пРОГНОзИРОВАНИЕ СпРОСА И УпРАВЛЕНИЕ ЦЕпЬю

Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 3 (141).
Экономика. Вып. 19. С. 92–98.
Л. Я. Бухарбаева, Д. В. Филиппов, Д. П. Брусиловский
Прогнозирование спроса и управление цепью поставок
в логистической среде
товарно-производственных
Рассматривается подсистема транспортной логистики и относящаяся к ней модель прогнозирования заказов. Приведена оптимизационная модель поиска маршрутов. Для решения поставленных
задач предложены новые алгоритмы с использованием эволюционных метаэвристик. В заключение
приведена схема транспортной логистической системы оптимизации маршрутов.
Ключевые слова: логистика, цепь поставок, товарно-производственный комплекс.
В последние десятилетия в различных сферах производственной, торговой и организационной деятельности часто применяется термин
логистика. На самом деле логистика возникла
с зарождением цивилизации [1].
Логистика — это управление всем процессом движения материалов, товаров и продуктов в фирму, внутри ее и из нее. Закупочная
логистика — управление поставками материалов от поставщиков. Менеджмент материалов описывает движение материалов, полуфаб­
рикатов и комплектующих вне и внутри фирмы. Физическое распределение рассматривает
движение готовых (складируемых) продуктов
из фирмы к потребителю.
Управление цепью поставок — обобщенное
понятие логистики от момента прогнозирования
заказа товаров до поступления их к конечному
потребителю. Это понятие определяет верхний
уровень логистики — интегрированную цепь
поставок [2]. Она хорошо ложится на торговозакупочные фирмы, сети супермаркетов, специа­
лизированные распределительные центры, перерабатывающие предприятия. В крупной индустрии (производство крупногабаритных станков,
передвижной техники, перерабатывающих механизмов и др.) привычнее иметь дело с системами автоматизации проектирования и технологической подготовки производства, снабженными
автоматизированным оборудованием. Хорошо
известны логика построения САПР и ТП, законы их организационной и функциональной
структуры, например [3]. Однако разные производственные этапы связаны друг с другом материальными потоками в технологической цепи.
В связи с этим индустриальной логистикой является, по сути, САПР поставок. Существуют
различные логистические системы, в том числе
часто находят применение прогнозирование и
управление заказами, транспортная логистика с
управлением транспортно-упаковочными операциями, управление расписанием движения и выполнения работ.
Наиболее часто встречаются ситуации, связанные с транспортировкой (доставкой) товаров,
материалов и комплектующих [2]. Системы прогнозирования и предваряют собственно цепь поставок. Угадать на этом этапе — гарантия успеха
с большой прибылью, а недооценка в прогнозировании может привести к потери прибыли.
В этой статье мы ограничимся постановкой задач прогнозирования и транспортировки, возникающих в логиcтической среде товарно-произ­
водственных комплексов.
Содержательная постановка этих проблем
и другие вопросы логистической цепи поставок
хорошо изучены, например [1; 2]. Вместе с тем
модули логистических систем часто разрабатываются на интуитивном уровне, без применения строгих расчетов и методов оптимизации.
Включение неадаптированных математических
моделей и методов также не приносит желаемых
результатов. Таким образом, требуется разработка логистико ориентированных методов решения оптимизационных задач снабжения и физического распределения в общей цепи поставок.
1. Прогнозирование спроса в логистической
среде товарно-производственных комплексов
Существуют различные подходы к прогнозированию спроса, однако любую процедуру прогноза можно отнести к одному из четырех:
Оценочный подход заключается в предположении того, что правильный ответ кому-то известен
и этого эксперта можно спросить.
Экспериментальный подход к прогнозированию спроса хорошо работает, если товар — новинка и у нас нет информации, на основе которой можно строить прогноз. Подход заключается в том, чтобы провести эксперимент на небольшой группе потребителей, измерить спрос
Прогнозирование спроса и управление цепью поставок в логистической среде товарно-производственных…
и экстраполировать полученные результаты на
группы большего размера.
Причинно-следственный подход опирается на
допущение, что потребители покупают товар по
определенной причине, которую можно использовать для прогнозирования спроса.
Подход временных рядов. Прогнозирование
с помощью временных рядов коренным образом
отличается от первых трех подходов. Сущность
подхода — понимание (или предположение)
того, что уровень спроса меняется характерным
образом и эти характерные изменения повторяются — по крайней мере приблизительно. Если
удастся выявить и описать эти общие закономерности и тенденции без оглядки на их причины, на этом описании можно строить прогнозы.
