8.1. момент силы и момент импульса

8. Момент импульса
8.1. Момент силы и момент импульса
Практика показывает, что одна и та же сила, будучи приложенной в разных точках механической системы, вызывает различные типы движений. Если линия
действия силы проходит через центр масс системы, то
следует ожидать возникновения поступательного движения. В случае смещения линии действия силы на
некоторое расстояние d, движение системы будет
иметь вращательную составляющую относительно оси,
проходящей через центр, перпендикулярно плоскости
чертежа (рис. 8.1).
Действие силы на механическую систему или твёрдое тело, таким образом, исчерпывающе характеризуется тремя величинами: модулем, направлением и линией действия. Все три величины можно объединить в
Рис. 8.1. Движение под действием сил
одну, введя понятие момента силы. Необходимо отметить, что моменты сил можно определять относительно центра (некой характерной точки) и оси, причём эти понятия связаны друг с другом, но не
являются эквивалентными. Их следует различать. Момент силы относительно центра является
величиной векторной, момент той же силы относительно оси представляется скалярной величиной, потому, что, по сути, представляется проекцией вектора момента силы на эту ось.
Пусть в точке А характеризуемой радиусr
r
вектором r , приложена сила F . Момент этой
силы относительно центра О определится в
виде векторного произведения [14]
r r
r
MO F = r × F ,
(8.1)
() (
)
( )
r
rr
r r
M О (F ) = r F sin r ; F .
(8.2)
r
Момент силы M o F не изменится, если
r
точку приложения силы F перенести в любую
()
точку, лежащую на линии её действия. Если
точку приложения силы переместить в A*, коРис. 8.2. Момент силы относительно центра
r*
торая охарактеризуется радиус-вектором r ,
то образуются два параллелограмма (рис. 8.2) с одинаковыми площадями т.к. они имеют общее
основание и одинаковые высоты. Это обстоятельство даёт возможность переносить силу по линии её действия, при этом момент силы не изменяется.
r r
r
Вектор M O F направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются векторы F
()
r
и r , направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта. Направление
момента силы относительно точки можно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор момента силы относительно неподвижного центра направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и центр О, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы
вращать тело против движения часовой стрелки.
Момент силы относительно оси определяется в виде произведения модуля действующей
силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, относиr
тельно которой определяется момент (рис. 8.3). Если сила F приложена в точке А и требуется
183
определить момент этой силы относительно оси z,
то необходимо провести линию действия силы (голубая пунктирная линия) и найти кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, т.е.
r
расстояние d, которое называется плечом силы F
r
(8.3)
d = r sin α .
Момент силы считается положительным, если он
стремится вращать тело или систему материальных
точек против часовой стрелки. Отрицательным считается момент силы, стремящийся поворачивать тело в направлении, совпадающем с ходом часовой
стрелки
()
r
rr
M z F = F r sin α = ± Fd .
Рис. 8.3. Момент силы относительно оси
(8.4)
Момент силы не имеет специальной размерности, он измеряется в Н⋅м. Момент силы может быть равен нулю только в том случае, если длина плеча силы равна нулю.
В случае действия на тело плоской системы сходящихся сил, справедлива теорема Вариньона: момент равнодействующей плоской сходящейся системы сил относительно некоторой
точки, лежащей в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых
сил относительно той же точки.
( )
( )
k =n
r
r
M O R = ∑ M О Fk .
(8.5)
k =1
При рассмотрении особенностей движения механических систем целесообразно ввести в
рассмотрение момент импульса. Получим эту величину, используя уравнение второго закона
Ньютона, для чего выделим некоторую произвольную точку, обладающую массой mi и движущуюся со скоростью vi
r d(mi vr i )
.
F=
dt
(8.4)
Умножим векторно правую и левую часть уравнения (8.4) на радиус-вектор рассматриваемой
r
точки ri
r
r r
r
r r
d( ri × mi vi ) d( ri × p i )
ri × Fi =
=
.
dt
dt
(
)
(8.5)
Левая часть уравнения (8.5) является моментом силы
относительно центра, а величина, стоящая в правой
части в скобках представляет собой момент импульса
относительно той же точки
r
(rri × pr i ) = Li .
(8.6)
Момент импульса материальной точки относительно неподвижного центра называется векторное произведение радиус-вектора данной точки, проведенного из
центра, на вектор её импульса.
Моментом импульса механической системы относиРис. 8.4. Момент импульса точки
r
тельно неподвижного центра О называется вектор L O ,
равный геометрической сумме моментов импульсов всех точек, составляющих систему, относительно того же центра.
i =n r
r
L O = ∑ Li .
(8.7)
i=1
Для механической системы уравнение (8.5), с учётом уравнения (8.7) можно записать следующим образом
r
dL O r r е
= MO R .
dt
( )
184
(8.8)
Производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе, относительно
того же центра.
Векторное уравнение (8.8) может быть записано в виде проекций на оси декартовой системы координат
( )
r
dL x
= Mx Re ;
dt
dL y
dt
( )
r
= My Re ;
( )
r
dL z
= Mz R e .
dt
(8.9)
Если момент внешних сил относительно неподвижного центра равен нулю, то момент импульса системы относительно того же центра остаётся постоянным во времени
r r
r
если M О R e = 0 , то L O = const .
(8.10)
Указанная закономерность будет иметь место и для проекций вектора момента импульса
относительно осей координат, например относительно оси Ох
r
если M Х R e = 0 , то L Х = const .
(8.11)
( )
( )
185