( )

РАБОТА 3.01
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Задача
1. Исследовать интерференционное перераспределение интенсивности электромагнитных волн в
зависимости от расстояния между щелями (d), расстоянием от преграды до экрана ( l) и длины
волны источника света ( l ) .
2. При известном значении длины волны источника света по интерференционной картине
определить расстояние между щелями.
3. Определить длину волны неизвестного источника.
Введение
Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга , возбуждают в некоторой
точке пространства колебания одинакового направления:
A 1 cos(wt + a 1 ), A 2 cos(wt + a 2 )
Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется выражением
A 2 = A 12 + A 22 + 2A 1A 2 cos d ,
где d = a 2 - a 1 (см. формулу (22.2), И.В.Савельев, Курс общей физики, т.1).
Если разность фаз d возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то
волны называются когерентными.
В случае некогерентных волн d непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью
любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos d равно нулю. Поэтому
A 2 = A 12 + A 22 .
Отсюда, приняв во внимание соотношение I ~ A2, заключаем, что интенсивность, наблюдаемая при
наложении когерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в
отдельности:
I = I1 + I2.
(1)
В случае когерентных волн cos d имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки
пространства) значение, так что
I = I1 + I 2 + 2 I 1I 2 cosd .
(2)
В тех точках пространства, для которых cos d >0, I будет превышать I1 + I2 ; в точках, для которых
cos d <0, I будет меньше I1 + I2. Таким образом, при наложении когерентных световых волн
происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах
возникают максимумы, а в других минимумы интенсивности. Это явление называется
интерференцией волн. Обычно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда
интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова: I1 = I2. Тогда согласно (2) в максимумах I =
4I1, в минимумах I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая
интенсивность I = 2I1 (см.(1)).
Из сказанного вытекает, что при освещении какой-либо поверхности несколькими
источниками света (например, двумя лампочками) должна, казалось бы, наблюдаться
интерференционная картина с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов
интенсивности. Однако, из повседневного опыта известно, что в указанном случае освещенность
поверхности монотонно убывает по мере удаления от источников света, и никакой
интерференционной картины не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники
света не когерентны.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося
тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн
длительностью порядка 10-8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с
фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через
время порядка 10-8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны
претерпевает случайные изменения.
Когерентные световые волны можно получить, разделив, с помощью отражений или
преломлений) волну, излучаемую одним источником, на две части. Если заставить эти две волны
пройти разные оптические пути, а потом наложить их друг на друга, наблюдается интерференция.
Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень
большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же
результирующему цугу волн. Если эта разность будет порядка 1 м, наложатся колебания,
соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно меняться
хаотическим образом.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис. 1). До точки Р первая
волна проходит в среде с показателем преломления n1путь s1 вторая волна проходит в среде с
показателем преломления n2путь s2. Если в точке О фаза
Рис.1
колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание A 1 cos w ( t - s1 / v1 ), а вторая волна
- колебание A 2 cos w ( t - s2 / v 2 ) (v1=c/n1 и v2=c/n2 - фазовые скорости волн). Следовательно, разность
фаз колебаний, возбуждаемых в точке Р, будет равна
æs
s ö w
d = w ç 2 - 1 ÷ = ( n 2 c 2 - n1c1 ).
è v 2 v1 ø c
Заменив w/c через 2pn / c = 2 p / l 0 , где l0 - пути в вакууме, выражению для разности фаз можно
придать вид
2p
(3)
d=
D,
l0
где
D = n 2 s2 - n1s1 = L 2 - L1
(4)
есть величина, равна разности оптических длин проходимых волнами путей и называемая
оптической разностью хода.
Из формулы (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в
вакууме
D = ±ml o (m = 0,1,2,3, ...),
(5)
то разность хода фаз d оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими
волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Таким образом, (5) есть условие
интерференционного максимума.