Именно этот подход рассмотрим подробнее.
Прогнозирование спроса на бинарной шкале. Бинарные временные ряды образуются, когда интерес представляет наступление события.
Например, когда спрос на определенный товар
интересует нас лишь по достижении им определенного уровня. Во всех этих случаях данные
о спросе можно представить в виде бинарных
временных рядов. Значения бинарных временных рядов можно закодировать как «да» и «нет»
или как 0 и 1.
Предсказание (прогноз) двоичного спроса может оказаться полезным в выработке рекомендаций для пополнения запасов.
Бинарное прогнозирование спроса можно осуществить с помощью регрессионных моделей
двоичных зависимых переменных. Регрессию
можно интерпретировать как моделирование
вероятности так, что зависимая переменная равна единице. Среди регрессионных моделей двоичных зависимых переменных нужно отметить
регрессионные модели пробит и логит.
Логистическая регрессия (модель логит) используется для предсказания вероятности
наступ­ления события. Она использует несколько прогнозируемых переменных, которые могут
быть численными или категориальными:
 p 
log it( pi ) = ln  i  = β0 + β1 x1,i + ... + βk xk ,i .
 1 − pi 
В этом уравнении β — вектор неизвестных параметров, а х — вектор прогнозируемых переменных.
Пробит-модель предполагает, что
Pr(Y = 1 X = x ) = Φ( x ' β),
93
где Φ — интегральная функция распределения стандартного нормального распределения.
Параметр β обычно оценивается методом максимального правдоподобия. В традиционном логистическом регрессивном моделировании правая
часть уравнения линейна, и она составляется исследователем. При большом количестве прогнозируемых переменных можно использовать их
пошаговый выбор. Этот подход — статистический. В логистическом регрессивном моделировании для добычи данных правая часть уравнения нелинейная и непараметрическая. Функция
правой части составляется на основе данных
пользователя.
Известно, что если наблюдения зависимы
от времени, то результаты обычного анализа
методами логит или пробит могут оказаться неверными, так как эти модели не работают с данными временных рядов. Следовательно, нужен
иной класс моделей, способный при необходимости работать с такими данными. Бинарные временные ряды образуются, когда интерес представляет наступление события.
Определим бинарный процесс AR(p) как цепь
Маркова с двумя состояниями {Yt} на множестве
{0, 1} где t = 0, 1, 2, …, а вероятности перехода
определяются по формуле
Pr(Yt = 1 Yt −1 ) =  −1 (λ + ϕ1Yt −i + ... + ϕ pYt − p ),
где Yt −1 = (Yt −1,Yt −2 ,...,Y 0 ) ' , а  обозначает связующую функцию. Два важных случая — идентификационная связующая функция (u) = u и логистическая связующая функция:
 u 
(u ) = log 
.
1 − u 
Обобщение модели AR(p) приводит к трем
разным версиям бинарной модели временных
рядов, допускающей непараметрические аддитивные сопутствующие переменные [4]:
1) переходная бинарная аддитивная модель;
2) переходная бинарная аддитивная модель
с запаздывающими ковариациями;
3) бинарная аддитивная модель с автокорреляцией ошибок.
Прогнозирование спроса на ординальной
шкале. Ординальный анализ — новый подход
к исследованию сложных временных рядов.
Основная идея состоит в том, что рассматриваются не сами величины спроса, а отношения
порядка между значениями временного ряда,
94
представляющего спрос (например, «низкий,
средний, высокий»). Информация об абсолютной величине исходных данных теряется, но всё
же удается получить надежные числовые оценки
внутренней динамики системы. Основная идея
состоит в том, что, сосредоточившись на порядковой структуре временного ряда, можно разработать простые и быстродействующие методы анализа временных рядов и прогноза спроса на товар. Это очень перспективный путь,
поскольку: позволяет свести сложную систему
к упрощенной структуре; дает быстрые и гибкие
алгоритмы; гарантирует устойчивость к посторонним шумам.
Следует упомянуть по крайней мере два недостатка этого подхода: он требует большого объема исторических данных, а также нормального распределения переменной спроса, лежащей
в основе модели.
Прогнозирование спроса на счетной шкале.
