Расчет колебаний двухслойной пластинки при

Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Расчет колебаний двухслойной пластинки при кинематическом
воздействии
Круглов К.М., Рыбакова М.Р., к.т.н., доц Щербаков В.И.
Московский государственный технический университет «МАМИ»
В последнее время в области машиностроения все больше возрастают
экологические и санитарные требования. В частности это касается требований по уровню
шума автомобиля, прописанных в нормах ЕЭК ООН №51-02.
В автомобиле множество источников шума, но основным является его двигатель.
Излучение звука вследствие вибрации наружных поверхностей корпусных деталей
является одним из основных источников шума двигателя. Поставлена задача уменьшения
шума клапанной крышки двигателя за счет изменения ее конструкции с использованием
многослойной оболочки. Для решения поставленной задачи необходимо найти закон
вынужденных колебаний клапанной крышки, передаваемых ей от работающего двигателя.
В качестве первого приближения поставленной задачи рассмотрим защемленную
по контуру пластину, с внешней нагрузкой в виде вибрации по кромкам опорного контура
по закону ξ = ξ (t ) . В данной модели роль верхней горизонтальной поверхности
клапанной крышки выполняет заданная пластина, а вертикальные участки,
подкрепленные ребрами жесткости смоделированным в виде защемления.
Рисунок 1 - Клапанная крышка двигателя
Рисунок 2 - Модель защемленной
пластины
где ϖ ( x. y.t ) - функция прогибов.
Запишем дифференциальное уравнение изгиба пластины:
⎡ ∂ 4ϖ
∂ 4ϖ
∂ 4ϖ ⎤
(1)
D ⎢ 4 + 2 2 2 + 4 ⎥ = q ( x, y ) ,
∂x ∂y
∂y ⎦
⎣ ∂x
Eh 3
- цилиндрическая жесткость пластины,
12(1 − μ 2 )
E - приведенный модуль упругости многослойной пластины;
μ - приведенный коэффициент Пуассона многослойной пластины;
q( x, y ) - интенсивность внешней распределенной нагрузки.
В случае колебаний пластины вместо q( x, y ) следует подставить q( x, y, t ) ,
состоящую из трех слагаемых:
q ( x, y , t ) = q F ( x , y , t ) − q С ( x , y , t ) − q И ( x , y , t ) ,
где D =
где q F , qС , q И - интенсивности внешней нагрузки, сил сопротивления и сил инерции
соответственно.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
75
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Введем характеристики сопротивления и инерции:
∂ϖ ( x, y, t )
q С ( x, y , t ) = B
,
∂t
где B - коэффициент вязкого сопротивления единицы поверхности пластины;
∂ 2ϖ ( x, y, t )
,
q И ( x, y , t ) = m
∂t 2
где m - масса единицы поверхности пластины.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний примет вид:
∂ϖ
∂ 2ϖ
4
D∇ ϖ + B
(2)
+ m 2 = q F ( x, y , t ) ,
∂t
∂t
∂ 4ϖ
∂ 4ϖ
∂ 4ϖ
где ∇ 4ϖ = ∇ 2 ∇ 2ϖ = 4 + 2 2 2 + 4 .
∂x
∂x ∂y
∂y
В случае задания внешнего нагружения в виде одной вибрации по кромке опертого
контура пластины по закону ξ = ξ (t ) , уравнение примет вид:
∂ϖ
∂ 2ϖ
∂ 2ξ
(3)
+ m 2 = −m 2 .
∂t
∂t
∂t
Свободные колебания описываются уравнением
∂ϖ
∂ 2ϖ
D∇ 4ϖ + B
(4)
+ m 2 = 0.
∂t
∂t
Приняв B = 0 , можно найти собственные колебаний описываемые функцией
ϖ ( x, y, t ) = f ( x, y ) ⋅ Cosω 0 t ,
(5)
где f ( x, y ) - форма или амплитудная функция колебаний;
Cosω 0 t - функция времени t ;
ω 0 - частота собственных колебаний.
