АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Ю. И. Митрофанов Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия Системы и сети массового обслуживания с дискретным временем в настоящее время широко используются в качестве математических моделей коммуникационных и вычислительных систем и сетей. Особую важность в этом отношении представляют классы сетей массового обслуживания, стационарное распределение которых имеет мультипликативную форму, так как стационарные характеристики сетей этих классов могут быть вычислены достаточно просто. Теория сетей обслуживания с дискретным временем имеет намного более короткую историю, чем теория сетей обслуживания с непрерывным временем. Только в 1990 году в работе [1] был опубликован общий результат о мультипликативной форме стационарного распределения сетей массового обслуживания. Предложенный в этой работе метод анализа неоднородных сетей массового обслуживания с непрерывным и дискретным временем, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований получил дальнейшее развитие в [2, 3]. Обобщение и развитие содержащихся в этих работах результатов по теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем представлено в [4, 5]. В работе [6], посвященной теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем, исследуется проблема существования мультипликативной формы стационарного распределения для сетей трех классов: (1) линейных сетей одноприборных систем массового обслуживания с дисциплиной «первый пришел–первый обслужен», геометрическим распределением длительности обслуживания и входящим потоком требований типа Бернулли; (2) сетей обслуживания с дважды стохастическими и геометрическими системами обслуживания; (3) сетей обслуживания с групповыми переходами требований и групповым обслуживанием. Теоретические и практические аспекты использования сетей обслуживания с дискретным временем в качестве математических моделей телекоммуникационных систем, вычислительных систем и сетей обсуждаются в [7, 8]. Основные результаты теории сетей массового обслуживания с дискретным временем и методы их анализа рассматриваются в фундаментальной работе [9]. Некоторое представление о методах анализа сетей массового обслуживания с непрерывным временем и групповыми переходами требований дает работа [10]. Целью работы является рассмотрение представленных в [1–5] результатов, связанных с определением стационарного распределения в мультипликативной форме сетей обслуживания с дискретным временем. 1 Пусть N – открытая сеть массового обслуживания с дискретным временем, L системами массового обслуживания Si , i = 1,2,K, L , K классами требований, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований (предполагается, что L и K являются конечными). Класс требований может изменяться при переходах требований между системами. Предполагается, что временная ось моментами времени t ∈ T = {0, ± 1, ± 2,K} разбита на интервалы фиксированной длины (слоты) (номер начинающегося в момент t слота равен t ). Все поступления требований в системы и выходы обслуженных требований из систем происходят в конце слотов. Предполагается, что выходы требований из систем осуществляются раньше поступления требований в системы («поздние поступления»). Выходы требований в течение слота (t − 1) происходят в момент времени t − , а поступления требований в течение этого слота – между моментами t − и t . Идентификация состояний сети обслуживания производится в моменты t ∈ T . Состояние сети в момент t описывается вектором st = ( st (i, k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , где st (i , k ) – число требований класса k в системе Si в момент t . Пространство состояний сети обозначим X . Предположим, что эволюция сети может быть описана цепью Маркова sˆ = {st : t ∈ T } , T = {0, ± 1, ± 2,K}, с дискретным временем, пространством состояний X и матрицей вероятностей перехода P = ( pss ' ) , s, s '∈ X . Для описания поступления в системы групп требований и их выходов из систем используются случайные векторы соответственно входящих и выходящих групп требований, которые назовем векторами перемещений, at = ( at (0), at (i , k ),1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , d t = (d t (0), d t (i, k ),1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , где d t (0) и at (0) – число требований, выходящих из сети во внешний источник требований и поступающих в сеть из источника в момент t , а d t (i, k ) и at (i , k ) – соответственно число требований класса k , выходящих из системы Si и поступающих в систему Si в момент t . Предполагается, что процессы {d t } и {at } имеют одно и то же множество состояний Y . Динамика сети обслуживания определяется соотношением st +1 = st − d t∗ + at∗ , где « ∗ » – признак удаления первой компоненты векторов d t , at ∈ Y , т. е. d t∗ = ( d t (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) для d t = ( d t (0), d t (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) ∈ Y . Если сеть в момент t находится в состоянии st , то состояние сети в момент (t + 1) − непосредственно после выхода из систем требований, представленных вектором d t∗ , назовем ос2 товным состоянием сети обслуживания и обозначим bt = (bt (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , где bt (i, k ) – число требований класса k в системе Si в момент времени (t + 1) − , bt = st − d t∗ . Вектор bt зависит только от состояния st и вектора d t и для данных st и d t не зависит от t . Сделаем следующие предположения относительно выходов и поступлений групп требований в системы. Вектор d t зависит только от состояния st в течение всей эволюции сети, и условная вероятность формирования вектора d t для данного st не зависит от t . Обозначим эту условную вероятность через ps , d , т. е. ps , d = P ( d t = d st = s ) ( s ∈ X , d ∈Y ) . Предполагается, что ps , d > 0 , если только s ≥ d ∗ (это означает, что из каждой системы не может уйти требований больше, чем находится в системе). Между моментами (t + 1) − и ( t + 1 ) вектор d t преобразуется в вектор at входящих требований с вероятностью pda . Вектор at зависит только от d t , и вероятность pda = P ( at = a d t = d ) (d , a ∈Y ) . Предполагается, что pda > 0 , если только суммы всех компонент векторов d и a равны, т. е. L K L K d 0 + ∑ ∑ d ik = a0 + ∑ ∑ aik i =1 k =1 i =1 k =1 для d = ( d 0 , d ik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) и a = ( a0 , aik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) (это означает, что при переходе групп требований новых требований не формируется, и требования не теряются). Рассмотрим переход сети обслуживания (цепи Маркова sˆ = {st : t ∈ T } ) из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что d i требований покинули систему Si , ai требований поступили в систему Si , а bi требований оставались в системе Si . Таким образом, можно записать s = b + d и s' = b + a , где b = (b1 ,..., bL ) – вектор оставшихся требований, а d = ( d1 ,..., d L ) и a = ( a1 ,..., a L ) – векторы, представляющие соответственно выходящие и поступающие требования. Соответствующая вероятность перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозначается pda ,b . Заметим, что для данных векторов d и a (данных групп требований d i и ai , 1 ≤ i ≤ L ), разложение векторов s , s ' на s = b + d и s' = b + a является единственным, но переход из состояния s в состояние s ' может произойти также и при других векторах d и a (других значениях компонент векторов d и a ). Полная вероятность перехода из состояния s в состояние s ' тогда определяется выражением 3 pss ' = ∑ pda ,b . {d , a , b: b + d = s , b + a = s '} Заметим, что при переходе из состояния s в состояние s ' направляемые по определенным маршрутам группы требований d i и ai , 1 ≤ i ≤ L , полностью определены, если фиксирован вектор b . Для случая d ≠ 0 можно положить qdd ,b ≠ 0 и считать это фиктивным переходом. Введем в рассмотрение цепь Маркова α̂ с дискретным временем, определенную на множестве векторов перемещений Y , с вероятностями переходов γ da = pda , если ps , d > 0 для некоторого s , и γ da = δ da в противном случае. Эту цепь назовем маршрутной цепью. Вероятности ps , d и γ da назовем соответственно вероятностью выхода и маршрутной вероятностью. Рассмотренная модель является моделью открытой сети массового обслуживания, но если удалить компоненты at (0) и d t (0) в векторах at и d t , то получим модель замкнутой сети массового обслуживания. Хендерсон и Тейлор [1] ввели следующие предположения. (A) Существуют положительная функция Φ на X , неотрицательные функции Ψ и Ξ соответственно на X − и Y такие, что Ψ ∗ Ξd ps, d = s − d (s ∈ X , d ∈Y ) , (1) Φs где X − = {s − d ∗ ≥ 0 s ∈ X , d ∈ Y } . Так как ps , d – вероятность, Φ s = ∑ Ψs − d ∗ Ξ d . d (B) Существует положительная функция f на Y , удовлетворяющая уравнению Ξ d f d = ∑ Ξ a f aγ ad (d ∈ Y ) . a∈Y Заметим, что Ξ d f d определяет инвариантную меру для маршрутной цепи α̂ , и множество функций f не пусто, если множество Y состоит из положительных классов. Необходимым и достаточным условием, чтобы множество F функций f было непустым, является (1) Ξ d > 0 для d ∈ Y , если и только если содержащий d существенный класс Rd множества состояний маршрутной цепи является положительным. Это, в свою очередь, значит, что для того чтобы множество F было непустым, необходимо: (2) Вероятность ps , d > 0 , если и только если существует векторы a ∈ Y и s'∈ X такие, что ps ', a pad > 0 . (3) Если a ∈ Rd , b + d ∗ ∈ X и pb + d ∗ , d > 0 , то b + a ∗ ∈ X . 