Методы расчета термодинамического состояния смешанных

МЕТОДЫ РАСЧЁТА ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ СМЕШАННЫХ
ЯЧЕЕК В ЛАГРАНЖЕВОЙ ГАЗОДИНАМИКЕ ДЛЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СМЕСЕЙ
ГОНЧАРОВ Е.А., КОЛОБЯНИН В.Ю., САДЧИКОВ В.В., ЯНИЛКИН Ю.В.
Институт Теоретической и Математической Физики
Российский Федеральный Ядерный Центр
Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Экспериментальной Физики,
Саров, yan@md08.vniief.ru < yan@md08.vniief.ru>
Введение
Использование эйлеровых и произвольно лагранжево-эйлеровых (ALE) методов для ударноволновых
течений многокомпонентной сплошной среды приобретает все больший вес из-за присущих им по
сравнению с лагранжевыми методами преимуществ. Наиболее важными из них являются безавостность,
более простая подготовка начальных данных, меньшая трудоемкость проведения расчетов и меньшая
зависимость результатов от квалификации исполнителя расчетов.
Однако использование ALE методов при всей их привлекательности сопряжено с рядом сложных
проблем. Одной из таких проблем является аппроксимация уравнений лагранжевой газодинамики в
смешанных ячейках, содержащих два и более компонентов. От решения указанной проблемы зависит
эффективность и точность как лагранжевой газодинамики в отдельности, так и ALE метода в целом, в
котором лагранжева газодинамика является составной частью.
В смешанных ячейках приходится привлекать те или иные замыкающие соотношения, так как система
уравнений газодинамики в случае многокомпонентной среды не замкнута. В данной работе содержится
обзор и сравнение методов замыкания, используемых в различных расчетных методиках ВНИИЭФ. При
этом мы ограничились методиками ЭГАК и Д, в которых реализованы рассмотренные ниже методы.
Авторы выражают благодарность Спиридонову В.Ф. за полезные обсуждения затронутых в данной
работе вопросов, а также за формулировку тестовой задачи 2 из раздела 3.
1 Методы расчета смешанных ячеек в лагранжевой газодинамике
1.1 Основные уравнения
Предполагается, что в счетной области может быть несколько компонентов (веществ) с различными
уравнениями состояния (УРС). При этом границы веществ могут не совпадать с линиями счетной сетки,
более того, в области возможно наличие смесей, в которых границы между веществами установить
невозможно. Предполагается, что смеси в общем случае являются гетерогенными, каждый компонент
которых имеет свой УРС.
Используется односкоростная модель многокомпонентной среды, каждый компонент которой
выделяется полным набором термодинамических параметров: плотностью, удельной внутренней энергией и
объемной долей (концентрацией).
G
Скорость u определена в узлах счетной сетки, скалярные величины для каждого компонента: плотности
- ρi, удельные внутренние энергии - ei, давления Pi, объемные концентрации - βi=Vi/V, а также давление P
для среды в целом определены в центрах ячеек; здесь i=1,..,K – номер компонента.
Исходная система дифференциальных уравнений многокомпонентной газодинамики имеет следующий
вид:
G
du
1
= − gradP ;
(1)
dt
ρ
G
dρ i
= −ρ i divu i ;
dt
G
G
dβ i
= β i (divu i − divu ) ;
dt
(2)
(3)
G
de i
P
(4)
= − i div u i ;
dt
ρi
G
dr G
=u.
(5)
dt
Уравнения (1) - (5) замыкаются УРС-ами компонентов среды
Pi = Pi (ρ i , e i ) .
(6)
Уравнение (3) является следствием уравнения (2), оно приведено только для того, чтобы подчеркнуть, что в
случае многокомпонентной среды объемные концентрации тоже должны быть определены на новый момент
времени.
При численной реализации системы в уравнении (1) полагаем P = P + q , а в уравнении (4) - Pi = Pi + qi.
Здесь q - счётная вязкость для среды в целом, qi - счётная вязкость компонента.
В настоящей работе рассматриваются лишь проблемы, связанные с расчетом смешанных ячеек, поэтому
разностные уравнения приводятся ниже только в необходимом объеме (например, опускаются все детали
пространственной аппроксимации дифференциальных операторов).
Заметим, что система (1)-(6) не замкнута, в частности, в ней не определены: среднее давление P ;
G
дивергенции компонентов divu i (здесь и в дальнейшем под дивергенцией понимается дивергенция
скорости); искусственные вязкости компонентов qi и искусственная вязкость q ячейки в целом. Для
замыкания системы необходимы дополнительные предположения относительно состояния смеси в ячейках.
1.2 Основные методы замыкания и определение дивергенций компонентов
Для замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках применялось достаточно большое
количество замыкающих соотношений, однако многие из них вышли из употребления и представляют лишь
исторический интерес. Ниже рассматриваются наиболее часто используемые в конкретных методиках
ВНИИЭФ методы замыкания. При этом для численного исследования нами используются лишь ALE
методика ЭГАК [1] и лагранжева методика Д [2].
Рассмотрим вначале способы замыкания с точки зрения определения дивергенций.
Метод 1 основан на предположении об одинаковой сжимаемости компонентов [3]
G
G
divu i = divu .
(7)
Метод 2 основан на предположении о равенстве давлений компонентов [4] с учётом их вязкостей в
следующей форме
Pi + q i = Pk + q k .
(8)
Использование данного предположения приводит к итерационному способу решения системы уравнений
(2), (4) и (6), описанному в [5].
Метод 3 основан на предположении об одинаковом приращении давлений компонентов [6]
ΔPi = ΔPk .
Откуда следует, что
G
G
(9)
ρ i c i2 divu i = ρ к c к2 divu к .
