"'

"'
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Задачи заочного тура олимпиады
Физика
1. Äâà òåëà áðîñèëè îäíîâðåìåííî èç îäíîé òî÷êè: îäíî
âåðòèêàëüíî ââåðõ, äðóãîå ïîä óãëîì θ = 60o ê ãîðèçîíòó.
Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êàæäîãî òåëà ðàâíà v0 = 25 ì ñ . Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè ÷åðåç τ = 1,7 c . (10 áàëëîâ)
2. Ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó íàäî áðîñèòü òåëî ìàññîé
Ì, ÷òîáû ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà åãî ïîäúåìà ðàâíÿëàñü
äàëüíîñòè ïîëåòà, åñëè íà òåëî äåéñòâóåò ñ ïîñòîÿííîé ñèëîé
F ãîðèçîíòàëüíûé ïîïóòíûé âåòåð? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ ðàâíî g. (10 áàëëîâ)
3. Íà ñòîëå ëåæèò äîñêà ìàññîé Ì, íà îäíîì êîíöå êîòîðîé
íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé m. Áðóñêó ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0
âäîëü äîñêè. Êàêîå âðåìÿ âñÿ ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòüñÿ â
äâèæåíèè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé è áðóñêîì µ1 , à ìåæäó äîñêîé è ñòîëîì µ 2 ? (10 áàëëîâ)
4. Òåìïåðàòóðà îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà
2
ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó T = aV . Íàéäèòå òåïëîåìêîñòü ãàçà â
ýòîì ïðîöåññå. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ ðàâíà R.
(10 áàëëîâ)
5. Â öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ âîçäóõ ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 100 o C , èìåþùèé îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü
ϕ = 40% . Âî ñêîëüêî ðàç ñëåäóåò èçìåíèòü îáúåì âîçäóõà,
o
÷òîáû ïðè åãî îõëàæäåíèè äî òåìïåðàòóðû t2 = 20 C íà
ñòåíêàõ ñîñóäà âûïàëà ðîñà? Íîðìàëüíîå àòìîñôåðíîå äàâ5
ëåíèå p0 = 10 Ïà, äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà
3
ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ pí = 2,3 ⋅ 10 Ïà . (10 áàëëîâ)
6. Â äâóõýëåêòðîäíîé ëàìïå íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëîñêèìè
ýëåêòðîäàìè ñîñòàâëÿåò 22 êÂ. Ýëåêòðîíû óäàðÿþò îá àíîä
ñ îáùåé ñèëîé 1 ìêÍ. Óäàðû íåóïðóãèå. Êàêîé ñèëû òîê
òå÷åò ÷åðåç ëàìïó? Îòíîøåíèå çàðÿäà ýëåêòðîíà ê åãî ìàññå
11
ðàâíî 1,76 ⋅ 10 Êë êã . (10 áàëëîâ)
7. Ïó÷îê ïðîòîíîâ âëåòàåò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ
èíäóêöèåé 0,1 Òë ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Ïðîòîíû äâèæóòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñîì 20 ñì è
ïîïàäàþò íà çàçåìëåííóþ ìèøåíü. Íàéäèòå òåïëîâóþ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùóþñÿ â ìèøåíè, åñëè ñèëà òîêà â ïó÷êå
0,1 ìÀ. Îòíîøåíèå çàðÿäà ïðîòîíà ê åãî ìàññå ðàâíî
0,96 ⋅ 108 Êë êã . (10 áàëëîâ)
8. Íà ëó÷å ÎÀ (ñì. ðèñóíîê) ðàñïîëîæåíî áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ âåëè÷èíîé q òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó î÷åðåäíûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè çàðÿäàìè óäâàèâà-
ÎÒÂÅÒÛ,
1. Ïðåîáðàçîâàâ âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè èñõîäíîãî
òîæäåñòâà ê âèäó
3
2
çàïèøåì ðàçíîñòü ìåæäó ïðàâîé è ëåâîé åãî ÷àñòÿìè:
@
E
3 ab2 + ac2 + a2b + a2c + bc2 + b2 c − 6 abc = 0 .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî òîæäåñòâó
>
x+5 <
C
2
>
+b c−a
C
2
>
+c a−b
C
2
x−2 +
x − 3 . (20 áàëëîâ)
2. Ïðîâåðüòå ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà
arcsin
4
5
2
+ arccos
5
= arcctg
= 0.
