Модели финансовых рынков

Глава
11
Модели финансовых рынков
В этой главе рассмотрены две самые известные · теории рынка ка­
питала:
- модель оценивания финансовых активов - ( Capital Asset Pricing
Model - сокращенно САРМ );
- однофакторная модель Шарпа.
Начнем с изложения основной модели ~ САРМ. Эта модель от­
носится к равновесным моделям. При заданных предположениях о
рынке и поведении · инвесторов она определяет теоретическую или
равновесную стоимость актива. Математически САРМ описывается
двумя основными уравнениЯми: эффективной и характеристической
линий рыы:ка.
11.1
Основные предположения САРМ
Основная модель оценивания финансовых активов базируется
на теории портфеля, рассмотренной в предьщущих главах. Она пред­
полагает выполненными ряд условий:
1.
Все инвесторы имеют дело с одним и тем же совершенным
рынком.
2.
Все инвесторы имеют один и тот же инвестиционный гори­
зонт, т.е. они пiiанируют инвестиции на один и тот же период.
3.
Все инвесторы ведут себя рационально, т.е. все они выбирают оп­
тимальные (в смысле теории Марковица) портфели исходя из индиви­
дуальных предпочтений, которые описываются функцией полезности
(определяемой индивидуальным коэффициентом неприятия риска).
4. Все инвесторы одинаково оценивают рынок. Формально это оз­
начает, что все инвесторы исходят из одних и тех же значений парам.е-
тров рьrnка: вектора ожидаемых доходностей и матрицы ковариаций.
151
1и~то 11. vпmим.Шlьные портфели ценных бумаг
-·
5. На рt1нке имеется (абсолютно) безрисковый портфель с фик­
сированной доходностью.
6. Позиции инвесторов на рынке никак не ограничиваются. Они
могут занимать длинные и короткие позиции любой величины по лю­
бым активам. Наконец, активы безгранично делимы, так что веса
портфелей могут принимать любые вещественные значения.
Рассмотрим следствия перечисленных выше предположений,
составляющих содержание основной модели оценивания (САРМ).
Основной моделью рынка является модель Блека-Тоби­
на-Шарпа-Линтнера с безрисковым активом, подробно рассмо­
тренная в предыдущей главе, и которую будем для краткости назы­
вать стандартной моделью. В Дальнейшем мы будем работать в рам­
ках этой модели.
В стандартной модели предполагается существование безриско­
вого актива А0 , доходность т 0 которого не зависит от состояния рын­
ка и всегда имеет одно и то же значение. Остальные активы А 1
, ••• ,
Ап -
рисковые, то есть имеют ненулевую дисперсию.
11.2. Уравнение эффективной линии рынка
Как известно, критериальное множество (в "финансовых" коор­
динатах а,Е) стандартной модели является частью плоскости, огра•
f~
ниченной парой лучей с вершиной, соответствующей оценке безрискового актива. ВнУтри этого множества находится критериальное
множество модели Блека, соответствующей рисковой части стандарт­
ной модели (т.е. образованной ее рисковыми активами), которая
представляет собой часть критериальной плоскости, ограниченную
ветвями гиперболы. На рисунке
11.1
изображено критериальное
множество рисковой части модели и минимальная границ~ модели
Тобина, образованная парой лучей, выходящих из точки, соответ­
ствующей безрисковому активу.
Е
Рис.
152
11.1
Глава
11. Модели финансовых рынков
При этом верхний луч Q0 Q-r' представляющий собой эффективное
множество стандартной модели, касается верхней ветви гиперболы
-
эффективной границы рисковых активов, в точке, соответствующей
оценке Q-rкасательного портфеля -r(см. рис.11.2).
Е
Е*
Рис.
11.2
Поскольку в САРМ принята гипотеза однородных ожиданий
(условие 4), то из совпадения оценок параметров рынка всеми инве­
сторами следует, что критериальные множества, их границы (как ми­
нимальная, так и эффективная) и касательные портфели также будут
совпадать для всех инвесторов. Поскольку, в силу условия рацио­
нальности (условие 3), каждый инвестор выбирает оптимальные по
Марковицу портфели, то эти портфели будут эффективными. Их
оценки для всех инвесторов будут лежать на одной и той же эффектив­
ной границе
-
верхнем луче
Q0 Q".
На этом же луче лежат оценки двух
фиксированных портфелей: безрискового е0 и касателыюго
-r.
При
этом (см. гл.13)
е
ео
и т0
= (1,0, ... ,0)
= (т 1 -
т0
, ••• ,
ходностей, а с-
1
-
и i-= (l/y)g, гдеg= с- то, у= (g, е),
1
тп
-
т 0 ) - центрированный вектор ожидаемых до­
матрица, обратная матрице ковариаций С риско­
вых активов. Заметим, что коэффициент у есть просто сумма компо­
нент вектора
g
и деле:н;.ие его на у означает нормировку с целью пре­
вратить вектор g в портфель.
Из этих фактов следует основной вывод САРМ (теорема о
разделении или теорема о двух фондах): оптимальный портфель лю­
бого инвестора является линейной комбинацией всего двух фикси­
рованных портфелей
-
безрискового и касательного (рискового)
портфелей.
153
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Рис. 11.З
Эффективная граница модели Тобина в англоязычной литерату­
ре называется capital market line ( CML) - линией рынка капитала. По­
скольку эта линия прямая проходящая через оценки безрискового и
касательного портфеля, то ее уравнение МО)lШО записать в виде
т
Е= т
где т-r - доходность, а
о
-т
+.т
. о а
'
(11.1)
(J. .
о
a-r - риск касательного портфеля.