В работе [7] метод 3 был дополнен безытерационным алгоритмом выравнивания давлений компонентов.
С учетом этого формула определения дивергенций компонентов имеет следующий вид:
G
G ΔPi
.
(10)
divu i = λ i divu −
τρi c i2
ΔPi = A
cτ
P − Pi , λ i =
h
(
)
1
,
(11)
βk
ρi c ∑
2
k ρk ck
cτ
, равный отношению временного шага к
Здесь P - среднее давление (см. ниже), множитель
h
h
(с - скорость звука, а h характерному для данной смешанной ячейки времени выравнивания давлений
c
характерный размер ячейки), определяет долю от разницы в давлениях компонентов, на которую
произойдет выравнивание давлений компонентов за один временной шаг, А~1 – константа.
Метод 4 основан на рассмотрении распада произвольного разрыва в акустическом приближении, в
котором учитываются давления компонентов и скорости на границах ячейки [8]. Формула вычисления
плотностей компонентов в этом методе, реализованном в рамках методики Д, имеет следующий вид:
ω⋅ τ
1
1 λn ⎛ 1
1 ⎞
1 ,
(12)
= n + in ⋅ ⎜ n +1 − n ⎟ + n n n ( Pin − P∑n ) ⋅
n
n +1
ρi
ρi α i ⎝ ρ
ρ ⎠ βi ⋅ρi ⋅ h
( ρс ) ∑
где
K
где
P =
n
∑
∑P
k =1
K
n
k
K
, ( ρc ) =
∑
n
∑ ( ρc )
k =1
2
i
n
k
K
,
⎛
n
⎜
( ρ c )i
1
λ in =
⋅ ⎜1 − K
n
K −1 ⎜
⎜ ∑ ( ρc )k
⎝ k =1
⎞
⎟,
⎟
⎟
⎟
⎠
h n - характерный размер ячейки, ω~1 – некоторый коэффициент, αi =Mi/M – массовая концентрация. Из
формулы
(12)
divu ≈ ΔV / ( Vτ )
можно
получить
выражение
для
divu in = ( λ in / βin ) ⋅ divu n + ω⋅
2
дивергенций,
(P
n
i
− P∑n )
β ⋅h
n
i
n
⋅
воспользовавшись
1
( ρс )∑
n
.
соотношением
(13)
Метод 5 [9] основан на равенстве массовых скоростей компонентов после прохождения малого
возмущения. При малых возмущениях модуль дивергенции компонентов равен
Δρ i
u
divu i ≈
≈ i ,
ρi τ
ci τ
где ui – массовая скорость компонента в возмущении. Предполагая равенство массовых скоростей
компонентов (ui=u), получаем, что дивергенции компонентов должны быть пропорциональны величине 1/сi.
Формула определения дивергенций компонентов с алгоритмом выравнивания давлений, что и для метода 3,
имеет вид (10), где
1
cτ
ΔPi = A
P − Pi , λ i =
.
(14)
βk
h
ci ∑
k ck
(
)
1.3 Определение среднего давления в смешанных ячейках
Кроме дивергенций компонентов для аппроксимации уравнения движения в смешанных ячейках
необходимо определить также и средние давления. Формулы для их вычисления получаются из указанных
выше замыкающих соотношений, используя условие аддитивности энергий (здесь и в дальнейшем имеется в
виду удельная внутренняя энергия) компонентов. Ниже будем считать, что среднее давление (как и
искусственная вязкость) для всех методов определяется по формуле
P = ∑ ψ i Pi .
(15)
i
Здесь ψi - некоторая функция, удовлетворяющая условию
∑ψ
i
= 1 , для определения которой и
i
привлекается условие аддитивности энергий компонентов
Δe = ∑ α i Δe i ,
(16)
где α i и Δei - массовая концентрация и изменение удельной внутренней энергии компонента, а Δe изменение среденей по ячейке удельной энергии.
Если в (16) использовать применяемую в методике ЭГАК разностную аппроксимацию уравнения
энергии для компонентов
~
G
G
P +q
Δe i = − τ i n i (divu in + divu in +1 ) ,
2ρ i
то закон аддитивности энергий компонентов можно записать в виде
G
G
G
G
divu in + divu in +1
τ ~
divu n + divu n +1
τ
~
(17)
− ⎛⎜ P + q ⎞⎟
= − ∑ β i Pi + q i
+ ∑ α i Δe i/ .
⎠
ρ⎝
2
ρ
2
~
~
Здесь Pi - «предвычисленное» давление компонента [6], P - среднее по ячейке «предвычисленное»
давление, ρ - средняя плотность, q и q i - искусственная вязкость, средняя и компонентов, соответственно.
(
)
При условии равенства давлений компонентов среднему давлению из (17) следует, что
∑ α Δe
i
/
i
= 0 . Таким
образом, этот член представляет собой добавки к энергии за счет процесса выравнивания давлений
~
компонентов. Из (17) при заданных способах получения P + q и дивергенций компонентов можно находить
значения Δe i/ , которые представляют собой дополнительные приращения внутренней энергии компонентов
для обеспечения баланса энергии. При использовании процедуры выравнивания давлений компонентов
невозможно указать точный способ получения величин Δe i/ . Для методов 3 и 5 используется способ,
опирающийся на предположение об одинаковом приращении давлений компонентов, в данном случае при
изменении их внутренних энергий [7].
Для метода 1 функция ψi имеет следующий вид
(18)
ψ i = βi .
Отметим, что выравнивание давлений для этого метода не имеет смысла, так как при расчете дивергенций
компонентов на следующем же шаге по времени давления будут заметно отличаться друг от друга и
выравнивание давлений приведет только к дополнительному увеличению энтропии.
Для метода 2 давления компонентов равны среднему давлению в любой момент времени.