Подставив (5) в (4), получим уравнение
ω 2m
∇ 4 f ( x, y ) −
f ( x, y ) = 0 ,
(6)
D
или
∇ 4 f ( x , y ) − α 4 f ( x, y ) = 0 ,
(7)
D∇ 4ϖ + B
где α 4 =
ω 2m
.
D
Таким образом, уравнение (7) может быть представлено в виде:
(∇ 2 − α 2 )(∇ 2 + α 2 ) f ( x, y ) = 0 .
Откуда ясно, что решениями его являются, в частности решения более простых
уравнений:
(∇ 2 − α 2 ) f ( x, y ) = 0 и (∇ 2 + α 2 ) f ( x, y ) = 0 ,
Если из (6) будет найдено выражение для f ( x, y ) , то входящие в него четыре
постоянные интегрирования могут быть найдены из граничных условий:
∂f ( x, y )
f ( x, y ) = 0 ;
= 0 , при x = 0 и x = a ;
∂x
∂f ( x, y )
f ( x, y ) = 0 ;
= 0 , при y = 0 и y = b .
∂y
В результате реализации граничных условия по два для каждой кромки пластины,
получим систему однородных алгебраических уравнений относительно постоянных
интегрирования. Равенство нулю определителя этой системы даст трансцендентное
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
76
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
уравнение для определения собственных частот или частное уравнение (ω1 , ω 2 ,..., ω n ) .
Каждой собственной частоте (ω1 , ω 2 ,..., ω n ) будет соответствовать своя форма колебаний
( f1 , f 2 ,..., f n ) .
Тогда для прогиба при свободных колебаниях можем написать
∞
ϖ ( x, y, t ) = ∑ f n ( x, y ) ⋅ Cosω n t .
(8)
n =1
Решение задачи о вынужденных колебаниях, т.е. решение дифференциальных
уравнений (3), можно найти в виде разложения по собственным формам колебаний:
∞
ϖ ( x, y, t ) = ∑ f n ( x, y ) ⋅ qk (t ) ,
(9)
n =1
где f n ( x, y ) - n-ая собственная форма колебаний (найденная из решения задачи о
свободных колебаниях);
qk (t ) - главная координата.
Задача состоит в определении функции qk (t ) .
Подставив (9) в (3), имеем
∞
∂ 2ξ
4
&
&
&
Dq
f
B
q
f
m
q
f
m
. (10)
∇
+
+
=
−
∑
n
n
n n
n n
∂t 2
n =1
Умножив (10) скалярно на f k ( x, y ) , с учетом ортогональности собственных форм
колебаний получим следующую систему независимых уравнений:
d 2ξ
Μ k q&&k + β k q& k + λk qk = Qk (t ) = (−m 2 , f k ( x, y )) , (11)
dt
a b
a b
a b
d 2ξ
где Μ k = ∫ ∫ m ⋅ f k ( x, y )dxdy , β k = ∫ ∫ − B ⋅ f k ( x, y )dxdy , Qk = ∫ ∫ − m 2 ⋅ f k ( x, y )dxdy , λk dt
0 0
0 0
0 0
соответственно обобщенная масса, обобщенный коэффициент демпфирования,
обобщенная сила и обобщенный коэффициент жесткости соответствующие k-ой форме
колебания пластины.
Уравнение (11) также можно представить в виде:
Q (t )
q&&k + 2nq& k + ωk2 qk = k , (12)
Μk
где 2nk =
βk
Μk
и ωk2 =
λk
Μk
ω - k-ая собственная частота.
2
k
Таким образом, поставленная задача сведена к решению уравнений (12).
Используя полученное решение и варьируя геометрический параметр h и
физические параметры E и μ материала, можно получить конструкцию,
удовлетворяющую поставленным требованиям.
В результате получена математическая модель вибрации клапанной крышки
двигателя в виде защемленной по контуру пластины. Получены зависимости для
нахождения собственных частот, собственных форм и вынужденных колебаний.
Литература
1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.: Высшая Школа 1980.408с.
2. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. – М.: Стройиздат., 1986.-316с.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
77
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
3. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е перераб. – М.:
Машиностроение, 1970. -736с.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
78