Ïîñêîëüêó ÷èñëà à, b, ñ ïîëîæèòåëüíû, òî ýòî ðàâåíñòâî
âîçìîæíî ëèøü â îäíîì åäèíñòâåííîì ñëó÷àå: a = b = c.
2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê A, B, C, D, E, F, K ïëîñêîñòè
2
11
. (20 áàëëîâ)
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
> C
2
lg − x = lg x . (10 áàëëîâ)
4. Ãðóïïà ñòóäåíòîâ, ñîñòîÿùàÿ èç 30 ÷åëîâåê, ïîëó÷èëà íà
ýêçàìåíå îöåíêè 2, 3, 4 è 5. Ñóììà ïîëó÷åííûõ îöåíîê ðàâíà
93, ïðè÷åì îöåíîê 3 áîëüøå, ÷åì ïÿòåðîê, íî ìåíüøå, ÷åì
îöåíîê 4. Êðîìå òîãî, ÷èñëî ÷åòâåðîê äåëèëîñü íà 10, à ÷èñëî
îöåíîê 5 áûëî ÷åòíûì. Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî êàêèõ îöåíîê
ïîëó÷èëà ãðóïïà. (25 áàëëîâ)
5. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ îñòðûì óãëîì 30°
ïðîâåäåíà âûñîòà CD èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà Ñ. Íàéäèòå
ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â
òðåóãîëüíèêè ÀÑD è BCD, åñëè ìåíüøèé êàòåò òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 1. (25 áàëëîâ)
ÐÅØÅÍÈß
→
→
→
→
→
→
→
AF = AD + DK + KF , CE = BE − BC .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ïàðàëëåëîãðàììîâ ABCD è CEFK
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
→
→
→
→
KF = CE , AD = BC ,
2
a + b + c + 3ab + 3ac + 3a2b + 3a2c + 3bc2 + 3b2c − 18abc À,
a b−c
1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
ñïðàâåäëèâû âåêòîðíûå ðàâåíñòâà
Конкурс«Математика6–8»
3
Математика
ÓÊÀÇÀÍÈß,
(ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 2001 ã.)
3
åòñÿ. Îïðåäåëèòå ïîR R
R
"R
òåíöèàë ïîëÿ â òî÷êå O q q
q
q
A
Î (íà÷àëî ëó÷à), ãäå
çàðÿäà íåò, à äî ïåðâîãî çàðÿäà ðàññòîÿíèå ðàâíî R. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ
ðàâíà ε 0 . (10 áàëëîâ)
9. Â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå èìåþòñÿ îäíîâðåìåííî
îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé Â = 0,2 Òë è
îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å, äâèæåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èçâåñòíî, ÷òî â òîò ìîìåíò
âðåìåíè, êîãäà ñêîðîñòü çàðÿäà ðàâíà v = 500 ì/ñ è
íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó ìàãíèòíîé èíäóêöèè,
óñêîðåíèå çàðÿäà ðàâíî íóëþ. Ïðåíåáðåãàÿ ñèëîé òÿæåñòè,
îïðåäåëèòå âåëè÷èíó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
(10 áàëëîâ)
10. Íåïðåðûâíîå èçëó÷åíèå ëàçåðà ìîùíîñòüþ 600 Âò
ïðîäîëæàëîñü 20 ìñ. Èçëó÷åííûé ñâåò ïîïàë íà êóñî÷åê
èäåàëüíî îòðàæàþùåé ôîëüãè ìàññîé 2 ìã, ðàñïîëîæåííûé
ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåë êóñî÷åê ôîëüãè? (10 áàëëîâ)
âûâîäèì
→
→
→
→
→
AF = DK + BE .À
→
→
→
→
Ïî
óñëîâèþ
DK | | BE , ïîýòîìó AF | | DK , AF | | BE . Âåêòîðû
→
→
DK è BE ìîãóò áûòü ñîíàïðàâëåíû (ðèñ.1) èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû (ðèñ.2).  ïåðâîì ñëó÷àå
→
→
→
→
| AF | =| BE | + | DK| = a + b ; âî âòîðîì ñëó÷àå | AF | = a − b èëè
→
→
| AF | = →b − a â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé èç âåêòîðîâ BE
èëè DK äëèííåå.