10.3. движение частиц в статическом электрическом поле

10.3. Движение зарядов в статическом электрическом поле
Пусть частица массой m, несущая положительный заряд q, двигаясь с постоянной скоростью v0, попадает в пространство между пластинами воздушного конденсатора с напряжённостью Е. В данном случае уравнение движение частицы (10.13) примет следующий вид
r
r
dv
m
= qE .
(10.22)
dt
Если оси координат выбрать так, как показано на рис. 10.5, то проекции вектора напряжённости будут равны: Ех = Еz = 0, Еу = Е, следовательно Сида Кулона, действующая на положительно заряженную частицу будет направлена вертикально вверх. Это даёт основание
записать векторное уравнение (10.23) в виде системы двух скалярных уравнений
dv x
⎫
= 0, ⎪
⎪
dt
(10.23)
⎬
dv y q ⎪
= E.
dt
m ⎪⎭
Рис. 10.5. Движение частицы в электростатическом поле
Решаемая задача движения аналогична задаче о горизонтальном броске тела в поле земного тяготения, что позволяет предположить, что частица будет двигаться по параболической траектории. Интегрирование системы уравнений (10.23) приводит с результату
dx
⎫
= const = v 0 ;⎪
vx =
⎪
dt
(10.24)
⎬
q
⎪
v y = Et + C.
⎪⎭
m
В данном случае t = l v 0 есть время пребывания частицы в электрическом поле, С − постоянная интегрирования. В момент времени t =0 vy = 0, следовательно С = 0, поэтому
dy q l
(10.25)
vy =
= E .
dt m v 0
Угол отклонения частицы θ при её выходе из электрического поля определится как
dy dy dt q lE
tgθ =
=
=
.
(10.26)
dx dx dt m v 02
334
Как видно из полученного уравнения, угол отклонения θ зависит от удельного заряда
частицы q/m, чем и воспользовался Дж, Дж. Томсон при определении удельного заряда
электрона.
Выберем систему координат таким
образом, чтобы направление поля совпадало с направлением отрицательной оси
y (рис. 10.6). В начальный момент времени t = t0 начинает двигаться из точки с
r
радиус-вектором r0 , имея начальную
r
скорость v 0 . Уравнения движения в этом
случае можно записать следующим образом
r
r
E
a =q ,
(10.27)
m
r
Рис. 10.6. Траектория движения заряда
r
r
E
(10.28)
v = q t + v0 ,
m
r
r 1 E 2 r
(10.29)
r = q t + v0 t .
2 m
Эти уравнения разлагаются на компоненты в виде проекций на оси декартовой системы
координат
a x = 0;
⎫
⎪
E
⎪
a y = −q ;
m
⎪
⎪
v x = v x (0) ;
⎪⎪
(10.30)
⎬
E
v y = −q t + v y ( 0 ) ; ⎪
m
⎪
x = v x ( 0 ) t;
⎪
⎪
1 q 2
y=−
Et + v y ( 0 ) t.⎪⎪
2m
⎭
Уравнения системы (10.30) позволяют вычислять все кинематические параметры движения. В частности, уравнение траектории можно получить, исключая время из двух последних уравнений системы (10.30) путём подстановки t = x/vx(0)
1 q ex 2 v y ( 0 )
y=−
+
x,
(10.31)
2 m v 2x ( 0 ) v x ( 0 )
что подтверждает предположение о параболической форме траектории. Рассмотрим далее
несколько частных случаев движения.
Начальная скорость равна нулю. Это означает, что частица стартует из состояния покоя, уравнения движения примут вид
E
⎫
a y = −q ; ⎪
m
⎪
E
⎪
(10.32)
v y = −q t ; ⎬
m
⎪
1 q 2⎪
y=−
Et .⎪
2m
⎭
Уравнения (10.32) соответствуют механическому случаю свободного падения. Если расстояние между обкладками равно d, то время падения частицы между пластинами составит
335
m1
.
(10.33)
q E
Двигаясь от пластины к пластине с ускорением ау, частица приобретает кинетическую
энергию, которую отдаёт при соударении, тем самым, производя разогрев поверхности. Если в месте падения частицы сделать отверстие, то пролетевшая через него частица будет
двигаться далее с постоянной конечной скоростью. Конечное значение энергии частицы определится следующим соотношением
2
mv 2y m(a y t d ) 1 q 2 E 2
m1
=
= m 2 2d
= qEd = qU ,
(10.34)
2
2
2
m
q E
где U − разность потенциалов между пластинами. Таким образом, в полном соответствии с
законом сохранения энергии произошло преобразование потенциальной энергии частицы П
= qU в кинетическую энергию, которая затем после соударения рассеивается в виде тепла.
Конечная скорость частицы в момент достижения пластины составит
2qU
.
(10.35)
vy =
m
Как видно из уравнения (10.35) конечные скорости частиц с одинаковым зарядом, но
разными массами будут отличаться. Так, например, если в потоке ускоряется смесь различных по массе ионов с одинаковым зарядом, то, пройдя вторую пластину, они пролетят разные горизонтальные расстояния.
t d = 2d
Начальная скорость перпендикулярна электрическому полю. Этот случай движения
частицы соответствует горизонтальному броску тела массой m в поле силы тяжести. Уравнения движения для этого случая запишутся следующим образом
x = v x ( 0 ) t;
⎫
⎪
(10.36)
1 q E 2⎬
t .⎪
y=
2 m v x (0) ⎭
Уравнение траектории в этом случае принимает вид
1 q E 2
y=
x .
(10.37)
2 m v 2x ( 0 )
Рассмотрим далее отклонение
пучка термоэлектронов, ускоряемых
разностью потенциалов Ub и влетающих в пространство между двумя горизонтальными пластинами, между
которыми установлена разность потенциалов Ua. На расстоянии L от
середины пластин (рис. 10.7) установлен вертикальный флуоресцентный экран, регистрирующий в виде
светового пятна место падения электронов.
На основании уравнения (10.26) с
учётом принятых на рис. 10.7 обозначений можно для угла отклонения α
записать следующее уравнение
Рис. 10.7. Электростатическое отклонение
⎡q E ⎤
El
⎡ dy ⎤
tgα = ⎢ ⎥ = ⎢
x⎥ = q
.
(10.38)
2
mv 2x ( 0 )
⎣ dx ⎦ x =l ⎢⎣ m v x ( 0 ) ⎥⎦ x =l
С учётом того, что касательная к траектории пересекает ось х в точке x = l уравнение касательной примет вид
336
l⎞
l⎞
E
⎛
⎛
l⎜ x − ⎟ ,
y = tgα⎜ x − ⎟ = q
2
2⎠
mv x ( 0 ) ⎝
2⎠
⎝
следовательно, отклонение D будет составлять
E
D=q
lL .
mv 2x ( 0 )
(10.39)
(10.40)
Значение начальной скорости электронов определится величиной ускоряющей разности
потенциалов Ub
2q
v x (0) =
Ub .
(10.41)
m
Разность потенциалов между отклоняющими пластинами даёт основание для определения напряжённости электрического поля E = U a d . Окончательное отклонение, таким образом, представится следующим образом
lU a L
D=
.
(10.42)
2dU b
Следует заметить, что отклонение частицы не зависит от заряда и массы частицы, а определяется исключительно значениями разгонного и отклоняющего потенциала, следовательно, визуализируя на экране ординату точки D можно определять удельный заряд частиц,
в частности электронов. Уравнение (10.42) по сути реализуется в электронно-лучевых трубках осциллографов и телевизионных кинескопов.
337