Для метода 3
(19)
ψ i = βi λ i ,
где λ i определяется формулой (11).
Для метода 4 в работе [8] показано, что величину λ i из (12) можно брать в качестве сомножителя в
формуле (15) для определения среднего давления, то есть
ψi = λi .
3
При этом для выполнения условия аддитивности энергии, как и для метода 3, делается добавка к энергии.
В методе 5 для вычисления ψ i также используется выражение (19), в котором λ i дается формулой (14).
1.4 Определение искусственной вязкости компонентов
1.4.1 Вводная часть
Так как при решении уравнений газодинамики используются средние в ячейках термодинамические
величины, то и в качестве средней искусственной вязкости разумно использовать квадратичную вязкость в
виде, обычно применяемом для расчетов с чистыми (содержащими только одно вещество) ячейками
G
G
G
(20)
q = Bρ(h ⋅ divu )2 , если divu < 0 ; и q = 0, если divu > 0 .
Здесь B – численный коэффициент, от величины которого зависит количество ячеек, на которые
размазывается разрыв на ударной волне, ρ - средняя плотность в ячейке, h – характерный размер ячейки.
Отметим, что в работе [6] показано, что для выполнения условия аддитивности удельной внутренней
энергии компонентов достаточно, чтобы средняя искусственная вязкость и среднее давление ячейки
вычислялись по одной и той же формуле (15).
Определение искусственной вязкости для компонентов представляет собой неоднозначную задачу, для
корректного решения которой обычно недостаточно данных о подсеточном поведении компонентов. При
достаточно большом разнообразии методов замыкания уравнений газодинамики, связанных с вычислением
дивергенций компонентов и средних давлений, практически нет работ, посвященных определению
искусственных вязкостей компонентов. Отметим, что от способов задания искусственных вязкостей
компонентов зависит распределение по компонентам энергии, диссипируемой в ячейке при прохождении
УВ.
При рассмотрении способов задания искусственной вязкости компонентов будем характеризовать эти
способы распределением диссипируемой в ячейке энергии по компонентам и изменением за счет этого
давления компонентов на счетном шаге.
В соответствии с разностной схемой методики ЭГАК, изменение удельной внутренней энергии
компонентов за счетный шаг по времени, связанное с искусственной вязкостью, определяется по формуле
G
qn
Δe i = − in λni divu n +1 / 2 τ .
(21)
ρi
Изменение за счет искусственной вязкости давления компонентов на счетном шаге получим следующим
образом. Для адиабатических течений
⎛ ∂P ⎞
G
ΔP ≈ ⎜⎜ ⎟⎟ Δρ ≈ −ρ ⋅ c 2 divu ⋅ τ .
(22)
⎝ ∂ρ ⎠S
Полное изменение давления на счетном шаге, используя уравнение состояния P = P(ρ,e), в общем случае
можно представить в виде
⎛ ∂P ⎞
⎛ ∂P ⎞
ΔP ≈ ⎜⎜ ⎟⎟ Δρ + ⎜ ⎟ Δe .
(23)
⎝ ∂e ⎠ ρ
⎝ ∂ρ ⎠ e
Для адиабатических течений приращение энергии рассчитывается по формуле
G
P
Δe = − divu ⋅ τ .
ρ
Подставляя данное выражение в (23) и сравнивая с (21), учитывая (22), получаем, что
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞ P
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ 2 = c 2 .
(24)
⎝ ∂ρ ⎠ e ⎝ ∂e ⎠ ρ ρ
При прохождении УВ приращение энергии вычисляется по формуле
G
P+q
Δe = −
div u ⋅ τ ,
ρ
где q - искусственная вязкость. Соответственно, полное приращение давления будет равно
⎛
⎛ ∂P ⎞ q ⎞ G
(25)
ΔP ≈ −⎜⎜ ρ ⋅ c 2 + ⎜ ⎟ ⎟⎟divu ⋅ τ .
⎝ ∂e ⎠ ρ ρ ⎠
⎝
Таким образом, приращение давления компонентов на счетном шаге, связанное с искусственной
вязкостью, в методике ЭГАК будет равно
⎛ ∂P ⎞ q n
G
(26)
ΔPqi ≈ −⎜⎜ i ⎟⎟ in λni divu ⋅ τ .
⎝ ∂e i ⎠ ρ ρ i
1.4.2 Способы задания искусственной вязкости компонентов
Способ 1. Наиболее простой способ – это задать во всех компонентах одинаковую искусственную
вязкость, равную средней в ячейке
4
qi = q .
(27)
В этом случае, в соответствии с формулой (21), диссипируемая в счетной ячейке энергия будет распределена
по компонентам следующим образом
Δe i ~ λ i / ρ i .
(28)
Таким образом, в способе 1 большая удельная энергия будет передаваться веществу с меньшей плотностью
и большей дивергенцией скорости.
Приращение давления компонентов на счетном шаге, связанное с искусственной вязкостью,
определяется в данном случае выражением
⎛ ∂P ⎞ λ
(29)
ΔPqi ~ ⎜⎜ i ⎟⎟ i .
⎝ ∂e i ⎠ ρ ρ i
⎛ ∂P ⎞
Так как для многих широко применяемых уравнений состояния ⎜⎜ i ⎟⎟ = Гρ i , где параметр Г для
⎝ ∂e i ⎠ ρ
идеального газа равняется γ − 1 (γ - адиабатическая постоянная), а для уравнения состояния в форме МиГрюнайзена Г – это коэффициент Грюнайзена, то (29) можно представить в виде
(30)
ΔPqi ~ Гi λ i .
Отсюда следует, что при прохождении ударных волн приращение давления компонентов на счетном шаге,
связанное с искусственной вязкостью, будет больше у веществ с большим значением Г и большей
дивергенцией скорости.