Регрессия Пуассона — распространенный метод
анализа счетных данных. Он применяется для
моделирования количества наступлений интересующего события. Пуассоново распределение
зависимой переменной ограничено положительными значениями, и дисперсия равна его среднему значению. В пуассоновой регрессии предполагается, что зависимая переменная Y, число
наступлений события (уровень спроса, т. е. зависимые переменные X1, Х2, …, Хn) распределяются
в соответствии с моделью Пуассона.
Этот метод использует однопараметрическую
модель для описания распределения зависимой переменной (дисперсия является функцией от среднего). Данные спроса на продукт являются зависимыми и могут быть представлены в виде временного ряда. Временные ряды со
счетными данными используются при прогнозировании спроса чаще всего. Спрос на продукт
в момент времени t представлен в виде целого
числа Nt, где t может быть месяцем или кварталом. Показатели Nt часто низкие, и потому для
них не подходит анализ с помощью моделей временных рядов, разработанных для непрерывных
случайных величин. Предполагается: что существует история спроса на товар; показатели
Nt следуют пуассонову распределению с авторегрессивным средним.
В нашем случае Nt отражает динамику спроса. Одна из характерных особенностей пуассонова распределения — равенство среднего значения и дисперсии. Это свойство называется
Л. Я. Бухарбаева, Д. В. Филиппов, Д. П. Брусиловский
эквидисперсией. Моделирование среднего как
авторегрессивный процесс генерирует сверхдис­
персию даже в случае простых пуассоновых распределений. Чтобы решить эту проблему, был
разработан особый тип авторегрессивных моделей для счетных данных — авторегрессивная
условная модель Пуассона (ACP) [5].
2. Основная модель транспортной логистики
Предположим, что тем или иным способом
выполнено прогнозирование спроса потребителя продукции фирмы. Тогда вступают в действие следующие звенья цепи: закупка, хранение на складах, переработка и транспортировка
готовой продукции. Мы рассмотрим модельную
цепь «прогнозирование–транспортировка», минуя промежуточные модули. По сходной схеме
реализуется процесс поставок материалов и комплектующих к производителям или поставка товаров от производителя на центральные склады
торговых сетей.
В качестве основной приведем модель организации поставок материалов, осуществляемых отделом снабжения некоторой торгово-закупочной
компании.
Итак, задана транспортная сеть, состоящая из
m узлов (перекрестков, значимых объектов, тупиков и т. д.) и n звеньев, связывающих пары
узлов. Для каждого звена s заданы два вещественных числа: ds и ts, имеющие смысл протяженности звена и (или) времени его прохождения. Некоторые из узлов помечены. Для них заданы числа bik, i = 1,m , k = 1,q . Если bik > 0, то в
i-м узле расположен завод или склад, располагающий товаром k-го вида в количестве bik.
Если же bik < 0, то в i-м узле расположен объектпотребитель и его заказ на товар k-го вида составит |bik|. Таким образом, для каждого узла i задан q‑мерный вектор. Требуется решить две задачи: сформировать план перевозки материалов
по сети, минимизирующий суммарный пробег
транспортного средства, и составить наилучшее
расписание доставки грузов каждому потребителю. Это двухкритериальная многопродуктовая
сетевая транспортная модель.
Приведенная
ситуация моделируется на гра
фах Γ(V ; S ) . С каждым узлом i = 1,m сопоставим
вершину графа vi ∈ V ; звеном s = 1,q — ориентированную дугу s = (is, js). Тогда транспортной

сети отвечает ориентированный граф Γ(V ; S ) ,
некоторые из узлов которого помечены, а дугам
приписаны веса ds.
95
Прогнозирование спроса и управление цепью поставок в логистической среде товарно-производственных…
Если в приведенной модели речь идет о транспортировке только одного продукта, а веса дуг
пропорциональны их длинам, то мы имеем классическую транспортную задачу в сетевой постановке. Допустимому решению задачи отвечает
остовное дерево D, покрывающее граф Г. Для
поиска покрывающего дерева известен простой
метод Прима [6]; с помощью его модификаций
можно найти минимальное покрывающее дерево
и распределить по нему грузы, решая систему
линейных уравнений:
∑x
s∈N i+
s
−
∑x
s∈N i−
s
+ β = 0,
Затем вычисляется суммарная длина дуг
остовного дерева. Известны методы решения
этой задачи [6].
