СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) § Основные понятия. Нормальные системы Определение системы дифференциальных уравнений Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные. Всегда предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных функций. Например, система двух дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид: dy dz ⎧ ⎪ f1 ( x, y, z , dx , dx ) = 0, ⎨ dy dz ⎪ f 2 ( x , y , z , , ) = 0. dx dx ⎩ Решение этой системы дифференциальных уравнений состоит в нахождении функций y = y (x) и z = z (x) , удовлетворяющих обоим уравнениям системы. Определение нормальной системы дифференциальных уравнений (НСДУ) Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной: ⎧ y1/ = f1 ( x, y1 , y2 , ... , yn ); ⎪ / ⎪ y2 = f ( x, y1 , y2 , ... , yn ); ⎨ ⎪ ................................ ⎪⎩ yn/ = f ( x, y1 , y2 , ..., yn ), где х – независимая переменная, y1 ( x), y2 ( x), .... , yn ( x) − неизвестные функции. Решением системы дифференциальных Определение решения системы уравнений называется совокупность функций дифференциальных y1 ( x), y2 ( x), .... , yn ( x) , удовлетворяющих уравнений каждому уравнению этой системы. Определение частного решения системы дифференциальных уравнений Частным решением СДУ называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y1 ( x0 ) = y10 , y2 ( x0 ) = y20 , ... , yn ( x0 ) = yn 0 , где y10 , y20 , ... , yn 0 − заданные постоянные числа. § Метод исключения неизвестных решения НСДУ Теорема 1 о связи дифференциального уравнения n-го порядка с нормальной СДУ Одно дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей y ( n ) = f ( x, y, y / , y // , ..., y ( n −1) ) , производной: всегда можно свести к нормальной системе дифференциальных уравнений. Теорема 2 о связи дифференциального уравнения n-го порядка с нормальной СДУ Нормальную систему дифференциальных методом уравнений можно привести исключения неизвестных к одному уравнению, порядок которого меньше или равен числу уравнений нормальной системы дифференциальных уравнений. Алгоритм применения метода исключения неизвестных Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х: y1// = ( f 1 ) /x + ( f1 ) /y1 ⋅ y1/ + ( f1 ) y 2 ⋅ y 2/ + ... + ( f 1 ) /yn ⋅ y n/ . Производные y1/ , y 2/ , ... , y n/ в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ. Получим уравнение y1// = F2 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ) y1/// = ( y1// ) /x = ( F2 ) /x + ( F2 ) /y1 ⋅ y1/ + ( F2 ) /y 2 ⋅ y 2/ + ... + ( F2 ) /yn ⋅ y n/ . Производные y1/ , y 2/ , ... , y n/ в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ. Получим уравнение y1/// = F3 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ) …….. И так далее ……. y1( n ) = Fn ( x, y1 , y 2 , ... , y n ) Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединяем в систему: / ⎧ y1 = f1 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ), ⎪ // ⎪⎪ y1 = F2 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ), /// ⎨ y1 = F3 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ), ⎪ ........................ ⎪ (n) ⎪⎩ y1 = Fn ( x, y1 , y 2 , ... , y n ). Первые n − 1 уравнений решаем относительно переменных y1 , y 2 , ... , y n , выражая их через переменные x, y1 , y1/ , y1// , ... y1( n −1) . Подставляя полученные выражения в последнее уравнение системы, придём к уравнению порядка n относительно одной неизвестной y1 . Замечание. Порядок последнего уравнения может быть меньше n, если при его получении были использованы не все уравнения системы. § Метод выделения интегрируемых комбинаций Получают из системы такие уравнения, которые можно проинтегрировать и найти первый интеграл системы. Если найдены n независимых первых интегралов НСДУ, то их совокупность дает общий интеграл этой системы. Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме: dy n dy1 dy 2 dx = = ... = = f 1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) 1 и используют следующее свойство равных дробей: если u u1 u 2 = = ... = n = γ , v1 v 2 vn то при любых α 1 , α 2 ,..., α n имеет место соотношение α 1u1 + α 2 u 2 + ... + α n u n = γ (∗). α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n Значения α 1 , α 2 ,..., α n подбираются таким образом, чтобы числитель в (∗) был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю. § Нормальная линейная однородная система n -го порядка (НЛОС). Тип системы Нормальная линейная однородная система n -го порядка (НЛОС). Признак системы Вид системы y ( x) = a11 ( x) y1 + a12 ( x) y2 + ... + a1n ( x) yn , / 1 y2/ ( x) = a21 ( x) y1 + a22 ( x) y2 + ... + a2 n ( x) yn , .......................................................... Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части уравнений представляют собой линейные комбинации искомых функций. yn/ ( x) = an1 ( x) y1 + an 2 ( x) y2 + ... + ann ( x) yn , . Коэффициенты линейных искомых функций зависят от аргумента x . комбинаций Метод решения системы Метод исключения неизвестных (см. НСДУ). Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность произвольных n линейно независимых решений Yk ( x) = ( y1(k ) ( x ), y 2( k ) ( x), ... , y n( k ) ( x)), k = 1,2,..., n . Если Yk ( x), k = 1,2,..., n, − фундаментальная система частных решений ЛОС, то общее решение имеет вид n Y ( x ) = ∑ C k Yk ( x ) , k =1 где C1 , C2 ,..., Cn − произвольные постоянные. § Нормальная линейная однородная система n -го порядка с постоянными коэффициентами Тип системы Вид системы Признак системы y1/ ( x) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n , Нормальная линейная однородная система n-го порядка с постоянными коэффициента ми y 2/ ( x) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n , .......................................................... y n/ ( x) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , . Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций постоянны. ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠ А – матрица из коэффициентов при искомых функциях. Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части уравнений представляют собой линейные комбинации искомых функций. Метод решения системы Матричный метод. Из характеристического уравнения det( A − λE ) = 0 находят различные корни λ1 , λ2 ,..., λ s и для каждого корня λ (с учетом его кратности) определяют соответствующее ему частное решение Y (λ ) ( x) . Общее решение имеет вид n Y ( x ) = ∑ C k Y ( λk ) ( x ) k =1 . При этом, если а) λ − действительный корень кратности 1 (один), то ⎛ ξ1( λ ) ⎞ ⎜ (λ ) ⎟ ⎜ ξ 2 ⎟ λx (λ ) ( λ ) λx =⎜ ⎟e , ... ⎜ ⎟ ⎜ ξ (λ ) ⎟ ⎝ n ⎠ (λ ) где Y − собственный вектор матрицы A , соответствующий собственному значению λ , то есть AY ( λ ) = λY ( λ ) , Y ( λ ) ≠ 0 Если б) λ − комплексный корень кратности 1 (один), тогда корнем характеристического уравнения является также сопряженное с λ число λ . Вместо комплексных частных Y ( x) = Y e решений Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) следует взять действительные частные решения Y1( λ ) ( x ) = Re Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) = Im Y ( λ ) ( x ) . Если в) λ − корень кратности r ≥ 2 , то соответствующее этому корню решение системы ищут в виде вектора (1) (2) ( r ) r −1 ⎛α 1 + α 1 x + ... + α 1 x ⎞ ⎟ ⎜ (1) α + α 2( 2 ) x + ... + α 2( r ) x r −1 ⎟e λx (∗∗), коэффициенты которого Y (λ ) ( x) = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜α (1) + α ( 2 ) x + ... + α ( r ) x r −1 ⎟ n n ⎠ ⎝ n ( j) α i , i = 1,..., n, j = 1,..., r определяются из системы линейных уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в результате подстановки вектора (∗∗) в исходную систему. План решения нормальной линейной однородной системы дифференциальных уравнений (НЛО СДУ) с постоянными коэффициентами 1. Составить характеристическое уравнение det( A − λE ) = 0 ; 2. Найти собственные числа λ1 , λ2 ,..., λ s и соответствующие им собственные векторы Y1 , Y2 , ... , Ys ; 3. Составить фундаментальную систему частных решений Y ( λi ) ( x) = Yi ( λi ) e λi x ⎛ ξ1( λi ) ⎞ ⎜ (λ ) ⎟ ⎜ξ i ⎟ = ⎜ 2 ⎟ e λi x , i = 1, 2,... , n; ⎜ ... ⎟ ⎜ ξ ( λi ) ⎟ ⎝ n ⎠ 4. Составить общее решение n Y ( x ) = ∑ C k Y ( λk ) ( x ) k =1 5. Для решения задачи Коши использовать данные начальные условия, в соответствии с которыми найти значения произвольных постоянных C k , k = 1, 2, ... , n ; 6. Записать частное решение, подставив в общее решение найденные значения произвольных постоянных. Определение нормальной линейной неоднородной СДУ Нормальной линейной неоднородной СДУ называется система ДУ называется система, где по крайней мере одна из функций f k ( x) не равна тождественно нулю ( k = 1, 2, ... , n ): y1/ ( x) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n + f1 ( x), y 2/ ( x) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n + f 2 ( x), .......................................................... y n/ ( x) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , + f n ( x). Замечание. В силу теорем о связи нормальных систем ДУ с линейными ДУ n – го порядка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, о структуре общего решения однородных и неоднородных ДУ остаются справедливыми и для нормальных систем дифференциальных уравнений.