Если D равна полуцелому числу длин волн в вакууме,
1ö
æ
D = ±ç m + ÷ l 0 m = 0,1,2,3,...),
(6)
è
2ø
то d = ± ( 2m + 1) p , так как колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (6) есть
условие интерференционного минимума.
Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие от источников S1 и
S2, имеющих вид параллельных тонких светящихся нитей либо узких щелей (рис.2). Область, в
которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Во всей этой области
наблюдается чередование мест с максимальной и минимальной интенсивностью света. Если в поле
интерференции внести экран, то на нем будет видна интерференционная картина, которая имеет вид
чередующихся светлых и темных полос. Вычислим ширину этих полос в предположении, что экран
параллелен плоскости, проходящей через источники S1 и S2. Положение точки на экране будем
характеризовать координатой х, отсчитываемой в направлении, перпендикулярном к линиям S1 и S2.
Начало отсчета выберем в точке О, относительно которой точки S1 и S2 расположены симметрично.
Источники будем считать колеблющимися в одинаковой фазе.
Рис.2
Из рис. 2 видно, что
2
s12
dö
æ
= l + çx - ÷ ,
è
2ø
2
2
s22
dö
æ
= l + çx + ÷ .
è
2ø
2
Следовательно,
s22 - s12 = (s2 + s1 )(s2 - s1 ) = 2 xd.
Ниже будет выяснено, что для получения различной интерференционной картины расстояние
между источниками d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в
пределах которого образуются интерференционные полосы, также бывает значительно меньше l .
При этих условиях можно положить s1 + s2 » 2l . Тогда s2 - s1 = xd / l . Умножив s2 - s1 на показатель
преломления среды n1, получим оптическую разность хода
xd
D=n .
(7)
l
Подстановка этого значения D в условие (5) дает, что максимумы интенсивности будут наблюдаться
при значениях х, равных
l
x max = ± m l ( m = 0,1,2,3,...)
(8)
d
Здесь l = l0/n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Подставив значение (7) в условие (6), получим координаты минимумов интенсивности:
1ö l
æ
x min = ± ç m + ÷ l ( m = 0,1,2,3,...)
(9)
è
2ø d
Назовем расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности расстоянием
между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами
интенсивности - шириной интерференционной полосы. Из формул (8) и (9) следует, что
расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное
l
Dx = l.
(10)
d
Согласно формуле (10) расстояние между полосами с уменьшением расстояния между
источниками d увеличивается. При d, сравнимом с l , расстояние между полосами было бы того же
порядка, что и l, то есть составили бы несколько десятых мкм. В этом случае отдельные полосы
были бы совершенно неразличимы. Для того чтобы, интерференционная картина стала отчетливой,
необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d << l .
Если интенсивность интерферирующих волн одинакова (I1=I2=I0), то согласно (2)
результирующая интенсивность в точках, для которых разность фаз равна d, определяется
выражением
d
I = 2I 0 (1 + cos d) = 4I 0 cos2 .
2
Поскольку d ~ D, то в соответствии с (7) d растет пропорционально х. Следовательно, интенсивность
изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса. Справа на рис.2 показана зависимость I от х,
получающаяся в монохроматическом свете.
Ширина интерференционных полос и расстояние между ними зависят от длины волны l.
Только в центре картины, при х=0, совпадут максимумы всех длин волн. По мере удаления от центра
картины максимумы разных цветов смещаются друг относительно друга все больше и больше. Это
приводит к смазыванию интерференционной картины при наблюдении ее в белом свете. В
монохроматическом свете число различимых полос интерференции заметно возрастает.
Измерив расстояние между полосами Dх и зная l и d, можно по формуле (10) вычислить l.
Именно из опытов по интерференции света были впервые определены длины волн для световых
лучей разного цвета.
Мы рассмотрим интерференцию двух цилиндрических волн. Выясним, что происходит при
наложении двух плоских волн. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, а направления их
распространения образуют угол 2j (рис.3).
Рис.3
Направления колебаний светового вектора будем считать перпендикулярными к плоскости рисунка.
