моделирование электромагнитного поля прямоугольного

Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского университета
им. Н.И. Лобачевского,
В.В. Бирюков,
В.А. Грачев 2014, № 2 (1), с. 164–169
164
УДК 537.874
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ВОЛНОВОДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
 2014 г.
В.В. Бирюков, В.А. Грачев
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
physics@nntu.nnov.ru
Поступила в редакцию 04.12.2013
Рассмотрено изменение структуры электромагнитного поля прямоугольного волновода в движущейся системе отсчета (СО). Проанализирована структура поля в системе отсчета, движущейся со
скоростью распространения волны в неподвижной СО. Предложена методика расчета характеристик
волновода с неидеально проводящими экранирующими поверхностями на основе релятивистского
подхода.
Ключевые слова: преобразования Лоренца, прямоугольный волновод, трансформация поля, потери, условие Щукина–Леонтовича.
В предлагаемой работе рассматривается
трансформация структуры электромагнитного
поля полого прямоугольного волновода в движущейся системе отсчета. Направление движения
системы отсчета совпадает с направлением распространения волны в волноводе. Скорость системы отсчета находится в диапазоне от нуля до
скорости распространения волны в волноводе.
Рассмотрим прямоугольный экранированный волновод, изображенный на рис. 1а. Краевые задачи для собственных волн экранированного прямоугольного волновода с размерами
поперечного сечения a  b решаются в декартовой системе координат {XYZ}. Компоненты поля (комплексные амплитуды) Е-волн и соотношения для определения постоянной распространения имеют вид [1]:
mx
ny  jz
E zmn  E0 sin
sin
e ,
a
b

mx
ny  jz
E xmn   jE0 2x cos
sin
e ,

a
b
 y
mx
ny  jz
E ymn   jE0 2 sin
cos
e ,

a
b
(1)


mx
ny  jz
0 y
H xmn  jE0
sin
cos
e ,
2
a
b
 
mx
ny  jz
H ymn   jE0 02 x cos
sin
e ,

a
b
H zmn  0,
где χ – поперечное волновое число,  x  m a ,
 y  n b , m и n = 1, 2, 3,…, E0 – амплитуда,
определяемая из условий возбуждения.
Комплексные амплитуды поля Н-волн прямоугольного экранированного волновода без
потерь и соотношения для определения постоянной распространения имеют вид:
mx
ny  jz
H zmn  H 0 cos
cos
e ,
a
b

mx
ny  jz
H xmn  jH 0 2x sin
cos
e ,

a
b
 y
mx
ny  jz
H ymn  jH 0 2 cos
sin
e ,

a
b
(2)


mx
ny  jz
0 y
E xmn  jH 0
cos
sin
e ,
2
a
b
 0  x
mx
ny  jz
E ymn   jH 0
sin
cos
e ,
2

a
b
E zmn  0,
где m  (0), 1, 2,... , n  (0), 1, 2,... , H 0 – амплитуда, определяемая из условий возбуждения.
Связь координат, времени и компонент поля
в неподвижной и движущейся (рис. 1б) системах отсчета определяется преобразованиями
Лоренца, имеющими в декартовой системе координат вид [2–4]:
x  x , y  y , z 
Ex 
Bx 
E x  vBy
1  v c 
2

2

Bx  v c E y
1  v c 
2
z   vt 
1  v c 
2
, Ey 
, By 
,t 

1  v c 
2
E y  vBx
,
, E z  E z ,
1  v c 
2


t   v / c 2 z

By  v c 2 E x
1  v c 
2
(3)
, Bz  Bz .
Учитывая, что фаза – величина инвариантная по отношению к переходу из одной инерци-
165
Моделирование электромагнитного поля прямоугольного волновода
а)
б)
Рис. 1
альной СО в другую:   t   z  t   z    ,
получим выражения для продольного волнового
числа и частоты в движущейся системе отсчета:
  v c 2 
  v
,  
.
(4)
 