Способ 2. Использование для компонентов искусственной вязкости в виде (20) со своими величинами
G
ρi , hi и divu i . В предположении h i = βi h такой способ задания искусственной вязкости применялся при
распределении дивергенции скорости ячейки по компонентам в методе 1 [3]. С учетом условия нормировки
выражение для искусственной вязкости компонентов имеет вид
ρ i βi2 λ2i
qi = q
.
(31)
ρ k β3k λ3k
∑
При этом диссипированная энергия распределяется по компонентам
Δe i ~ βi2 λ3i ,
а соответствующая часть приращения давления
⎛ ∂P ⎞
2 3
ΔPqi ~ ⎜⎜ i ⎟⎟ β i2 λ3i или через параметр Г - ΔPqi ~ Г i ρiβi λ i .
e
∂
⎝ i ⎠ρ
(32)
(33)
Из (33) следует, что большая удельная энергия будет у веществ с большей объемной концентрацией и с
большей дивергенцией скорости, а приращение давления будет еще пропорционально параметру Г и
плотности компонента.
Способ 3. Зададим искусственную вязкость в компонентах в предположении, что она пропорциональна
плотности веществ. Такой способ использовался в работах [5, 7] при распределении дивергенции скорости
ячейки по компонентам в методах 2 и 3. Тогда выражение для искусственной вязкости компонентов имеет
вид
ρi
qi = q
.
(34)
∑ ρkβk ξ k
Распределение по компонентам соответствующих изменений удельной внутренней энергии и
приращений давления определяются выражениями
Δe i ~ λ i ,
(35)
⎛ ∂P ⎞
ΔPqi ~ ⎜⎜ i ⎟⎟ λ i или через параметр Г - ΔPqi ~ Г i ρi λ i .
⎝ ∂ei ⎠ρ
(36)
Большая удельная энергия будет у веществ и с большей дивергенцией скорости, а приращение давления
будет еще пропорционально параметру Г и плотности компонента.
Способ 4. Потребуем, чтобы изменение удельной энергии за счет вязкости было во всех веществах
одинаковым. Тогда из формул (15) и (21) следует, что
ρ
qi = q i ,
(37)
ρλ i
а изменение давления дается формулой
⎛ ∂P ⎞
(38)
ΔPqi ~ ⎜⎜ i ⎟⎟ или через параметр Г - ΔPqi ~ Г i ρ i .
⎝ ∂ei ⎠ ρ
Способ 5. Потребуем, чтобы приращение давления на счетном шаге за счет вязкости было во всех
веществах одинаковым. Из формул (15) и (26) следует, что
5
qi = q
ρi
⎛ ∂P ⎞
ξ i ⎜⎜ i ⎟⎟
⎝ ∂e i ⎠ ρ
∑
βkρk
⎛ ∂Pk ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ∂e k ⎠ ρ
,
а изменение соответствующей части удельной энергии дается формулой
1
1
Δei ~
или через параметр Г - Δei ~
.
Гiρi
⎛ ∂Pi ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ∂e i ⎠ ρ
(39)
(40)
То есть большее изменение удельной энергии будет в веществе с меньшей плотностью и с меньшим
параметром Г.
Способ 6. Задать вязкость так, чтобы приращение давления на счетном шаге за счет искусственной
вязкости было пропорционально приращению давления в адиабатическом приближении. Отсюда следует
условие для искусственных вязкостей компонентов
⎛ ∂P ⎞ q
(41)
K ⋅ ρ i c i2 = ⎜⎜ i ⎟⎟ i ,
⎝ ∂e i ⎠ ρ ρ i
где K – коэффициент пропорциональности.
Используя условие нормировки, получаем формулу для искусственных вязкостей компонентов
ρi2 c i2
.
qi = q
⎛ ∂Pi ⎞
β k λ k ρ 2k c 2k
⎜⎜
⎟⎟ ∑
⎛ ∂Pk ⎞
⎝ ∂e i ⎠ ρ
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ∂e k ⎠ ρ
(42)
Распределение изменения удельной энергии за счет искусственной вязкости в этом случае получается в
виде
λ ρ c2
λ c2
Δei ~ i i i или через параметр Г - Δei ~ i i ,
(43)
Гi
⎛ ∂Pi ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ∂e i ⎠ρ
а приращение соответствующей части давления на счетном шаге
ΔPqi ~ λ i ρ i c i2 .
(44)
Таким образом, рассмотрены шесть способов определения искусственной вязкости компонентов, в
которых распределение диссипируемой энергии по компонентам различным образом зависит от плотности,
скорости звука и дивергенции скорости компонентов.
Тестирование различных типов вязкости в рамках методики ЭГАК приводится ниже в разделе 3.
Численное исследование проведено только для методов замыкания 1, 3 и 5. Что касается остальных методов,
то метод 2 в последнее время практически не используется в расчётах, а метод 4 реализован только в
методике Д, ниже представлена форма искусственной вязкости для компонентов, которая предложена его
авторами.
Расчёты из раздела 2 проведены со следующими вязкостями:
для метода 1
α iβi
q i = c кв ρ(hdivu) 2
,
α i β i2
∑
для метода 2
q i = c кв ρ( hdivu ) 2 ,
для методов 3, 5
q i = c кв ρ(hdivu) 2
∑
ρi
,
βi λ i ρi
для метода 4
2
⎛ ∂ρ ⎞ 1
q i = c кв h 2 ⎜ i ⎟
+ q лин .
⎝ ∂t ⎠ ρ i
Здесь cкв - коэффициент квадратичной вязкости, q лин - линейная вязкость.
6
1.5 Определение средней скорости звука
Одним из возможных способов сравнения методов счета газодинамики в смешанных ячейках может
быть оценка скорости распространения малых возмущений в смешанных ячейках. Ниже будут получены
аналитические оценки скорости звука для различных методов замыкания.
