Электромагнитные волны Примеры решения задач Пример 1. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно d. Между обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение U = U m sin ωt . r Пренебрегая краевыми эффектами, найдите магнитное поле H в пространстве между обкладками конденсатора. Решение. Воспользуемся теоремой о циркуляr ции вектора H с учетом тока смещения: r r r ⎛ r ∂D ⎞ r ∫L Hdl = ∫S ⎜⎜ j + ∂t ⎟⎟dS , ⎝ ⎠ d где L - замкнутый контур, S - поверхность r ограниченная этим контуром, j - плотность Замкнутый контур L – окружность радиуса r r тока проводимости, ∂D / ∂t - плотность тока r r r r r r смещения, D = εε 0 E , E - вектор напряженности электрического поля, H = B / μμ 0 , B вектор индукции магнитного поля. В качестве контура L выберем окружность радиуса r , центр которой лежит на оси системы между металлическими дисками. Будем считать, что r < R , где R - радиус дисков. В качестве поверхности S выберем плоскую поверхность, ограниченную контуром L , то есть круг радиуса r . Плотность тока проводимости во всех точках этой поверхности равна нулю r r ( j = 0 ), а вектор напряженности E перпендикулярен этой поверхности, причем E = U / d . Поэтому поверхностный интеграл в теореме о циркуляции равен r ⎛ r ∂D ⎞ r εε 0 εε 0 ⎜ ⎟ j + d S = ω U cos ω t dS = ωU m cos ωt πr 2 . m ∫ ⎜⎝ ∂t ⎟⎠ ∫ d d S S В силу симметрии магнитные линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей осью, совпадающей с осью конденсатора. Поэтому: r r H ∫ dl = H ∫ dl = H 2πr . L Окончательно получим: H = L εε 0 ωr U m cos ωt . 2d Пример 2. Электромагнитная волна переходит из вакуума в немагнитный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. При этом амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля уменьшилась в m раз. Во сколько раз уменьшилась амплитуда колебаний вектора магнитной индукции. 1 Решение r r Амплитуды колебаний векторов напряженности E m и индукции Bm в электромагнитной волне связаны соотношением E m = υB m , где υ = c / με - фазовая скорость волны. Записывая это соотношение для вакуума E m1 = cBm1 и для немагнитной ( μ = 1 ) среды c Bm 2 , ε Em 2 = получим после простых преобразований B1 / B2 = m / ε . Пример 3. В вакууме в положительном направлении оси X распространяется плоская электромагнитная волна частотой ω = 3⋅109 с–1. В некоторый момент времени в точке с координатами (0,1 м, 0,2 м, 0,3 м) фаза колебаний вектора напряженности электрического поля равна ϕ1 = π . Определите в этот момент времени фазу колебаний ϕ 2 вектора магнитной индукции в точке с координатами (0,2 м, 0,4 м, 0,6 м). Решение r r В плоской электромагнитной волне колебания векторов E и B в точке, опредеr ляемой вектором r , описываются формулами: ( ( ) ) rr r r E = E m cos ωt − k r + α , rr r r B = Bm cos ωt − k r + α , r r где k - волновой вектор, | k |= 2π / λ = ω / c , α - начальная фаза колебаний. Вычислим rr скалярное произведение k r , учитывая, что при распространении волны вдоль оси X k y = kz = 0 : rr k r = k x rx + k y ry + k z rz = k x rx = kx . Отсюда: ϕ1 = ωt − kx1 + α , ϕ 2 = ωt − kx2 + α , и ϕ 2 = ϕ1 − k ( x 2 − x1 ) = ϕ1 − (ω / c)( x2 − x1 ) = π − 1 . 2 Пример 4. Максимальное значение модуля вектора напряженности электрического поля плоской монохроматической электромагнитной волны в вакууме равно Em. Определите интенсивность волны (среднее значение модуля вектора Пойнтинга). Решение В плоской электромагнитной волне rr rr r r r r E = E m cos(ωt − k r ) , B = Bm cos(ωt − k r ) , r r r где векторы E m , Bm и k взаимно перпендикулярны, E m = cBm и ε 0 μ 0 = 1 / c 2 . Вектор Пойнтинга (вектор плотности потока энергии) равен r rr S = [ EH ] , r r r r где H = B / μμ 0 (в вакууме μ = 1 ). Учитывая ортогональность векторов E и H , получим для модуля вектора Пойнтинга: ( ) ( ) ( ) rr rr rr r E m2 2 S = E m ( Bm / μ 0 ) cos ωt − k r = cos 2 ωt − k r = ε 0 cE m2 cos 2 ωt − k r . cμ 0 rr Поскольку среднее значение cos 2 ωt − k r = cos 2 α = 1 / 2 получим для интенсивности ( ) волны: r I = S = ε 0 cE m2 / 2 . Пример 5. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I. Найдите поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R. Решение I I r E l r S r E r H Вектор Пойнтинга определяется формулой r r rr S = [ EH ] , r r r r где, H = B / μμ 0 , B - вектор индукции магнитного поля, E - вектор напряженности электрического поля в рассматриваемой точке. Нас интересуют точки, лежащие на поверхности цилиндрического провода. Магнитные линии являются концентрическими окружностями, центры которых леr жат на оси проводника, векторы H направлены по касательным к этим окружностям. На r r r рисунке для двух точек поверхности проводника показаны векторы E , H и S . При поr мощи теоремы о циркуляции найдем модуль вектора H : H 2πr = I , 3 r где r - радиус проводника. Поэтому | S |= EH = верхность проводника равен EI , а поток энергии через боковую по2πr r Φ =| S | A , где A = l 2πr - площадь боковой поверхности, l - длина проводника. Окончательно получим: Φ = ElI = UI = I 2 R . 4