Лекция 6

Лекция 6
Момент импульса материальной точки
2. Момент импульса твердого тела
Закон изменения момента импульса, гироскоп
4. Работа постоянной и переменной силы
5. Мощность, К.П.Д.
1.
3.
1. Момент
импульса материальной точки
Рассмотрим движение материальной точки массой m по окружности радиуса r
Запишем основное уравнение вращательного движения
0
ε
I·ε = M
m
r
Учитывая, что I
V
ω
получим
L
= mr²; ε = аτ / r; аτ = dV/dt,
1 dV
mr ⋅
=M
r dt
2
dV
mr
=M
dt
или
(6.1)
Внесем в уравнении (6.1) mr под знак дифференциала, т.к. mr не зависит от t
d
(mrV ) = M
dt
Обозначим величину
mVr = L
(6.2)
Эту величину называют моментом
(6.3)
импульса материальной точки
Момент импульса – это величина векторная
[ ]
L = r ⋅P
(6.4)
где P = mV - импульс материальной точки, r - радиус-вектор
Для движения по окружности r ⊥ P , поэтому L = r·Рsin90º = r·P = r·mV
Из формулы (6.4) видно, что направление вектора
определяется правилом правого винта
L
L
↑↑
ω
2. Момент импульса твердого тела
0‫׳‬
L
ω
Разобьем тело на элементарные участки массой ∆mi,
которые будем считать материальными точками
Li Vi
∆mi
ri
Каждая такая частичка будет иметь свой момент
импульса относительно оси вращения
Li = ∆miVi ri
Учитывая, что Vi
0
= ω·ri, получим Li = ∆mi·ri²·ω
Так как все векторы Li направлены по оси вращения,
2
то момент импульса тела L = ∑ Li = ω ∑ ∆mi ri (6.5)
В выражении (6.5)
∑ ∆m r
i i
i
2
i
= I - это момент инерции тела
i
Следовательно,
L = I ⋅ω
(6.6)
Момент импульса абсолютно твердого тела относительно оси вращения
равен произведению его момента инерции относительно той же оси на
угловую скорость
3. Закон изменения момента импульса тела или
системы тел
Запишем основной закон динамики вращательного движения твердого тела
I ⋅ε = ∑ Mi
(6.7)
L
i
Выразим этот закон через момент импульса
Для этого подставим в (6.7) выражение для углового ускорения
dω
I
= ∑Mi
dt
i
В результате получим
dω
ε =
dt
(6.8)
Так как I не зависит от времени, внесем I под знак дифференциала
d
(I ⋅ ω) = ∑ M i
dt
i
Так как
(I ⋅ ω) = L
(6.9)
это
∆L
= ∑ M i (6.10)
, то получим
∆t
i
закон изменения
момента импульса
Изменение момента импульса тела или системы тел равно сумме
моментов внешних сил, приложенных к телу или системе тел
Этот закон аналогичен закону изменения импульса тела d P
=
при поступательном движении
dt
∑ Fi
i
Практическое применение закона изменения момента импульса
• изготовление нарезного оружия, в стволах которых пули получают
вращательное движение
∆L
L
с – центр тяжести пули
L′
Если нет вращения, то врезультате действия силы
сопротивления воздуха F пуля
или снаряд кувыркаются,
F
M
так как сила создает момент M
с
В случае вращательного движения пули вокруг оси с моментом
импульса
L
, в результате действия момента внешних сил
момент импульса
L получит приращение ∆L
M
за время ∆t
∆L
= M ⇒ ∆L = M ⋅ ∆t
∆t
В результате получится новый момент импульса
Таким образом, конец вектора L
L ′ = L + ∆L
будет описывать окружность, а ось описывает конус,
то есть пуля сохраняет направление оси вращения (такое движение называют прецессией)
Способность тела сохранять направление оси вращения называют
гироскопическим эффектом
Этот эффект используют в гироскопах ( изобрёл французский физик Ж. Фуко в 1852г)
• Гироскоп – это массивное симметричное тело, вращающееся с большой
угловой скоростью вокруг оси симметрии. Ось вращения может свободно
поворачиваться в любом направлении.
Это делается с помощью специального подвеса, который
обеспечивает изменение ориентации оси в 3х направлениях.