Если нет особых трудностей в поиске оптимального решения, то они возникают на этапе его реализации. Оказывается необходимым
составить план маршрутов, по которым будут
передвигаться транспортные средства (ТС).
Так возникает в сети поставок задача декомпозиции дерева на маршруты [7]. Если транспортная сеть имеет большую размерность, то предварительно она упрощается с помощью алгоритма
Дейкстры [8].
Пример расчета маршрутов. Пусть транспортная сеть представляет симметричный граф
Г. Вначале в сети 45 узлов, из которых 1 и 7 —
пункты производства продукта; 2, 3, 4, 5, 6, 8,
9, 10, 11 — потребители. Остальные пункты —
транзитные. На этапе 0 рассчитаны кратчайшие
пути между помеченными узлами сети с помощью алгоритма Дейкстры. В результате построен полный симметричный ориентированный
граф Г' c m = 11 вершинами. Фрагмент списка
дуг графа приведен в табл. 1. На рис. 1 изображен соответствующий этой таблице граф.
Таблица 1
Фрагмент списка дуг графа
s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
is, js
1,6
2,7
3,8
1,8
2,6
3,7
1,4
5,9
4,10
ds
5
2
3
2
1
3
5
3
2
s
10
11
12
13
14
15
16
17
18
is, js
4,6
2,9 9,11 4,9 4,11 5,10
7,9
3,5
5,8
ds
2
1
3
2
1
5
7
2
4
1
10
9
11
7
5
8
3
Рис. 1. Фрагмент сети и дерево поставок
Таблица 2
Количество единиц заказанного товара
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
i 1
–40
–60
220
–50
–40
–30 –30
bi 180 –30 –70 –50
где N i+ и N i− — множество дуг, входящих в вершину i и выходящих из нее, а β = (b1, b2, …, bm) —
ассортиментный вектор.
3
2
6
Решения xs системы (1) размещены в 4-м столбце табл. 3. Некоторые из них отрицательные.
Изменим направления соответствующих им дуг
и разместим их в 5-м столбце табл. 3. В последнем столбце записаны положительные компоненты x's, представляющие допустимое решение
задачи. Отвечающее ему дерево изображено на
рис. 1 жирными линиями.
Таблица 3
Построение допустимого дерева
Алгоритм
Прима
Остовное
дерево
Решение
системы
уровней
Допустимое
решение
s
is, js
ds
xs
i's, j's
x's
5
2,6
1
120
2,6
120
2
2,7
2
–150
7,2
150
16
7,9
1
70
7,9
70
12
9,11
1
30
9,11
30
10
4,6
2
–60
6,4
60
9
4,10
2
10
4,10
10
15
5,10
2
20
5,10
20
18
5,8
2
–60
8,5
60
4
1,8
2
180
1,8
180
3
3,8
3
–70
8,3
70
Остается построить маршруты движения транспорта. Каждый маршрут начинается в пункте
производства. Совокупность маршрутов, представленная на графах движения рис. 2, получена
в результате декомпозиции остовного допустимого дерева.
Общая протяженность маршрутов — 22. При
решении задачи с использованием эволюционного алгоритма было построено дерево протяженностью 18 км. В этом случае маршруты М1 и М2
заменились на один маршрут М5, в дополнении
96
Л. Я. Бухарбаева, Д. В. Филиппов, Д. П. Брусиловский
с М3 и М4 общая протяженность составила 19 км.
Это решение оптимальное. На рис. 3 приведена
гистограмма эффективности маршрутов.
Маршрут М1
Маршрут М2
Маршрут М3
Маршрут М4
1
120
1
60
7
150
7
70
8
70
3
8
60
5
20
10
2
120
6
60
4
9
30
11
10
10
Рис. 2. Маршруты поставок
Экономия по сравнению с первым допустимым решением составляет 13,6 %, а с произвольными маршрутами доходит и до 25 %, что показано на гистограмме.
Другой моделью транспортировки грузов является задача коммивояжера. Она представляет
поиск дешевого способа обхода множества пунк­
тов с возвращением в исходную вершину [8]. При
этом посещение каждого пункта возможно только один раз. Решением является маршрут минимальной длины, по которому следует одно ТС.
В сложных сетях предлагается разделение множества потребителей на зоны. Тогда задача коммивояжера решается для каждой из зон. Так поступают некоторые распределительные фирмы.
Разделение на зоны у них происходит по принципу «здравого смысла» опытным путем. Мы предлагаем алгоритм, сходный с кластеризацией.