Как известно, скорость распространения малых возмущений в адиабатических течениях (скорость звука)
определяется по формуле
ΔP
.
(45)
c2 ≈
Δρ
За счетный шаг по времени τ в смешанной ячейке приращение средней плотности составляет величину
G
Δρ ≈ −ρn divu n τ .
(46)
Изменение среднего давления, рассчитанного по формуле (15), за счетный шаг получим, с точностью до
членов первого порядка малости, в виде
ΔP = ψ in +1 Pin +1 − ψ in Pin ≈ Δψ i Pin + ψ in ΔP i ≈
G
≈ Δψ i Pin − ψ in ρ in (c in ) 2 divu in τ
.
(47)
∑
∑
∑
∑
(ψ )
= ∑ Δψ P − ∑
β
i
∑ ΔψGP
∑
G
ρ in (c in ) 2 divu n τ
n 2
i
n
i
n
i
Подставляя (47) и (46) в (45), находим
∑
n
(ψ in ) 2 n n 2
1
ρ i (c i ) .
(48)
n
ρ divu τ ρ
β in
Для всех рассматриваемых нами методов первый член в правой части выражения (48) мал по сравнению
со вторым. Действительно, для метода 1 ψi = βi , а βi на счетном шаге не меняется, поэтому Δψi=0. В
(c n ) 2 ≈ −
i
n
i
n
∑
+
остальных методах давления компонентов близки между собой (в методах 2 и 4 в силу используемых
предположений, а в методах 3 и 5 из-за использования алгоритма выравнивания давлений) и
приблизительно равны среднему давлению, поэтому имеем
∑ Δ(ψ i )Pin ≈ P ∑ Δ(ψ i ) = PΔ∑ ψ i = PΔ(1) = 0 .
i
i
i
Выпишем формулы для определения скорости звука для использованных в настоящей работе методов
замыкания.
Для метода 1 из выражения (48) при ψ i = β i следует известная формула [3]
1
(49)
(c n ) 2 = n ∑ β in ρ in (c in ) 2 = ∑ α in (c in ) 2 .
ρ i
i
Для метода 3 имеем ψ i = β i λ i , что дает
2
⎛
⎞
⎜
⎟
ψin
1
1
1
1
⎟ ρn (cn )2 = 1
n 2
n⎜
(c ) = n βi ⎜
=
=
.
(50)
i
i
n
n
n
n
⎟
βk
βk
βk
αnk
ρ i
ρ i
n
ρ
⎜⎜ ρin (cin )2
⎟
n
n 2 ⎟
n
n 2
n
n 2
n 2
k ρk (ck ) ⎠
k ρk (ck )
k ρk (ck )
k (ck )
⎝
Формула (50) справедлива и для метода 2, так как оба метода дают равные приращения давлений
компонентов, если они были равны на момент времени tn. Отметим также, что в справочнике [10] формула
(50) приводится для пористого трехкомпонентного грунта.
Для метода 4, используя соотношение (12), получим
∑
∑
∑
(c n ) 2 ≈
∑
i
⎛ λni
⎜⎜ n
⎝ βi
∑
∑
∑
2
⎞ n n 2
⎟⎟ α i (c i ) .
⎠
(51)
Наконец, для метода 5 получается
cn ≈
1
.
β in
c in
∑
i
(52)
2 Тестовые расчеты
Несколько тестовых задач из предлагаемых ниже уже были исследованы в работах [6-9] для некоторых
методов замыкания. Однако в настоящей работе приводится сравнение всех рассмотренных выше методов
замыкания, поэтому некоторые результаты указанной работы повторяются для полноты изложения.
Отметим, что полученные ниже результаты по методу 3 отличаются от результатов, приведённых в [8], где
была получена значительно меньшая точность для этого метода. Отличие объясняется тем, что в методике Д
данный метод был реализован без алгоритма выравнивания давлений.
7
2.1 Задача о распаде разрыва
Постановка задачи взята из работы [11]. В области 1 (–8<x<0) находится идеальный газ с плотностью ρ1
= 2.5, внутренней энергией Е1 = 6 с уравнением состояния P=(γ-1)ρE, γ=3. В области 2 (0<x<3) содержится
газ с параметрами ρ2 = 12, Е2 = 0 и уравнением состояния в форме Ми-Грюнайзена
ρ
ρ c2 ρ
dρ
P = Px (ρ) + Г(E − Ex )ρ; Px = 0 0 [( )n −1]; Ex = Px (ρ) 2 , где c0 = 2, n = 3, Г = 0.5, ρ0 =12.
(53)
ρ
n ρ0
ρ
∫
0
В начальный момент времени давления веществ p1 = 30, p 2 = 0 . Здесь и далее, если не указано обратное,
используются безразмерные величины. Область –8<x<0 равномерно разбивалась на 80 интервалов, 0<x<3 –
на 60. На границах х=–8 и х=3 задается нулевое граничное давление. Расчет проводился до времени t=0.5.
На этот момент времени в окрестности границы раздела веществ задача имеет следующее аналитическое
решение, получающееся из условий распада разрыва:
ρ1 = 2.227, Е1 = 4.76168, р1 = р2 = 21.2085, ρ2 = 15.85, Е2 = 0.2153, u1 = u2 = 0.655.
В таблице 1 приводятся значения плотностей веществ в окрестности смешанной ячейки (номер 80, в
начальный момент времени βi = 0.5 ), полученные по всем методам в сравнении с точным решением и с
расчетом с чистыми ячейками. Видно, что наиболее близкое к аналитическому решение для плотности в
смешанной ячейке дают методы 2, 3, 5, чуть хуже результат по методу 4, а наибольшее отличие получено по
методу 1. Отметим, что в окружающих смешанную ячейку чистых ячейках плотности веществ практически
одинаковые для всех методов и близки к аналитическому решению.