Рыночный портфель. Рассмотрим теперь структуру касательного
портфеля. Пусть на рынке обращается п активов А 1 " •• , Ап и, кроме то­
го, на рынке имеется
q уqастников В 1 ,
В 2 , .•• ,
Bq -
инвесторов, поку­
пающих и продающих эти активы. Пусть каждый участник-инве­
стор Bk обладает начальным капиталом Vk, k = 1,.", q. Каждый из эт­
их участников сформирует оптимальный, с учетом своего отношения
к риску, портфель
i':
~k =(х0 \
xk),
k=
1~ ... ,
q,
где х k - доля начального капитала, инвестируемая в безрисковый ак­
0
тив, а xk - рисковая часть портфеля. инвестора Bk. Начальный инве­
стируемый капитал
V7'
инвестора
части: безрисковую Уа k =
Bk разобьется таким образом на две
Xok. Vk и рисковую - Wk = ( 1- Хо k)· v1c, так "'!ТО
fTk = ~ k + Wk. Таким образом, общий рисковый капитал, вложенный
во все рисковые активы, будет равен
W= W 1 +".+Wq.
(11.2)
Поскольку все инвесторы вкладывают рисковую часть в один и
тот же касательный портфель 1' = (-rl' -r2, .", -rn), то соответствующий
рисковой части
154
xk портфель
\
Глава
11. Модели финансовых рынков
будет совпадать с касательным портфелем, т.е.
uk =-r для всех k =1, ... ,. q.
Отсюда немедленно следует, что k-й инвестор вложит в j-й ри­
ск?вый актив !j-IO долю своего рискового · капитала Wk, т.е.
~ = ~ Wk. Распределение рискового капитала инвесторов по риско­
вым активам представлено в таблице
11.1.
Таблица
Активы
/Инвесторы
А1
BI
'l"1W1
!:
w1
'l"
w1
wi
в2
-rlW2
'l"2 W2
'l"
W2
w2
...
Bq
...
...
. ..
...
wq
№
iw
w
i
Всего
1
~
2
п
п
...
wq
-r.2 wq
w
i2W
'tl
А11
." ..
1"
п
п
11.1
Всего
Общая сумма средств, инвестированная в j-й рисковый актив
равна, очевидно,
w = -r W1 + -r. w2 + ...+ i-. wч = -r.( wi + w
.
1
.
1
J
J
}
2
+ ... + wq) = -r.} w,
откудаследует,что
't'. =
}
w /W.
J
(11.3)
Мы получили простое и чрезвычайно ваЖ:н:ое описание касательного
портфеля. Вес j-го актива в этом портфеле равен рыночной доли это­
го актива, т.е. отношению суммы средств, вложенных в этот актив, к
общей сумме средств, вложенных во все рисковые активы. Это при­
водит нас к следующему важнейшему выводу: в условиях рыночного
равновесия цены на рисковые активы установятся таким образом,
что будет выполняться соотношение ( 11. 3). В силу указанного об­
стоятельства касательный портфель называют также рыночным порт­
фелем. В дальнейшем мы будем обозначать этот портфель символом
7t м, представляющим его вектор весов им, доходность Ем (или rм), ва­
риацию
VМ' а стандартное откдонение - ам· Используя эти обозначе­
ния, уравнение
(11.1)
эффективной линии рынка можно переписать
в виде
155
----
Часть
II
Оптимальные портфели ценных бумаг
Е= т + Ем -то cr,
(11.4)
() м
о
Поскольку оценки всех эффективных портфелей лежат на эф­
фективной линии рынка, то для любого такового портфеля 1te будет
выполняться соотношение
Е(пе)
= т0 +
Ем-то
бм
а(пе).
(11.5)
Замечание об обозначениях. Во многих финансовых учебниках
ожидаемую доходность активов обозначают символами
r или R,
опу­
ская знак математического ожидания, в частности доходность безри­
скового актива обозначают r0 , ~или r , R (riskfree). В этих обозначе­
1 1
ния уравнение эффективной линии рынка запишется в виде
(11.6)
В этих уравнениях речь идет об ожидаемых доходностях, а не о до­
ходностях
-
случайных величинах и их реализациях. Именно поэтому
мы не используем символ R, которым мы обозначаем саму доходность
случайную величину, и символ
r,
-
которым мы обозначаем ее реализа­
цию, т.е. конкретное значение этой случайной величины. Корректное
обозначение требует указания на операцию усреднения · либо теорети­
E(R), либо статистическую, и тогда пишуг r.
Коэффициент (Ем - т 0 ) /ам часто называют рыночной ценой риска
ческую, и тогда пишут
(при измерении риска в единицах стандартного отклонения), а его
произведение с величиной риска (т.е. второе слагаемое в формулах
( 11. 5)- ( 11. 6)) -
премией за риск, которую требует инвестор при вло­
жении капитала в рисковые активы. Таким образом, премия за риск
для портфеля, в равновесии равна превышению его доходности над
безрисковой доходностью, т.е. разности
Elr -
т 0 • При этом превыше­
ние рыночной доходности над безрисковой т.е. разность Ем -т 0 , на­
зывают рыночной премией. В терминах премий уравнение · эффектив­
ной линии рынка утверждает, что премия эффективного портфеля
всегда пропорциональна рыночной премии.
11.3.
".
Формирование оптимальных портфелей
с использованием САРМ
Если рыночный портфель п м (с вектором весов им) задан и из­
вестны его ожидаемая доходность Ем =Е(им) (рыночная доходность)
156
Глава
и риск
crм
11. Модели финансовых рынков
(рыночный риск), то проблема выбора оптимального
портфеля становится практически тривиальной. Для формирования
оптимального портфеля инвестор должен задать всего один параметр.
Это может быть либо
пустимый риск, либо
1) требуемая доходность портфеля, либо 2) до­
3) коэффициент неприятия риска. Во всех слу­
чаях оптимальный портфель ищется как комбинация
J:
= хоео +хм им
безрискового е0 и рыночного портфеля им· Таким образом, по суще­
ству, ищется двумерный портфель х=(х0 , хм) в модели Тобина с пара­
метрами т
=
(т 0 ,Ем), с 00 =О, с 01
три случая подробно.