4 (С) Существует положительная функция g на Y , удовлетворяющая соотношению gs f (2) = d, gs −d ∗ +a∗ fa для всех s ∈ X и d , a ∈ Y с qs , d γ da > 0 . Хендерсон и Тейлор показали, что при этих условиях π s′ = Φ s g s (3) является инвариантной мерой для сети массового обслуживания N , и если существует нормализующая константа G ≡ ∑ Φ s gs < ∞ , s∈ X то выражение (s ∈ X ) (4) π s = G −1Φ s g s определяет стационарное распределение сети обслуживания N . Пусть ξik = f eik f e0 , где eik (e0 ) является единичным вектором, в котором (i , k ) -я (0-я) компонента равна 1, а остальные – нулю. Предположим, что ps , e0 γ e0 ei ,k > 0 для всех i, k . Тогда из (С) следует, что g s + e∗ = ξik g s . Следовательно, (2) эквивалентно ik L K g s = g 0 ∏ ∏ ξiksik , i =1 k =1 для всех s = ( s0 , sik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) и поэтому f определяется выражением L K f d = f e0 ∏ ∏ ξikd ik , i =1 k =1 для всех d = ( d 0 , d ik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) . Обозначим через α~ обращенную во времени маршрутную цепь с обращенными во времени вероятностями перехода относительно Ξ d f d Ξ f γ γ~ad = d d da (d , a ∈ Y ) . (5) Ξa fa Теперь предположим, что обращенная вероятность перехода из состояния s' = s − d ∗ + a ∗ , обусловленного преобразованием вектора перемещения a в вектор d (и, следовательно, формирования состояния s ), определена выражением Ψ ∗ Ξa ~ ~ ps ', ad = ps ', a γ~ad = s ' − a γ ad . (6) Φ s' Справедливость равенств π s ps , d γ da = π s ' ~ps ', ad (7) и 5 ∑ ps,d = ∑∑ ~ps,da d d a достаточна, чтобы установить, что π s′ является инвариантной мерой для сети обслуживания. Если эта инвариантная мера может быть нормализована, то получим стационарное распределение. Равенство (7) может быть проверено для всех s , d , a и s' , используя равенства (3), (6) и (5) следующим образом: Ψ ∗ Ξ a Ξ d f d γ da = π s ' ~ps ', ad = G −1 Φ s ' g s ' s ' − a Φ s' Ξa fa f = G −1 g s ' d Ψs ' − a ∗ Ξ d γ da . fa Замечая, что s'− a ∗ = s − d ∗ , и используя (1) и (2), видно, что правая часть должна быть G −1 g s Φ s ps , d γ da = π s ps , d γ da . Получим выражение для совместного стационарного распределения π s, d вероятностей формирования вектора d при нахождении сети в состоянии s . Это распределение является также совместным стационарным распределением вероятностей пребывания сети в состоянии s и остовном состоянии s − d ∗ с поступлением в сеть d 0 требований из источника. Теорема. Пусть существует f (⋅) ∈ F и функция g (⋅) : X → R , которая удовлетворяет для всех b ∈ X − Y , d и a ∈ Y с pb + d ∗ , d γ da > 0 равенству gb + d ∗ gb + a ∗ = fd . fa Тогда для сети массового обслуживания имеет место стационарное распределение вероятностей π s, d = G −1g s Ψs − d ∗ Ξ d , при условии, что существует нормализующая константа G < ∞ . Доказательство. Используя (1) и (4), непосредственно получим π s , d = π s ps, d = G −1g s Ψs − d ∗ Ξ d . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88. 2. Henderson W., Taylor P. G. Some new results on queueing networks with batch movement // J. Appl. Prob. 1991. Vol. 28. P. 409–421. 3. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Adv. Appl. Prob. 1991. Vol. 23. P. 152–187. 4. Ōsawa H. Quasi-reversibility of discrete-time queue and related models // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P. 133–148. 6 5. Miyazawa M. On the characterization of departure rules for discrete-time queueing networks with batch movements and its applications // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P. 149–166. 6. Daduna H. Queueing networks with discrete time scale: explicit expressions for the steady state behavior of discrete time stochastic networks. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2001. 143 p. 7. Woodward M. E. Towards the accurate modelling of high-speed communication networks with product-form discrete-time networks of queues // Computer Communications. 1998. Vol.21. P. 1530-1543. 8. Alfa A. S. Queueing theory for telecommunications: discrete time modelling of a single node system. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2010. 248 p. 9. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. (Editors). Queueing networks: a fundamental approach. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 823 p. 10. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. унта. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46. 7