. 10