= с 10 =
О и с 11 = &м2 • Рассмотрим все
О11тимальный портфел.ь с заданной доходностью. Допустим, что ин­
вестор желает сформировать оптимальный портфел~ х = (х0 , хм) с тре­
буемой доходностью Е0 • Но тогда доходность портфелях должна быть
равна требуемой доходности
Е(х)
= х0 т0 + хмЕ<им) = Е0 ,
откуда, учитывая равенство хм=
х0
Пример
1- х0 , получаем
= (Ем-Е0 )/(Ем-т 0 ) ихм= (Е0 -т 0 )/(Ем-т0 )
11.1.
Пусть безрисковая ставка равна
ожидаемая доходность
16%.
а рыночная
Найти оптимальный портфель с доход­
ностью 20%.
Решение: Пусть искомый портфельх
Е(х)
8%,
(11.7)
= (х0 , хм). Тогда
= Е(х0 ~ + хмRм) = х0 Е(~) + хмЕ(Rм) = x0m0 + хмВм= 20%;
или
О,08х0 +О,16хм =
Учитывая,
0,2.
чтохм=1-х0 , получимх0 = -1/2 = -0,5 ихм= 3/2=1,5.
Оптимальный портфел.ь с заданным риском. Пусть теперь инвестор
ищет оптимальный портфель с риском, не превышающим заданное
значение 0" . Тогда из разложения .ж
0
= х0 е0 + хм им следует
V(x) =,,хJV(им) или а(х)
=
lxмl О"~=
0"0,
и, значит, lxмl =eJ0 /CJм. Таким образом, х0 = 1-СJ0 /СJмИЛИ х0 =1 + CJ0 /CJм.
Поскольку Е(~) =таХ0 +хм Ем, то
Е(х_) = (1-CJofCJм)mo+ (CJofCJм)Eм=mo+(CJofCJм)(Eм-mo)
или Е(~) = (l+а0 /ам)т 0 -(а0 /ам)Ем=т 0 +(а0 /СJм)(т 0 -Ем).
(11.8)
157
Часть
!/.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Так как инвестор при заданном риске выберет портфель с наиболь­
шей доходностью, то х0 =1-а0 /ам, если Ем~т 0 , т.е. если ожидаемая
рыночная доходность, не ниже безрисковой (типичный случай), и
+ а0 / а.м, если Ем< m0 .
х0 =1
Последний случай реализуется на падающем (медвежьем) рын­
ке, когда ожидается снижение цен большинства обращающихся на
рынке активов.
Пример
11.2. Безрисковая ставка, как и в примере 17 .1, равна 8 %,
рыночная О)кидаемая доходность
16%,
а рыночный риск
оптимальный портфель с риском не выше
Ре1иение.
Пусть
искомый
25%.
Найти
хм).
Тогда
10%.
портфель
х
=
а(х)= \хмl ам
(х0 ,
0,1, и, значит, х0 = 1 - 0,1/0,25 = 0,6 или х0 =1 +
+О, 1/0,25= 1,4. При х0 = 0,6 доходность портфеля будет
+ (а0 /ам)(Ем- т0 ) = 0,08 + 0,4 (0,16 - 0,08) = 0,112,
11,2%. При х0 = 1, 4 доходность портфеля будет
Е(;!.) = m0 + (а0 /ам)(т0 - Ем)= 0,08 + 0,4 (0,08 - 0,16) = 0,048,
Е(~) = т0
или
или
4,8%. Таким
х = (0,6; 0,4).
образом, оптимальный портфель будет иметь вид
О11тималь11ый портфель с наибольшей полезностью. В этом случае
инвестор задает коэффициент неприятия риска
8. Тогда функция по­
лезности инвестора имеет вид
U(~) = Е(~) - ~ · V(:I).
Обозначим оптимальный портфель через х = (х0 , хм). Поскольку
Е(х)
= т0
то
(1-хм)
+ хмЕм=т0 + (Ем-т0 )хм и
V(;!.)
= х.м 2 v;,1 ,
U(~) = т0 + (Ем-т0 )хм - ~ ·Хм 2 VМ'
Найти точку максимума этой функции можно, приравняв к нулю ее
производную:
U'I\:х) = (Ем -т о.
) - ().хмм.
V == О
Решая это уравнение, получим
Ем-то
хм=· O·V
м
и х0 = I-хм.
(11.9)
Пример 11.3. Пусть доходность безрискового актива т0 = 8%, а
рыночный портфель имеет параметры Ем =16% и ам = 25%. Найти
158
Глава
11. Модели финансовых рынков
оптимальный портфель для инвестора, коэффициент неприятия
риска которого равен
4.
= (х0 , хм). Тогда
·Хм 2 Vм.=О,08 + О,08хм- 2хм2 ·0,0625.
Решение. Пусть искомый портфелJ> х
И(х) = т0 + (Ем-т0 )хм -
8
2
Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, получим
О,25хм
- 0,08
= О,
откуда
хм=
0,08/0,25 = 0,32 и х0 = 0,68.
Полученный портфель имеет доходность.
и риск
Е(х) = т0 + (Ем-т0 )хм
а(х)
11.4.
= 0,1056, или 10,56%,
= \хм\ам= 0,32 0,25 = 0,08, или 8%.
Бета и характеристическая линия рынка
Уравнение эффективной линии рынка связывает линейным обра­
зом доходность и риск эффективных портфелей. Основателями
САРМ обнаружена также более глубокая линейная связь между до­
ходностью и риском любых портфелей, и в частности любых активов.
Однако мерой риска в этой связи является не традиционно понимае­
мая характеристика
-
стандартное отклонение доходности, а величи­
на, называемая бетой портфеля (актива).
Определение: Бетой случайной величины
ной величины
R относительно случай­
S назовем число
(11.10)
Бета доходности R7r портфеля пили доходности RA актива А отно­
сительно доходности Rм рыночного портфеля пм называется бетой
портфеля (актива) и обозначается /Jrr. (соответственно f3):
/Зrr. =
Учитывая, что cov(Rтr:, Rм)
cov(~,Rм)
(11.11)
2
О"м
= cor(R7r, Rм)·О"/jм, формулу (11.11) можно
переписать в виде
/Зrr.
. .
= cor(R7r,
.
(J
Rм)·а7r/бм= Рпм· ал:,
(11.12)
м
где Рrrм - коэффициент корреляции портфеля с рынком.