2
2
1  v c 
1  v c 
В выражении (4) в явном виде присутствует
зависимость от скорости движения новой системы
отсчета – продольное волновое число и частота
больше не являются константами. Зависимости 
и  в новой системе отсчета от скорости её движения для Е1n-волн представлены на рис. 2а и 2б,
для Н1n -волн – на рис. 3a и 3б.
Таким образом, выражения для компонент
поля Е-волн (комплексных амплитуд) в движущейся системе отсчета принимают вид:
mx
ny   jz 
(5)
sin
e
,
a
b
   v c2 
mx
ny   jz 
  jE0 x
cos
sin
e
,
2
2
a
b
 1  v c 
E z mn  E0 sin
E x mn
E ymn   jE0
 

 
 sin mx cos ny e
y   v c2 

H x mn  jE 0
2

H ymn   jE0
1  v c 
 0  y   v 
2
a
2
1  v c 
2
 0  x   v 
 2 1  v c 
2
sin
b
 j z 
,
mx
ny   jz 
cos
e
,
a
b
mx
ny   jz 
cos
sin
e
,
a
b
H z mn  0.
Аналогично, выражения для компонент поля
Н-волн (комплексных амплитуд) в движущейся
системе отсчета:
E zmn  0,
(6)
E x mn  jH 0
E ymn   jH 0
 0  y   v 
 2 1  v c 
2
 0  x   v 
 2 1  v c 
2
cos
mx
ny   jz 
sin
e
,
a
b
sin
mx
ny   jz 
cos
e
,
a
b
 
 sin mx cos ny e
 j z 
,
  cos mx sin ny e
 jz 
,
x   v c2 
H x mn  jH 0

2
1  v c 
2
 
a
b
 y   v c2 
H ymn  jH 0

2
1  v c 
2
a
b
mx
ny   jz
sin
e
.
a
b
Зная выражения для компонент поля, можно
определить комплексные амплитуды компонент
вектора Умова–Пойнтинга в движущейся СО:
1
1
S  E, H *  e x E y H z*  E z H y*  
2
2
*




 e y E z H x  E x H z*   e z E x H y*  E y H x* .
H z mn  H 0 cos


Для Е-волн составляющие вектора Умова–
Пойнтинга приобретают следующий вид:
    v 
1
S x   E z H y*   jE02 0 x

2
2
4 2 1  v c 
(7)
mx  2 ny   j 2z
 sin 2
sin
e
;
a
b
 0  y   v 
1
S y  E z H x*   jE02

2
2
4 2 1  v c 
mx 
ny   j 2z
sin 2
e
;
a
b
v 

 0 E02   v    2  
1
c


S z  ( E x H y*  E y H x* ) 
2
2
2 4 1  v c 
 sin 2


2
 m 
ny 
2 mx
 
sin 2

 cos
a
b
 a 
2
mx
ny    j 2z
 n 
   sin 2
cos 2
.
e
a
b 
 b 
При v  vгр направление вектора Умова–Пойн-
тинга на границе волновода не определено, т.е.
166
В.В. Бирюков, В.А. Грачев
а)
б)
Рис. 2
S  0 . Направление вектора Умова–Пойнтинга
в различных точках поперечного сечения волновода показано на рис. 4. На этом же рисунке
представлено распределение по сечению волновода плотности потока мощности Е-волн. Черный цвет соответствует нулевой плотности, белый – максимальной.
Для Н-волн составляющие вектора Умова–
Пойнтинга приобретают следующий вид:
    v
1
S x  E y H z*   jH 02 0 x

2
2
4 2 1  v c 
(8)
mx 
2 ny   j 2 z 
 sin 2
cos
e
;
a
b
 0  y   v
1
S y   E x H z*   jH 02

2
2
4 2 1  v c 
 cos 2
mx
ny   j 2z 
sin 2
e
;
a
b
1
S z  ( E x H y*  E y H x* ) 
2
v 