Таблица 1. Значения плотностей компонентов в окрестности смешанной ячейки в задаче 1 (в процентах указаны
отклонения от точного решения)
Плотность в ячейке
Номер
Номер
Метод 1 Метод 2 Метод 3 Метод 4 Метод 5
Расчёт с
Точное
вещества
ячейки
чистыми
решение
ячейками
0
78
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
0
79
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
2.23
0
2.88
2.20
2.22
2.02
2.22
0
2.23
δ
29.2%
1.34%
0.45%
9.42%
0.45%
80
1
13.82
15.68
15.68
15.78
15.67
15.73
15.85
δ
12.8%
1.07%
1.07%
0.44%
1.14%
1
81
15.80
15.80
15.79
15.83
15.78
15.73
15.85
1
82
15.81
15.81
15.81
15.84
15.81
15.80
15.85
1
83
15.82
15.82
15.82
15.85
15.82
15.81
15.85
2.2 Прохождение ударной волны по смеси двух газов
В области 0 < x < 100 имеется смесь двух идеальных газов: вещество 0 - ρ00 = 1, e00 = 0, β00 = 0.5, γ 0 = 3 ;
вещество 1 - ρ10 = 1, e10 = 0, β10 = 0.5, γ1 = 1.2 . На левой границе задана постоянная скорость u = 2 . Вся
область разбивается равномерно на 100 ячеек. Расчеты проводились в лагранжевой постановке.
По смеси газов идет ударная волна с массовой скоростью u. На фронте УВ которой должны достигаться
максимальные сжатия для каждого газа в отдельности, то есть ρ 0 = 2 для первого газа и ρ1 = 11 для второго
при условии отсутствия адиабатического обмена энергиями между газами. Исходя из этих ожидаемых
результатов, по известным для сильной УВ соотношениям можно оценить величину плотности и давления
за фронтом ударной волны и скорость ее распространения: ρ = 3.385, P = 5.672, D = 2.836.
Результаты расчетов в сравнении с аналитическими решениями представлены на рис.1 на момент
времени t=25 в виде давлений компонентов и среднего давления в зависимости от расстояния для метода 1,
а для методов 2-5 приведены только давления компонентов, так как среднее давление практически
совпадает с ними. На рис.2 приведены профили для плотностей компонентов.
Полученные с помощью методов 2-5 профили давления и скорости распространения УВ
удовлетворительно согласуются между собой и с теоретическими значениями. Расчет по методу 1 дает
заметно отличающиеся результаты, как по амплитуде давления за фронтом УВ, так и по скорости фронта.
Профили плотности также показывают, что метод 1 дает отличающийся от теории результат. Плотности
обоих компонентов в этом расчете одинаковы в полном соответствии с принятым предположением о
равенстве дивергенций, поэтому первый компонент имеет большую, чем должно быть по теории, плотность,
а второй - меньшую. Остальные методы по сравнению с методом 1 значительно более точные. Полученные
в расчётах по этим методам сжатия за фронтом УВ близки к ожидаемым. В то же время отметим, что
наиболее точный результат получен по методу 3.
8
7
12
6
10
5
8
4
P
P
14
6
3
4
2
2
1
0
0
50
55
60
P_0
65
70
P_1
X
75
80
P_Average
85
90
50
55
60
65
70
P_0
P_Analitic
X
75
P_1
80
85
90
85
90
P_Analitic
b)
a)
7
6
6
5
5
4
4
P
P
7
3
3
2
2
1
1
0
0
50
55
60
65
70
P_0
X
75
P_1
80
85
90
50
55
60
P_Analitic
65
70
P_0
c)
X
P_1
75
80
P_Analitic
d)
7
6
5
P
4
3
2
1
0
50
55
60
65
70
P_0
75
X
P_1
80
85
90
P_Analitic
e)
Рис.1 - Профили давления на момент времени t=25: a) метод 1, b) метод 2, c) метод 3, d) метод 4, e) метод 5
12
10
Ro_0
14
Ro_1
Ro_0_Analitic
12
Ro_0_analitic
Ro_1_Analitic
10
Ro_1_analitic
Ro
8
Ro
16
Ro_1
Ro_0
6
8
6
4
4
2
2
0
0
50
55
60
65
70
X
75
80
85
50
90
60
70
X
a)
b)
9
80
90
14
12
Ro_1
10
Ro_0_Analitic
8
Ro_1_Analitic
Ro
Ro
14
Ro_0
6
Ro_0
12
Ro_1
10
Ro_0_Analitic
8
Ro_1_Analitic
6
4
4
2
2
0
0
50
55
60
65
70
75
80
85
50
90
55
60
65
70
75
80
85
90
X
X
d)
c)
14
Ro_0
12
Ro_1
Ro_0_Analitic
10
Ro_1_Analitic
Ro
8
6
4
2
0
50
55
60
65
70
X
75
80
85
90
e)
Рис.2. Профили плотности на момент времени t=25:метод 1, b) метод 2, c) метод 3, d) метод 4, e) метод 5
2.3 Прохождение слабой волны по гетерогенной среде
2.3.1 Постановка задачи и результаты расчетов в приближении смеси
Рассматривается одномерная задача распространения малых возмущений по гетерогенной среде,
описываемой смешанными ячейками в следующей постановке. Задана прямоугольная область размером
500×3 ячеек. В области содержится покоящаяся однородная смесь двух веществ. УРС веществ - идеальный
газ со следующими параметрами на начальный момент времени: вещество 0: ρ = 0.01, е = 0.015, γ =3,
P=0.0003; вещество 1: ρ = 0.05625, е = 1.7784-6, γ=3000, P=0.0003. При этом скорости звука компонентов со =
0.3, а с1 = 4. На левой границе задается скорость движения границы, направленная внутрь счетной области и
равная 0.0005, которая в 600 раз меньше минимальной скорости звука в заданных веществах. В расчетах
варьируется концентрация каждого вещества в ячейке от 0.2 до 0.8.