159
\\ /
Часть
Оптимальные портфели ценных бумаг
ll
В этом определении речь идет о доходностях - случайных вел.ичинах.
Определенную выше бету называют часто теоретической бетой, в от­
личие от эмпирической или статистической беты, о которой будет
сказано ниже.
Поскольку ковариация является симметрической билинейной
функцией своих аргументов, то бета портфеля
х
= (х 1 , ••• ,
n
с вектором весов
х)
является линейной комбинацией бет составляющих
11
портфель активов:
f3x = f31x1+ f3тсх2
+... + f3пхп.
(11.13)
Напомним, что для рынка , заданного своими параметрами т и
С, ко вариация доходностей
формуле
R1, R 2 портфелей n 1 и п2
вычисляется по
cov(Rl' ~) = ( Сх, у),
где х
= (хр"., хп), у= (yl'"'' у11 )
-
(11.14)
векторы весов портфелей п1 и n2 . По­
этому в модели Тобина бету любого портфеля с вектором весов~
можно найти по формуле
/ЗА = ( Сх, хм)/а 2 м= ( Сх, им)/ а 2 м.
Для эффективного портфеля п с вектором весов :!
(11.15)
= х0е0 +хм им
получаем
cov(x, им)= хм· а 2м,
и, значит, бета эффективного портфеля равна весу рискового портфеля
f3тt =ХМ'
Пример
11.4.
(11.16)
Рассмотрим модель Тобина с двумя рисковыми ак­
тивами А 1 , А2 из примеров
10.2-10.3 гл.10. Рынок рисковых активов
имеет параметры т 1
= 4, т2 = 7; а1 = 2, а2 = 5, р= О. Доходность без­
рискового актива т 0 = 2. Найдем беты активов А 1 , ~·
Решение.
В
примере
10.3 найден касательный портфель
хм='f
=(2/7,5/7).
Его доходность равна Ем= 34/7, а вариация - о- 2 м= 200/49. В си­
лу формулы ( 11.15) имеем
[31 = ( Cel' хм)/а 2 м = 1,138 и [32=
Используя бету и формулы
( Се2 , хм)/а 2 м = 0,379.
( 11.14), ( 11.18), уравнение эффектив­
ной линии рынка можно переписать в виде
Е(п) = т 0
где [Jlt
160
-
+ /Зл;·
(Ем- т0 ),
(11.17)
бета эффективного портфеля пе. Оказывается, что это соотно-
Глава
11. Модели финансовых рынков
шение выполняется не только для эффективных, но вообще для всех
портфелей, и в частности ддя всех активов. Это утверждение соста­
вдяет содержание второго важнейшего результата САРМ.
Уравнение характеристической линии рыжса. Для любого портфеля
или актива справедливо соотношение
Ек =т 0
+ f31t·
(Ем- т 0 ).
(11.18)
Уравнение (11.18) называется характеристическим уравнением
рынка или основным уравнением САРМ. Оно описывает линейную
связь между ожидаемой доходностью портфеля (или актива) и его бе­
той, представляющей еще одну характеристику р:И:ска. На плоскости
(/3,Е) этому уравнению соответствует прямая линия, называемая ха­
рактеристической линией рынка (см. рисунок
11.4).
Е
Ем ·
/3
1
Рис.
11.4
В более традиционных обозначениях основное уравнение САРМ запишется в виде
(11.19)
Хотя, · как отмечалось выше,
в
финансовой литературе
в
уравнении.САРМ часто опускают знак математического 02кидания, в
этом уравнении речь идет именно об ожидаемой доходности.
Уравнение
(11.18)
можно переписать в виде
Еп - т0 = {Зк(Ем- т 0 ).
(11.20)
Из последнего уравнения следует, что коэффициент бета порт­
феля или актива играет.роль "коэффициента усиления", преобразую­
щего рыночную премию Ем - т 0 в премию по портфелю
E1t -
т 0 • Дру­
гими словами, бета является мерой чувствительности доходности
портфеля или актива к изменениям рьхночной доходности. В самом
деле, из этого уравнения следует равенство
(11.21)
11 175
161
\
Часть
II.
Оптимальные портфели ценных бумаг
где Лrп, Лrм - изменения рыночной и портфельной доходностей со­
ответственно. Таким образом, прирост ожидаемой доходности (или
премии) активов с бета больше 1, будет больше чем прирост рыноч­
ной премии, а у активов с бета меньше 1, соответственно меньше.
Пример 11.5. Пусть безрисковая ставка 4%, а ожидаемая рыноч­
ная доходность 12%. Если бета f3л актива А равна 1,5 , то какова его
ожидаемая доходность? Если рыночная доходность увеличится до
15 %, то какова будет новая ожидаемая доходность?
Решение: Согласно основному уравнению САРМ:
rл= 'о
+ f3irм - 'о).
Подставляя данные из условия, получим
rA = 4 + 1,5(12 - 4)
= 16.
Если рыночная доходность увеличиться до
15%,
то ожидаемая
доходность актива также вырастет и станет
rA = 4 + 1,5(15 - 4) = 20,5.
Уравнение
( 11.18)
указывает, что на равновесном совершенном
рынке инвестору компенсируется не полный риск портфеля (или акти­
ва), характеризуемый стандартным отклонением а (или вариацией), а
только его часть, представляющая рыночный (систематический, неди­
версифицируемый) риск, характеризуемый параметром [З.
В явном виде разложение доходности и риска на систематиче­
скую и несистематическую компоненты задается в однофакторной
модели Шapna(single
11.5.
index market model).
Однофакторная модель ръmка
Рассмотрим процедуру так называемой наивной диверсификации.
Под этим подразумевается формирование портфеля с одинаковыми
весами всех активов. Такой портфель называют также равновзвешен­
ным. Формально для рынка из п активов вектор весов такого портфе­
ля имеет вид
х
п
= (1/п,
1/п,
.... , 1/п).