 0 H 02   v   2  
c 


2
2 4 1  v c 


2
 m 
ny
2 mx 
 
cos 2

 sin
a
b
 a 
2
mx 2 ny    j 2z 
 n 
   cos 2
sin
.
e
a
b 
 b 
При v  vгр вектор Умова–Пойнтинга S  оказывается тангенциальным к стенке волновода
при x  0, а и y  0, b . Однако на границах
волновода есть точки, в которых направление
вектора S не определено: S  0 при x  0, а
и y  bk 2n , k  0, 1, 2 ... , а также при y  0, b
и x  ak 2m , k  0, 1, 2 ... . На рис. 5 показаны
направление вектора Умова–Пойнтинга и распределение по сечению волновода плотности
потока мощности Н-волн.
Моделирование электромагнитного поля прямоугольного волновода
167
а)
б)
Рис. 3
а)
б)
Рис. 4
В выражениях (5)–(8) в явном виде присутствует зависимость от скорости движения новой
системы отсчета. Рассмотрим случай, когда
система отсчета движется со скоростью, равной
168
В.В. Бирюков, В.А. Грачев
а)
б)
Рис. 5
групповой скорости v гр распространения электромагнитной волны в исходной системе отсчета. Групповая скорость определяется выражением vгр  с 2  . В неподвижной СО при   0
распространение энергии вдоль волноведущей
структуры прекращается, распределение поля
не зависит от продольной координаты и в поперечном сечении соответствует полю стоячей
волны. Частота, при которой   0, называется
критической и определяется следующей формулой: кр  с [5].
В движущейся СО при v  vгр продольное
волновое число и частота принимают вид   0 ,
  кр , а структура поля совпадает со структурой поля волны рассматриваемого типа в исходной системе отсчета на критической частоте.
Это позволяет предложить следующую методику расчета характеристик волновода с неидеально проводящими стенками. Сначала рассчитываются характеристики волновода на критической частоте. При этом граничные условия
могут быть определены точно и задача решена
строго. Затем переходом в движущуюся систему отсчета можно найти соответствующие характеристики на любой заданной частоте. В
случае волновода с неидеально проводящими
стенками критической можно считать частоту,
на которой действительная часть коэффициента
распространения по величине равна мнимой.
Список литературы
1. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.:
Изд-во МГУ, 1983. 232 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика
сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
3. Бирюков В.В. Учет конечной проводимости
при расчете волноводов СВЧ и КВЧ диапазонов на
основе релятивистского подхода // Письма в ЖТФ.
2008. Т. 34. Вып. 2. С. 75–82.
4. Бирюков В.В., Пилипосян С.Е. Использование
релятивистского подхода при решении задач прикладной электродинамики // Тез. докл. НТК ИСТ2010. Н. Новгород, 2010.
5. Неганов В.А., Осипов А.В., Раевский С.Б.,
Яровой Г.П. Электродинамика и распространение
радиоволн. М.: Радио и связь, 2005. 648 с.
Моделирование электромагнитного поля прямоугольного волновода
169
ELECTROMAGNETIC FIELD SIMULATION OF A RECTANGULAR WAVEGUIDE USING
THE LORENTZ TRANSFORMATIONS
V.V. Biryukov, V.A. Grachev
The change of the rectangular waveguide electromagnetic field structure in a moving reference frame (RF) is considered. The field structure is analyzed in the RF moving with the wave propagation velocity in a fixed RF. A procedure to
calculate the characteristics of a waveguide with imperfect conducting shielding surfaces is proposed on the basis of the
relativistic approach.
Keywords: Lorentz transformations, rectangular waveguide, field transformation, losses, Shchukin-Leontovich condition.
References
1. Il'inskij A.S., Slepyan G.YA. Kolebaniya i volny v
ehlektrodinamicheskih sistemah s poteryami. M.: Izd-vo
MGU, 1983. 232 s.
2. Landau L.D., Lifshic E.M. Ehlektrodinamika
sploshnyh sred. M.: Nauka, 1982. 620 s.
3. Biryukov V.V. Uchet konechnoj provodimosti pri
raschete volnovodov SVCH i KVCH diapazonov na
osnove relyativistskogo podhoda // Pis'ma v ZHTF.
2008. Tom. 34. Vyp. 2. S. 75–82.
4. Biryukov V.V., Piliposyan S.E. Ispol'zovanie relyativistskogo podhoda pri reshenii zadach prikladnoj
ehlektrodinamiki.
Tez.dokl.,
NTK
IST-2010.
N. Novgorod, 2010.
5. Neganov V.A., Osipov A.V., Raevskij S.B., Yarovoj G.P. Ehlektrodinamika i rasprostranenie radiovoln.
M.: Radio i svyaz', 2005. 648 s.