В таблице 2 приводятся величины скоростей звука Cth, сосчитанных по формулам (49) - (52), и скорости
распространения возмущения Dmix, полученные в расчетах с однородной смесью.
Таблица 2. Скорость распространения возмущений в расчетах с вариацией объемной концентрации веществ
метод 1
метод 2
метод 3
метод 4
метод 5
βо
β1
Cth (49)
Dmix
Cth (50)
Dmix
Cth (50)
Dmix
Cth (51)
Dmix
Cth (52)
Dmix
0.5
0.5
3.69
4.1
0.233
0.234
0.233
0.236
0.249
0.234
0.558
0.47
0.2
0.8
3.91
4.3
0.309
0.308
0.309
0.31
0.322
0.312
1.15
1
0.8
0.2
3.06
3.45
0.242
0.241
0.242
0.241
0.312
0.235
0.368
0.304
Отметим, что для метода 5 в таблице 2 приведена средняя скорость распространения возмущения на
расстоянии, определяемом размерами задачи. В действительности, в расчетах по этому методу скорость
возмущений является переменной величиной. На малых расстояниях от левой границы она практически
совпадает с теоретической, а на больших расстояниях близка к скорости распространения в методах 2-4.
В целом, данные, приведенные в таблице 2, показывают хорошее согласие теоретических и расчетных
скоростей распространения малых возмущений по гетерогенной смеси. Несколько большая величина
расчетной скорости распространения возмущения (на ≈ 10% больше теоретической) получена для метода 1.
Дело в том, что при равенстве дивергенций даже такая малая массовая скорость, которая задана в расчете,
приводит к тому, что приращение давления слабо сжимаемого компонента (вещество 1) получается не
малым по сравнению с начальным давлением и по этому веществу фактически идет ударная волна.
Интересно, что в данной задаче по формулам (50) и (51) значения скорости звука получаются
практически одинаковыми и меньше минимальной скорости звука компонентов. То, что указанные формулы
1
1
и
для
для данной задачи сводятся к идентичным, легко показать, имея в виду, что величины
ρ i c i2
ρici
различных компонентов отличаются на порядки. Тогда в формуле (50) можно оставить только член,
относящийся к хорошо сжимаемому веществу (за исключением случаев очень малых объемных
концентраций этого компонента) и (50) примет вид
10
ρ0 2
c0 .
(54)
β 0ρ
Точно такую же формулу можно получить исходя из формулы (51).
ρ
Из (54) следует, что когда β0 > 0 скорость звука в смешанной ячейке будет меньше минимальной
ρ
c2 =
скорости звука компонентов. Учитывая, что в данном случае ρ 0 << ρ1 , и поэтому ρ ≈ (1 − β0 )ρ1 , из (54)
имеем, что минимум скорости звука находится при β 0 ≈ 0.5 и равен
c min ≈
2ρ 0
⋅ c0 .
ρ1
(55)
Таким образом, в смешанных ячейках, содержащих смесь веществ с сильно отличающимися
сжимаемостями, и с плотностью компонента с большей сжимаемостью намного меньшей плотности другого
вещества (например, смесь газа с конденсированным веществом), в широком интервале объемных
концентраций средняя скорость звука будет меньше минимальной скорости звука компонентов.
Наименьшее значение скорости звука достигается при β 0 ≈ 0.5 и определяется формулой (55), из которой
следует, что средняя скорость распространения возмущений в таких смешанных ячейках может быть в
десятки раз меньше минимальной скорости звука компонентов. В приведенных в справочнике [10]
экспериментальных данных по взрывам в грунте, который содержит в малых концентрациях воздух,
наблюдается уменьшение средней скорости звука до скорости, меньшей в 1.5 – 2 раза скорости звука в
воздухе.
Как видим, для разных методов замыкания получаются значительно отличающиеся скорости звука, как
теоретически, так и в практических расчетах. Таким образом, скорость звука может служить критерием
корректности счета задачи тем или иным методом, если известно истинное ее значение. С целью оценки
величины этой скорости для различных гетерогенных структур двухкомпонентной среды были проведены
расчеты в лагранжевой постановке без смешанных ячеек.
2.3.2 Прямое моделирование распространения возмущений
Первая серия расчетов (тест 3.1) представляет собой моделирование прохождения слабого возмущения
через чередующиеся слои двух веществ с вышеуказанными параметрами, расположенные перпендикулярно
направлению распространения волны. В первом расчете слои были равной толщины, каждый слой занимает
25 ячеек по оси X, при этом все ячейки – чистые. Всего в области 100 пар слоёв. Расчет проводится в
лагранжевой постановке, поэтому в процессе счета смешанные ячейки не образуются.
Этот модельный расчет соответствует распространению возмущения по гетерогенной смеси, в которой
размеры прослоек или каналов вдоль направления распространения возмущения меньше размеров счетных
ячеек. По-видимому, этот случай близок к насыпному грунту, когда отсутствуют продольные жесткие
"скелетные" конструкции, по которым возмущения могут распространяться относительно независимым
образом. В этом случае возмущение внутри счетной ячейки при своем распространении проходит
попеременно через различные вещества.
На рис.3 представлен профиль давления на момент времени t = 1000. Как следует из рис. 3, средняя
скорость распространения возмущения D≈0.23÷0.24, что хорошо соответствует скорости, оцененной по
формулам (50-51).