Его риск (вариация) будет равен
п
V(xn)
1
1
п
= (Схп, хп)-:-- 2':,- си= 2 2':,си.
i,j=I
п
2
п
i,j=I
Сумму всех элементов ковариационной матрицы можно разложить
на две части: сумму диагональных(вариаций) и недиагональных (кова­
риаций) элементов:
162
---
Глава
п
п
п
i=l
i=I
i-.tJ=l
11.
Модели финансовых рынков
L си = L о-: + L PiJO/Jj ·
Очевидно также, что
п
2/и
$
;,,,1
п
п
j,,,/
i-.t j=I
2.: 0 -J + L Pi,/J/Yj ·
Будем считать, что риски всех активов ограничены одним и тем
же числом
max{cr 1; cr2;
•.. ;
cr } ::; cr
п
тах
.
Тогда, применяя неравенство Коши-Буняковскоrо, можно получить
оценку сверху для риска равновзвешенного портфеля
Их)=
\ п
_l_ ~с . < _!_
п2
4'i
у -
1,J"'l
n
2
(jmax
( ~ 2 ) 2
+· .Jn(n-l)
2
L..J pi,j . (jmax .
n
i-.tj=I
При этом очевидно, что первое слагаемое стремится к нулю с ростом
п, а второе можно записать в виде
~ п(п2п -1) ( .~
~ Pi,j2 JО"max
2
2
= ап · crmax · Рп
,
1-.t J=I
где
-
п
Рп =
-
1
~ 2
n(n-1) .~ Pi,i
'*J"'l
среднее :квадратическое коэффициентов корреляции активов и
ап
.
1-1/п
-71,
при п -?оо.
В частности, если активы попарно независимы, т.е.
pi. =О для всех
i,j =1, ... п, то риск равновзвешенного портфеля стремитсiк нулю с ро­
стом п. В общем случае средний коэффициент корреляции отличен от
нуля и поэтому риск портфеля, хотя и уменьшается с ростом п, но не
может быть сделан сколь угодно малым. Эти теоретические рассужде­
ния легко демонстрируются эмпирическими наблюдениями.
На рисунке
11.5 изображен типичный график зависимости риска
равновзвешенного портфеля в зависимости от числа случайным об­
разом выбранных акциJi, включенных в портфель.
·
Сказанное приводит к утверждению, что полный риск любого
портфеля можно разложить на две части. Одна часть риска предста­
вляет собой диверсифицируемый (устранимый) риск, другая часть
-
неустранимый, или рыночный, риск. Уильям Шарп предложил мо­
дель для такого разложения в общем случае. Речь идет о так называе­
мой однофакторной модели рынка.
11*
163
Часть
!/.
Оптимальные портфели ценных бумаг
v
п
о
20
10
40
30
Рис.
50
11.5
Однофакторная модель Шарпа описывает влияние на доход­
ность акций важнейшего фактора - поведения рынка в целом. Ос­
новное уравнение этой модели дает разложение доходности (случай­
ной величины!) актива на компоненты:
Ri = ai + /З; ·Rм
где
R.1 -
+ Е;,
(11.22)
доходность актива А.;
1
Rм - доходность рыночного портфеля;
а;
-
фиксированный параметр, представляющий нерыночную
составляющую доходности актива
fЗ;
-
i;
параметр, отражающий влияние изменения рыночной до­
ходности на доходность i-го актива при изменениях доходности ры­
ночного портфеля;
Е; - случайная ошибка, с E(s;) =О и Var(в;) = 8/.
При этом предполагается выполненными условия независимости:
соv(ё. ,ё.) =О, соv(ё. , Rм) =О
для любых
1
J
1
1 '
i, j.
Уравнение
( 11 :22) называется характеристическим уравнением
актива. Часть ai+ е;доходностияазывается специфической, а fЗ; ·Rм­
неспецифической частью доходности актива А .. Аналогичным обра1
зом на две части разлагается и риск актива. Недиверсифицируемый,
систематический, или рыночный, риск связан с общим состоянием
рынка общезначимыми для всех активов событиями. Его нельзя ис­
ключить полностью,
поэтому его называют также
неустранимым
риском. Нерыночный, специфический, диверсифицируем:Ьrй, или
164
Глава
11. Модели финансовых рынков
устранимый, риск связан с индивидуальными· особенностями кон­
кретного актива и его эмитента. Данный риск является диверсифи­
цируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с помо­
щью эффективной диверсификации портфеля. Из уравнения
( 11.22)
и условий независимости следует
а/= Var(R;)
= Var(a; + fЗ;Rм + е;) =
Var(fЗ;·Rм)
+ Var (t) =
/3/· Var (Rм) + Var (t)
=
или
аi 2 =
Коэффициент бета
f3i 2 ·a 2 + 8 i2'
8.12 = Var(e.)
/)
м
/31:
f3; =
cov(~,Rм)
а2
а.
(11.23)
.
(11.24)
= -:-Pi,M
м
м
служит мерой систематического, рыночного риска, где
cov(R; ,Rм) -
ковариация доходности R. актива А. с доходностью рыноЧноrо порт'
феля.
1
11.6. Актив А имеет риск ал= 0,30 и бету f3л = 0,5. Рыноч­
ный риск рав~н ам = 0,2. Найти стандартн9е отклонение несистематического риска ·портфеля.
·
·
Пример
Решение. Используя разложение
(11.23)
риска актива для ·одно­
факторной модели рынка, получим
а2=
А
f3А2 аМ2 + Var(eп )
или О
·
'
32 =(О ' 5·0 ' 2) 2 + V(\п
е ).
Откуда п_олучаем
Var(eл:) =а 2 (е)
= 0,09-(0,1) 2 = 0,08, <r(E)= 0,2828. · ;
Разложения (11.22)~(11.23) справедливы не только для отдель­
ных активов, но и для любых портфелей. В частности справедливо
разложение
а 2= /З 2 • а 2
7r
Пример
11.7.
7r .
м
+ 8 "2
(11.25)
Портфель состоит из 2-х ащий с А 1 и~ равными
весами. Стандартные отклонения доходностей акций а1
= 25%
и
<r2 =30% соответственно, а их корреляции с рыночной доходtiостью р 1
=
0,2 и р 1 =
0,5~ Безрисковая доходность р0 =
ная доходность rм =
ности ам =
20%.