Угловая скорость прецессии определяется соотношением
M
Ω =
I ⋅ω
Из формулы видно, что чем больше угловая скорость
вращения тела, тем меньше угловая скорость прецессии
Ось вращения отклоняется пока действует момент сил и перестает отклоняться после того,
как действие момента сил прекратится
Другие примеры использования гироскопического эффекта:
Велосипед; детский волчок; автопилот – обеспечивает автоматическое
управление самолетом, ракетой
4. Работа постоянной и переменной силы
Реальное перемещение тел осуществляется только под действием сил. Поэтому можно
связать результат действия сил с перемещением. Такой характеристикой является работа.
• Работа постоянной силы – это скалярное произведение вектора
силы на перемещение, которое совершило тело под действием силы
A = ( F ⋅ ∆r ) = F ⋅ ∆r ⋅ cos α
1
α
силы, перемещения и направления силы к перемещению
∆r
F
Работа – величина
скалярная
Из формулы (6.11) видно, что работа зависит от величины
2
∆S
(6.11)
Пусть материальная точка перемещается из положения 1
в положение 2 под действием силы
Будем уменьшать перемещение
Тогда формула (6.11)
будет иметь вид:
∆r
F
, в пределе получим │∆r│= ∆S
∆ A = F ∆ S ⋅ cos α
(6.12)
это элементарная
работа силы F
F
= const
Если величина силы во время движения остается постоянной, то есть
то работа этой силы будет равна
A = F ⋅ S ⋅ cosα
(6.13)
Из формул (6.11) 1) если α < 90º, соsα > 0 – работа положительная, сила – движущая
2) если α > 90º, cosα < 0 – работа отрицательная, сила сопротивления
и (6.13) видно
3) если α = 90º, cosα = 0 – работа равна нулю
• Работа переменной силы
Если величина силы F не остается постоянной во время движения, то для вычисления
работы следует весь путь S разбить на элементарные отрезки ∆S, настолько малые, чтобы
величину силы на этом участке можно было считать постоянной.
Пусть материальная точка движется по криволинейной
2
траектории под действием переменной силы F
из положения 1 в положение 2
S
Работа на элементарном отрезке ∆ S i будет равна
∆S i
1
α
∆Ai = Fi ⋅ ∆S i ⋅ cos α
Fi
Работа на всем пути (1-2) вычисляется как сумма элементарных работ ∆ A i
n
A12 = ∑ Fi ⋅ ∆S i ⋅ cos α
(6.14)
i =1
При устремлении ∆S → 0, а числа отрезков n → ∞ получится строгое равенство
n
2
i =1
1
A12 = lim ∑ Fi ∆S i cos α = ∫ FdS cos α
∆S →0
2
A12 = ∫ FdS cos α
1
(6.15)
Работа переменной силы на участке (1-2)
Формула (6.15) позволяет рассчитать работу переменной
силы при перемещении на произвольной траектории
Пример:
Работа, совершаемая при растяжении пружины
(работа силы упругости)
Если растяжение проводить медленно, то F
= -Fупр = kx
Сила F – величина не постоянная, она зависит от величины деформации х.
Направление силы F совпадает с деформацией (cosα = 1)
x2
Следовательно,
x2
2
x
A = ∫ Fdx cos α = ∫ kxdx = k
2
x1
x1
x2
x1
kx 22 kx12 - работа зависит только от начального и
A=
−
2
2 конечного положения конца пружины
Силы, работа которых не зависит от формы пути, а зависит только от
начального и конечного положения, называют консервативными
Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю
Примеры консервативных сил: сила упругости, сила тяжести
Пример неконсервативной силы – сила трения
5. Мощность, К. П. Д.
Одну и ту же работу можно совершать быстро и медленно. Для характеристики
такого обстоятельства вводится физическая величина – мощность.
Мощность – это работа, которую
совершает сила за единицу времени
N =
∆A
(6.16) - средняя мощность
∆t
Если сила меняется со временем, то мощность тоже не остается постоянной.
∆A dA , где dA =F· dS·cosα
В этом случае вводится мгновенная мощность N = lim
=
∆t →0 ∆t
dt (6.17)
Если на тело действует постоянная
сила, то из (6.17) видно
или
dS
d N = ( FdS ) = F
= ( F ⋅ V ) (6.18)
dt
dt
[N ] = 1Вт = 1 Джс
N = F ⋅ V ⋅ cos α
(6.19)
1л.с. = 736 Вт
Мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор
скорости, с которой движется точка приложенной силы.
Полная работа складывается из «полезной работы» А = А + А
пол
пот
и «работы потерь» (работы против сил сопротивления)
Апол
η
=
⋅ 100%
Апол Коэффициент полезного действия – это
А
К .П . Д . = η =
η < 1 (всегда)
А
отношение полезной работы к полной работе