30
25
20
15
10
5
0
1
2
Ряд 1
3
Ряд 2
4
Ряд 3
Рис. 3. Гистограмма
эффективности маршрутов:
ряд 1 — длина традиционных маршрутов;
ряд 2 — длина допустимых маршрутов;
ряд 3 — длина лучших допустимых маршрутов
3. Управление транспортными маршрутами
Существуют различные алгоритмы расчета
транспортных маршрутов [9]. Мы рассмотрим
«транспортную логистическую систему оптимизации маршрутов». Схематически она изображена на рис. 4. Факторы, влияющие на формирование оптимальных, вернее рациональных
маршрутов, указаны на этом рисунке. Поясним
их содержание.
Информационные транспортные модели.
Прежде всего следует отметить, что рассматриваются транспортные задачи в сетевой постановке. При этом транспортная сеть взвешенная,
т. е. звеньям заданы веса, несущие определенный
смысл. Что касается узлов, то каждому из них
сопоставлены одно или несколько вещественных чисел, порождающих одно- или многопродуктовую модели. Основная задача транспортировки задается взвешенной сетью. Если эта сеть
сложна, например представляет большой район,
связывающий участками дорог множество узлов
и только небольшая часть из них помечена, целесообразно рассматривать упрощенную сеть,
все узлы которой отмечены. Сеть разбивается на зоны обслуживания отдельными ТС при
условии, когда одно ТС может обслужить зону
целиком.
Анализ и преобразование. Анализ принимает решение о соответствии информационной
модели реальной обстановке на сети. Если соответствие отсутствует, то применяется корректировка модели. Так, для перехода от общей сети
к упрощенной, в которой фигурируют только потребители и поставщики товаров, применяется
алгоритм для поиска кратчайших путей между
каждой парой отмеченных узлов [8]. Длина такого пути определяется весом соответствующего
звена, а неотмеченные узлы временно исключаются из сети. В случае целесообразности использования зональной транспортной сети исходная
цепь — общая или упрощенная — подвергается
декомпозиции на зоны. С этой целью можно применить методы кластерного анализа, в частности, правило ближайшего соседа [9].
Оптимизационные модели. На третьем уровне генерируется оптимизационная математическая модель в виде ограничений, определяющих
допустимую область и функции цели, заданной
на этой области. Различаются однопродуктовая транспортная модель и консолидированная,
т. е. многопродуктовая модель. Другие отличия, а они, естественно, возникают, на схеме мы
не приводим.
Методы решения транспортной задачи.
Предусмотрено применение точных и эвристи­
Прогнозирование спроса и управление цепью поставок в логистической среде товарно-производственных…
ческих методов. Среди точных — метод потенциалов, представляющий конкретизацию линейного программирования, и метод линейного
программирования с неявно заданной матрицей
ограничений [6]. Первый традиционно применяется для решения однопродуктовой задачи,
второй — многопродуктовой. В качестве эврис­
тик используются эволюционные алгоритмы.
Хорошие перспективы у одноточечного метода
(1 + 1) – А [10]. Алгоритмы, конструирующие решение транспортной задачи, основаны на методе
Прима для построения остовного дерева. В задаче коммивояжера вместо дерева имеем цепь.
Применяемые алгоритмы быстрые, они удобны
для использования в реальном времени.
Расчет маршрутов. Этот модуль предназначен для преобразования остовного дерева в совокупности маршрутов. Декомпозиция
остовного дерева реализуется в едином режиме
с его построением. Это связано с тем, что критерием оптимальности является общий вес всех
Информационные
транспортные
модели
Анализ
и преобразование
информационных
моделей
Оптимизационные
модели
Методы решения
транспортных
задач
Расчет
маршрутов
Вывод
и управление
маршрутами
маршрутов. В многопродуктовой модели имеем
совокупность маршрутов для каждого из продуктов. Они синтезируются с целью консолидации груза для одного транспортного средства
и различных потребителей.
Вывод и управление маршрутами. Для каждого маршрута заполняются сопроводительные
документы: график маршрута, счета-фактуры,
план погрузки и выгрузки материала и т. д.
Составляется план размещения товаров в ТС и
план их выгрузки в пунктах назначения. С этой
целью используется мультиметодный алгоритм
размещения [10]. В случае если поставщики расположены на большом расстоянии от строительной площадки, составляется расписание движения ТС, включая погрузочные и разгрузочные
работы.