5%.
Ожидаемая рыноч­
15%, а стандартное отклонение рыночной доход­
Несистематические компоненты доходностей по­
парно взаимно независимы. Найти а) ожидаемую доходность акций;
6) ожидаемую доходность портфеля,
его бету, систематичес:r<Ую и не­
систематическую компоненты р:Иска портфеля.
165
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Решение. Найдем беты акций:
/31 = Р 1 ·а/ ам = 0,2· 25/20 = 0,25
/32 = Р2 • а/ ам = 0,5· 30/20 =О, 75,
Согласно основному уравнению САРМ, ожидаемые доходности ак­
ций
r1 = r0 + /З/rм- r 0)
= 5 + 0,25·(15 - 5)
=
7,5%,
r2 = r0 + f3/rм- r 0) = 5 + 0,75-(15 - 5) = 12,5%.
Бета портфеля равна
fЗп:-
0,5. 025
+ 0,5· о, 75 = 0,5.
Ожидаемая доходность портфеля равна
r = rо + f3 п:м
(r - rо) = 5 + О ' 5· ( 15 - 5) = 1О '0%
.
1r:
Используя характеристическое уравнение для однофакторной моде­
ли рынка
R1 = а1 + f31Rм + Ер ~ = а2 + f32Rм + Е2 и Rir =
получим
air
+ fЗл:Rм + Eir'
en = О,5е 1 + О,5е 2 • Несистематический риск (вариация) акции
А 1 ,~равен
о/= а 2 (е 1 ) =а/
-
/3/ а1 = 625 -
0,25 2 • 400 = 600,
8/ = а 2 (е2 ) =а/- fЗ/ а1= 900- 0,75 2-400 = 819.
Но тогда в силу независимости е и е несистематический риск порт­
1
феля равен
о/= Var(cn)
2
= 0,5 28/ + О,5Ч>/ = 0,25· (600 +819) = 354,75,
а систематический
f3/<J1 = (f3пам) = (0,5· 20) 2 = 100.
2
Наконец полный риск портфеля равен сумме этих компонент
а/=
Var(n)
= 354,75 + 100 = 454,75.
На практике беты активов находят, используя в качестве пред­
ставителя рыночного портфеля некоторый индекс. В этом случае бе­
та актива определяется по формуле
(11.24),
где в качестве <Jм и
cov(Rл,Rм) используются полученные по выборке статистичекие оценки
этих величин.
Пример
11.8.
В приведенной ниже таблице содержатся данные о
месячных доходностях индекса
166
S&P500 и акций Cisco за 1999 год.
Глава
Янв. Февр.
Март Апр.
Май
11. Модели финансовых рынков
Июнь Июль Авг.
Сен.
Окt. Нояб. Дек.
S&P500 0,04 -0,03
0,04 0,04 -0,02
0,05
-0,03 -0,01 -0,03 0,06
0,02
0,06
Cisco
0,12 0,04 -0,04
0,18
-0,04 0,09
0,21
0,20
0,20 -0,12
0,01
0,08
Найти статистическую бету акций Cisco относительно индекса.
Решение. Выборочные средние доходностей , индекса S&P500 и
акций
Cisco:
E[S&P500] = 0,0158, E[Cisco] = 0,0775.
Выборочные вариации доходностей индекса S&P500 и акций Cisco:
Var[S&P500] = 0,0014, Var[Cisco] ~· 0,0121.
Выборочная ковариация доходностей индекса S&P500 и акций Cisco:
cov[S&P500,Cisco] = 0,0031.
Наконец, бета акций
Cisco относительно индекса S&P500 равно
,В(Cisco)= 0,0031/0,0014 = 2,26.
11.6. Методы измерения эффективности инвестиций
с учетом риска
В первых трех главах мы систематическим образом рассмотрели
различные меры доходности финансовых и, в частности, инвести­
ционных сделок. Однако нашипоказатели касались, в основном, ре­
ализованных доходностей либо планируемых сделок, но без учета
риска. в этой и предьщущих главах, посвященных моделям рынка в
условиях неопределенности, бьшо показано, что за дополнительно
принимаемый риск инвестор требует компенсации в виде повышен­
ной доходности. Поэтому характеристика инвестиционных опера­
ций на рынке исключительно в терминах традиционных мер доход­
ности заведомо неполна. Необходимо исriользовать скорректирован­
ные характеристики доходности, т.е показатели, учитывающие риск
инвестиций. С момента появления портфельной теории и современ­
ных моделей рынка, таких как САРМ, были предложены различные
показатели эффективности инвестиций. Большинство из них осно­
ваны непосредственно на использовании САРМ.
·
В этой главе мы рассматриваем лишь некоторые наиболее из­
вестные подходы к определению эффективности инвестиций, позво­
ляющих, в частности, характеризовать качество работы различных
взаимных фондов. Все эти характеристики основаны на сравнении
сформированногоинвестором (или управляющим) портфеля с эта­
лоном, в качестве которого рассматривается рыночный портфель.
167
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Коэффициент Шарпа
(Sharpe тeasure) представляет собой част­
ное от деления средней избыточной (дополнительной) доходности
портфеля за определенный период на стандартное отклонение до­
ходности портфеля за этот период. Здесь под избыточной доходно­
стью понимается превышение реализованной доходности над безри­
сковой. Аналитический (статистический) коэффициент Шарпа записывается в виде:
(11.26)
Таким образом, коэффициент Шарпа выражает сооmошение между
реализованной премией за риск и полным риском портфеля. В соот­
ветствии с портфельной теорией все эффективные (оптимальные)
портфели лежат на эффективной линии рынка, так что теоретиче­
ский коэффициент Шарпа:
(11.27)
для всех эффективных портфелей постоянен, в частности он равен .
коэффициенту Шарпа рыночного портфеля
Sя
= E(~)-ro =Sм =
E(Rм)-ro .
an
ам
Последнее равенство имеет место в условиях равновесия. Соглас­
но САРМ теоретический коэффициент Шарпа любого портфеля не
может быть выше Sм - рыночного коэффициента Шарпа, предста­
вляющего наклон эффективной линии рынка:
s1t~sм.