Волновые векторы k1 и k2 лежат в плоскости рисунка и имеют одинаковый модуль, равный
k = 2p / l . Напишем уравнения этих волн:
A cos(wt - k 1 r ) = A cos(wt - k sin j × x - k cos j × y),
A cos(wt - k 2 r ) = A cos(wt + k sin j × x - k cos j × y).
Результирующее колебание в точках с координатами х и y имеет вид
A cos( vt - k sin j × x - k cos j × y) + A cos( vt + k sin j × x - k cos j × y) =
(11)
2A cos( k sin j × x) cos( vt - k cos j × y)
Из этого выражения следует, что в точках, где k sin j × x = ± mp ( m = 0,1,2,...), амплитуда колебаний
равна 2А; в точках же, где k sin j × x = ± ( m + 1 / 2) p , амплитуда колебаний равна нулю. Где бы мы не
расположили экран Э, перпендикулярный к оси y, на нем будет наблюдаться система чередующихся
светлых и темных полос, параллельных оси z (эта ось перпендикулярна плоскости рисунка).
Координаты максимумов интенсивности будут равны
mp
ml
x vax = ±
=±
.
(12)
k sin j
2 sin j
От положения экрана (от координаты y) зависит лишь фаза колебаний (см. (11)).
Мы положили для простоты начальные фазы интерферирующих волн равными нулю. Если
разность этих фаз отлична от нуля, в формуле (12) появится постоянное слагаемое - картина полос
сдвинется вдоль экрана.
Установка
Установка для исследования интерференции электромагнитных волн приведена на рис.4.
Длину волны источника света можно изменять с помощью переключателя «длина волны». Возможно
изменение расстояния между щелями на преграде с помощью инструмента «УПРАВЛЕНИЕ».
Расстояние от преграды до экрана изменяется от 0 до 1 метра. В качестве индикатора
интерференционной картины служит экран осциллографа, сигнал на который подается с
фотодиодной матрицы. Для снятия координат максимумов и минимумов служит курсор.
Рис.4
Измерения и обработка результатов
1. Перед запуском программы переключателем «длина волны» установите длину волны источника
света в положение l=0.63 мкм. Инструментом «УПРАВЛЕНИЕ» установите щели в произвольное
положение (ближе к середине преграды). Расстояние до экрана - в пределах 0.5-0.8 м. Фотодиод
«ФД» на фотодиодной матрице - в одно из крайних положений. Запустите программу.
2. Наблюдая интерференционную картину на экране осциллографа, изменяйте расстояние между
щелями и расстояние до экрана, получите удовлетворяющую Вас интерференционную картину.
3. При различных значениях расстояния от преграды до экрана с помощью курсора определите
координаты, соответствующие хmax или хmin. Для каждого из положений l определите Dх.
Результаты занесите в таблицу 1.
Таблица 1
№
l, м
хmax1, см
хmax2, см
d, мкм
Dх=(хmax2 - xmax1), см
1
...
n
<Dx>=
<Dd>=
4. По формуле (10) вычислите расстояние между щелями d для каждого из значений l .
5. Пользуясь методом статистической обработки результатов, получите расстояние между щелями d
с погрешностью.
6. Переключите длину волны источника света в положение «Х, мкм». Не изменяя расстояние между
щелями, проведите аналогичные измерения и, зная расстояние между щелями d, определите длину
волны по формуле (10). Результаты занесите в таблицу 2.
Таблица 2
№
l, м
хmax1, см
хmax2, см
Dх=(хmax2 - xmax1), см
l, мкм
1
...
5
<Dx>=
<Dl>=
7. Пользуясь методом статистической обработки результатов, получите значение неизвестной длины
волны с погрешностью.
8. Запишите окончательные результаты в стандартной форме. Сделайте выводы по работе.
Литература
1. И.В.Савельев. Курс общей физики. М., Наука, 1982, т.2, с.347-352
2. Обработка экспериментальных результатов (методические указания к лабораторным работам).
СПбГТУ, 1998.