Приведенным описанием функций транспортной логистики не исчерпывается ее роль в оптимизации маршрутов передвижения товарномате­риальных ценностей.
Взвешенная
транспортная сеть
Анализ сети
Упрощенная
транспортная сеть
Метод
кратчайших
путей
Анализ сети
Однопродуктовая
модель
Метод
потенциалов
Метод линейного
программирования
Множество
маршрутов
Зональная
транспортная сеть
Метод
ближайшего
соседа
Консолидированная модель
Эволюционная
метаэвристика
для коммивояжера
Эволюционная
метаэвристика
Декомпозиция
и синтез
маршрутов
Декомпозиция
остовного дерева
97
Синтез
маршрутов
Анализ маршрутов
Маршрутный листок
Рис. 4. Оптимизация маршрутов в транспортной логистике
Корректировка
маршрутов
98
Л. Я. Бухарбаева, Д. В. Филиппов, Д. П. Брусиловский
Таким образом, описаны методы прогнозирования и содержательные постановки транспортных моделей на сетях, которые часто встречаются в логистических системах. В качестве основной рассматривается двухкритериальная многопродуктовая транспортная модель, которая
представляет NP-полную проблему. Приведены
ее частные случаи, для которых предложены
новые алгоритмы, допускающие быстрое получение решения. Раскрываются подходы к
созданию подсистемы поставок в общей схеме
транспортной логистики. В этой цепи находит
важное место задача прогнозирования. Без ее
решения невозможно строить долгосрочные логистические прогнозы.
Рассмотрены основные проблемы, возникающие в логистической среде поставок,— задачи
прогнозирования поставок и транспортировки
грузов. Указаны новые алгоритмы для решения
поставленных задач. Основные из них представляют декомпозицию остовного дерева и синтез
маршрутов. Приведена схема управления транспортными маршрутами. Перспективными являются разработки, связанные с расписанием
доставки грузов, трехмерной упаковки в ТС,
заказов и складирования товаров, а главное,
рассмотрение комплекса логистических проб­
лем, их математического и информационного
­обеспечения.
Список литературы
1. Вордлоу, Д. Л. Современная логистика
/ Д. Л. Ворд­лоу [и др.]. М. : Вильямс, 2005. 624 с.
2. Бауэрсокс, Д. Логистика. Интегрированная цепь поставок = Logistical Management: The
Integrated Supply Chain Process : пер. с англ. / Д. Бауэрсокс, Д. Клосс. М. : Олимп-Бизнес, 2006. 640 с.
3. Норенков, И. П. Основы автоматизированного проектирования : учеб. для вузов / И. П. Норенков. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2002. 336 с.
4. Hyndman, R. J. Nonparametric additive regres­
sion models for binary time series [Электронный ресурс] / R. J. Hyndman // Monash University. Режим
доступа: http://www-personal.buseco.monash.edu.
au/~hyndman/papers/logitar.pdf
5. Heineny, A. Modelling Time Series Count
Data: An Autoregressive Conditional Poisson Model
[Электронный ресурс] / A. Heineny. Режим доступа: http://edoc.bib.ucl.ac.be:83/archive/00000229/01/
dp2003-62.pdf
6. Мухачева, Э. А. Математическое программирование / Э. А. Мухачева, Г. Ш. Рубинштейн.
Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1987. 236 с.
7. Bukharbaeva, L. Y. Information-based approa­­
ches to local search for rational solutions of trans­
portation and bin-packing complex problems
/ L. Y. Buk­harbaeva [et al.] // Proceedings of the
Workshop on Computer Science and Information
Technologies (CSIT’2007). Ufa, September 13–16,
2007. Vol. 2. Ufa : Ufa State Aviation Technical
University, 2007. P. 122–126.
8. Ху, Т. Ч. Комбинаторные алгоритмы : пер.
с англ. / Т. Ч. Ху, М. Т. Шинг. Н. Новгород : Издво Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского,
2004. 330 с.
9. Сигал, И. Х. Введение в прикладное дискретное программирование / И. Х. Сигал, А. П. Ива­
нова. М. : Физматлит, 2002. 237 с.
10. Филиппова, А. С. Мультиметодный генетический алгоритм задач ортогональной упаковки /
А. С. Филиппова, Ю. И. Валиахметова // Информ.
технологии. 2007. № 12. С. 50–57.