(11.28)
Таким образом,. коэффициент Шарпа есть своего рода м;ера эф­
фективности портфеля. · Заметим, что, хотя для теоретических коэф­
фициентов выполняется неравенство
стические) значения
Sn' Sм не
(11.28), их выборочные (стати­
обязательно удовлетворяют этому не­
равенству. В этом случае сопоставление значений Sn и S м позволяет
судить о качестве управления инвестициями. Так, если S" >S м , то го­
ворят, что управляющий победил рынок
(beat the market),
в против­
ном случае говорят о проигрыше (по сравнению с рынком).
Пример
ции
Cisco
11.9.
Пусть управляющий все средства вкладывал в ак~
(см. пример
11.8).
Пусть также среднемесячное значение
безрисковой доходности r 0 = 0,008. Найти месячные статистические
коэффициенты для портфеля из акций Cisco и рыночного портфеля.
168
Глава
11. Модели финансовых рынков
Решение. Месячный статистический коэффициент Шарпа для
портфеля из акций
Cisco по данным примера 11.8 равен
sтr = 0,075-0,008
=о 6318 .
О 011
'
'
'
а для рыночного портфеля
sм
=
0,0158-0,008 =о 2085 :
о 0374
'
'
'
так что в этом случае портфель из одних акций
Cisco превосходит ры­
ночный портфель с учетом риска.
Коэффициент Трейпора
(Treynormeasure).
В от.ri:ичие от коэффици­
ента Шарпа, в коэффициенте Трейнора рисковая премия соотносит­
ся не с полным, а с систематическим риском портфеля:
t
тr
=
r; -Ра .
(11.29)
/3тr
Теоретический аналог этого коэффициента записывается в виде
Т
ir
= E(J\r)-ro
/Зir
(11.30)
.
Легко видеть, что согласно САРМ коэффициент Трейнора являет­
ся константой для всех портфелей и равен рыночному коэффициенту
Трейнора, или, учитывая, что бета рынка равна
_
ттr-_E(~)-ro
f3тr
-
1, рыночной премии:
Т _ E(Rм)-ro м-
/Зм
-Гм
_
ro.
(·11.31)
Это равенство выполняется лишь при условии равновесия рын­
ка. На практике для статистических (выборочных) значений эти ко- .
эффициенты обычно не совпадают. Превышение значе:flия Ттс над
рыночным значением Тм считается индикатором превосходства
портфеля п над рынком.
Пример 11.10. Для портфеля из акций Cisco и рыночного портфе­
ля найти месячные статистические коэффициенты Трейнора по дан­
ным примера
11. 8. Безрисковая доходность равна О, 008.
Решение. Месячный статистический коэффициент Трейнора дЛЯ
портфелЯ из акций
Cis.co по данным примера 11.8 равен
s =0,075-0,008
=о 0308
2 26
'
'
тr
.
а для рыночного портфеля
sм
=
'
0,0158-0,008
1
=
0,0078.
169
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Снова получаем превосходство портфеля из акций
Cisco над ры­
ночным портфелем.
Коэффициент Йенсена (Jensen measure). Статистический коэффи­
циент Йенсена, или альфа-коэффициент вычисляется по формуле:
(11.32)
Коэффициент Йенсена показывает превышение реализованной
(средней) доходности над "ожидаемой в соответствии с САРМ" до­
ходностью портфеля.
Теоретический коэффициент Йенсена равен
ак = E(Rir)-(r0 + fЗк(rм
-r0 )) = (E(Rк)-r0 )- fЗк(rм ~r0 ) •
(11.33)
В соответствии с САРМ теоретический коэффициент альфа на
равновесном рынке должен быть равным нулю. Однако на практике
он обычно отличен от нуля. Его положительное значение обычно
трактуется как превосходство портфеля над рынком.
Пример
11.11. Для портфеля из акций Cisco найти месячный ста­
тистический коэффициент Йенсена по данным примера
сковая доходность равна
11.8. Безри­
0,008.
Решение. Месячный коэффициент Йенсена для акций Cisco равен
a1t =0,0775-2,26·(0,015&-o,oos) =
О,0599.
Положительность коэффициента альфа означает превосходство
портфеля над рынком.
Приведенные меры риска можно использовать не только для
сравнения с эталоном (рынком), но и для сравнения между собой
различных портфелей. Так, для. любых двух портфелей лучшим отно­
сительно выбранной меры (Шарпа, Трейнора или Йенсена) будет
считаться тот, для которого соответствующий показатель имеет боль­
шее значение.
В наших примерах с портфелем
Cisco
он превосходил рыночный
портфель по всем показателям. В общем случае, однако, эти меры
необязателыю дают согласованные результаты. Иными словами, порт­
фель, превосходящий другой портфель (например, рыночный) по од­
ному показателю, необязательно будет превосходить другой по другим
показателям.
Показатель М 2 избыточной доходности Модильяни. Коэффици­
енты Шарпа и Йенсена являются отношениями показателей риска и
доходности. Этим отношениям нелегко дать осмысленную интер­
претацию. Значительно более удобной хара:кТеристикой эффектив­
ности инвестиций с учетом риска является показатель, предложен-
170
Глава
11. Модели финансовых рынков
ный Ли Модильяни (внучкой лауреата нобелевской премии по эко­
номике Франко Модильяни). Для заданного портфеля 1t этот пока~а­
тель представляет собой превышение над рыночной доходностью r м
доходности приведенного (ассоциированного с
1t)
портфеля
1t*,
имеющего в модели Тобина тот же риск, что и рыночный портфель.
Для вычисления показателя Модильяни нам нео_бходимо сначала по­
строить портфель 1t*, с тем же риском что и 1t, являющийся линейной
комбинацией заданного и безрискового портфеля. Пусть
1t* = ( 1-и)7t 0 +
где 7t0 -
ип,
безрисковый портфель. Тогда для доходности портфеля
1t*
имеем
E(1t*) = (l-u)E(1t0 ) + uE(1t) = (1-u)r0 + ur1t,
где r 0 - безрисковая доходность, а r'lt - доходность портфеля 1t.
Соответственно риск cr • портфеля 1t* равен
1t
а1&*
=a(1t*) = ua(rr.) =
иап'
где ап - риск (стандартное отклонение) портфеля
1t.
Из условия сов­
падения рисков портфеля п и рыночного портфеля
а*= иа =а
1С
п
м
следует:
и= ам/а1С.
Подставляя это равенство в выражение для ожидаемой доходности
портфеля
1t*,
получим:
E(n*) = (1-u)r0 + urn = r0
+ u(rJC -
r0 )
= r0 + (rir -
r0 )aмl <J".
Отсюда и из определения показателя Модильяни следует
М 2( 7t) = Е( 7t*) - Е(1tм) = ( r" - r0 ) амl а11:
Пример
-
(rм - r 0 ).
11.12. Для портфеля из акций Cisco найти месячный ста­
тистический показатель Модильяни по данным примера
сковая доходность равна
11. 8. Безри­
0,008.
Решение. Имеем
rм=
0,0158,
rCisco
= 0,0775 И ам= 0,037417,
(JCisco =
0,11.
Следовательно
М 2 ( Cisco)
=
(О,0775
= (r Cisco - 'о) ам /аCisco - ( rм - ro) =
- 0,008) 0,037417 /0,11 - (0,0158 - 0,008) = 0,01584.
Снова положительность показателя означает превосходство портфе­
ля над рынком.
171
Часть
Оптимальные портфели ценных бу;маг
!!.
Показатель Т Трейнора. Аналогичным образом можно постро­
2
ить показатель избыточной (над рыночной) доходности портфеля,
ассоциированного с данным и имеющий одинаковый с рыночным
систематический риск. Иными словами, ассоциированный (приве­
денный) портфель n* является линейной комбинацией заданного п и
безрискового
n0 портфеля, имеющего бету 1. Если
п* = (1-и)п0 + ип,
то
/3(n*) =
где /Зп
-
о-·и)/З(тtо)
+ иfЗ(п) = иfЗп =1,
бета портфеля п. Отсюда следует
u=1/f3n·
Подставляя это значение в выражение для ожидаемой доходности п*,
получим
Е(п*)
= (l-u)r0 +и,.= r0 + u(rn - r 0)
= r0
+ (r1t- r0 )/{Зп.
Следовательно:
Т 2 (п) = Е(тс*) - Е(пм)
Пример
= (rn - r0)//3л - (rм- r0).
11.13. Для портфеля из акцийСisсо найти месячный ста­
тистический показатель избыточной доходности Трейнора по дан­
ным примера
11.8.
Безрисковая доходность равна
0,008.
Решение. Имеем:
rM=
0,0158, ГCisco= 0,0775 И /Зcisco = 2,26.
Следовательно:
T 2(Cisco) = (rCisco - ro)//Зcisco - (rм- Го)=
= (О,0775~0,008)/2.26 - (0,0158-0,008) = 0,022952
Снова положительность показателя означает превосходство портфе­
ля над рынком.
Задачи к главе
11
1. Портфель имеет вариацию 30 и бету 1,2. Рыночная вариация
15 %. Найти стандартное отклонение несистематического риска
портфеля.
Рыночный портфель имеет доходность 12% и риск (стандарт­
ное отклонение) 6%. Безрисковая доходность равна 5%. Коэффици­
2.
ент неприятия риска инвестором
0 = 1О.
Какую комбинацию рыноч­
ного и безрискового портфеля выберет инвестор. Какова доходность,
риск и бета этого портфеля.
·
·
172
Глава
11. Модели финансовых рынков
3. Рынок с безрисковым акmвом А0 из двумя рисковыми активами
А 1 и~ имеет параметры: m0 =1, m1 =2, m2 = 4; б1 =2, а2 = 3, р 12 = -0,5.
Найти уравнение эффективной линии рынка и оптимальный порт­
фель инвестора с коэффициентом неприятия риска, равным
Пусть рынок состоит из двух активов С и
4.
Dи
4.
безрискового
актива. Актив С имеет ожидаемую доходность 5% и стандартное от­
клонение 10%. Актив D имеет ожидаемую доходность 10% и стандарт­
ное отклонение 20%. Безрисковая доходность равна 5%. Пусть коэф ­
фициент корреляции между доходностями этих активов равен -1.
Как нужно распределить инвестиционный капитал между этими ак­
тивами, чтобы полученный Портфель: а) имел нулевой риск, б) нуле­
вую бету? Какова доходность этих портфелей?
5. Портф~ль имеет вар:иацию 25 %% и бету 1,2. Безрисковая до­
ходность равна 5% а рыночная - 15%. Найти ожидаемую доходность
портфеля. Каков рыночный риск если портфель эффективен?
6.
В приведенной ниже таблице содержатся данные о месячных
доходностях рыночного индекса и акций
Период
янв.
90 ·
фев.
март
апр.
июль
авг.
сен.
окт.
90
90
90
90
90
90
90
90
05
0,02
0,02
-0,03
0,05
0,01
-0,03
-О
о
22
-0,03
-О
-О 25
-О
Intel
о
14
0,02
0,04
-О
IBM
0,05
0,07
0,02
.0,03
'
июнь
90
Рынок
'
май ·
Intel и IBM за 1990 год.
'
05
'
0,11
05
'
11
'
'
-О ' 02 ~о ,.05 -0,08
.
-О
'
08
-О
'
06
0,00
0,01
0,04
-О
'
01
Найти статистическую бету акций
декса.
Intel и IBM относительно ин­
Найдите бетуравновзвешенного портфелях= (1/2,1/2) из этих
акций.
7.
Для равновзвешенного портфеля из акций
I11tel
и
IBM
(см .
данные задачи 6) найти месячные статистические показатели Шарпа,
Трейнора, Йенсена и Модильяни. Сравнить их с соответствующими
рыночными показателями.