Были проведены также расчеты слоистой системы с подобным расположением слоев, в которых
варьировались толщины слоев с различными веществами, что эквивалентно изменению концентрации
компонентов в смешанных ячейках при однородном смешении компонентов.
Рис.3. Профиль давления на момент времени t = 1000
Вторая серия расчетов (тест 3.2) проведена для случая распространения возмущения вдоль контактной
границы. Анализ показывает, что в этом случае возмущение распространяется практически независимо по
веществам для всех рассмотренных случаев. Скорость распространения возмущения близка к скорости звука
в каждом из веществ.
Третья серия расчетов (тест 3.3) проведена со смешанными ячейками, в которых имитировалась среда,
имеющая "скелетные" образования какого-либо компонента. На рис. 4 приведена часть начальной
11
геометрии этих расчетов (полный размер вдоль горизонтальной оси равен 84). Расчеты выполнены в
плоской геометрии. При этом один из компонентов заполняет круги (бесконечные цилиндры), а другой
промежутки между ними. Как раз эти промежутки и являются имитатором "скелетных" образований в
смешанной ячейке.
Рис. 4. Начальная геометрия расчетов, в которых имитируется наличие в смешанных ячейках скелетных образований
Проведены также расчеты с вариацией объемной концентрации компонентов. В таблице 3 представлена
полученная в тестовых расчетах скорость распространения возмущений по гетерогенным структурам.
Таблица 3. Скорость распространения возмущений по гетерогенным структурам (индексом * отмечено вещество,
заполняющее круги в тесте 3.3)
Тест 3.1
Тест 3.3
βо
β1
Dcalc
βо
β1
Dcalc
0.5
0.5
0.24
0.5
0.5*
0.294
0.2
0.8
0.307
0.5*
0.5
0.345
0.8
0.2
0.242
0.2*
0.8
2.73
0.8
0.2*
0.288
Величина Dcalc в таблице 3 является средней величиной при прохождении возмущением расстояния,
определяемого размерами счетной сетки. Как и в расчетах со смесью по методу 5, значение Dcalc в тестовых
расчетах с гетерогенными структурами является функцией расстояния от движущейся левой границы. На
малых расстояниях от левой границы для гетерогенной структуры теста 3.1 ("слойка") скорость
распространения возмущений определяется формулой (52) для метода 5, а на больших расстояниях
формулой (50) для методов 2, 3. Для гетерогенной структуры теста 3.3 (цилиндры с прослойкой) начальная
скорость распространения возмущений практически совпадает со скоростью звука вещества, составляющего
прослойку. На большие моменты времени эта скорость также приближается к скорости звука, определяемой
формулой (50).
На рис.5 приведены зависимости скорости распространения возмущений от расстояния, пройденного
возмущением, для "слойки" и в расчете со смесью по методу 5 для объемных концентраций компонентов –
0.5. Толщины слоев в гетерогенной структуре равны 0.05, а размер смешанной ячейки 0.1. Таким образом,
можно сравнить зависимость скорости распространения возмущений от расстояния, пройденного
возмущением по гетерогенной структуре и по смеси, в каждой ячейке которой как бы находятся два слоя.
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0
1
2
3
4
5
Метод 5
6
7
8
9
10
Слойка
Рис.5. Зависимость скорости распространения возмущений от расстояния, пройденного возмущением
Видно, что в "слойке" скорость распространения возмущений заметно быстрее выходит на значение,
соответствующее распространению по среде с равным давлением компонентов, определяемое по формуле
(50). Однако для другого типа гетерогенной структуры выход на это значение скорости распространения
намного более медленный, чем в расчете со смесью по методу 5. Можно сказать, что метод 5, во-первых,
качественно передает изменение скорости распространения в зависимости от расстояния, пройденного
возмущением, а во-вторых, "в среднем" описывает эту зависимость для различных типов гетерогенных
структур.
Из сравнения приведенных в таблицах 2 и 3 данных следует, что в проведенных расчетах со смесью по
методам 2, 3 и 4 скорость распространения возмущений Dmix хорошо согласуется с величиной Dcalc,
полученной в прямом расчете многослойной конструкции. Это говорит о том, что в расчетах с большими
толщинами смеси указанные методы должны давать удовлетворительные результаты.
Таким образом, результаты рассмотренных расчетов показывают, что скорость распространения
возмущений зависит как от расположения компонентов, так и от направления распространения возмущений
12
относительно конкретного размещения веществ. Отсюда следует, что скорость звука в смешанных ячейках,
содержащих гетерогенную смесь веществ, может быть анизотропной величиной. В этой ситуации
определение средней скорости звука в смешанной ячейке – задача, которая не может быть однозначно и
корректно решена для всех течений. Так как формулы определения скорости звука однозначно следуют из
моделей замыкания уравнений газодинамики, отсюда следует и то, что невозможно указать одну верную во
всех отношениях модель замыкания.
3 Постановка тестовых расчетов по исследованию способов задания искусственной вязкости
компонентов
3.1 Прохождение УВ по смеси двух газов
Задача 1. Постановка задачи приведена выше в разделе 2.2.
На рис.6-8 представлены профили давлений компонентов, среднего давления и плотностей компонентов
от расстояния на момент времени t=25 с использованием всех типов искусственной вязкости,
рассмотренных выше.
На рис.6a-d представлены профили для метода 1: давлений (0 компонента, 1 компонента и среднего
давления) и плотности компонентов (для метода 1 в любой ячейке ρ 0 = ρ1 = ρ ) для метода 1. На рис.7a-с для
метода 3 представлены профили среднего давления (для метода 3 p 0 ≈ p1 ≈ P ) и плотности компонентов. На
рис.3a-c для метода 5 представлены профили давления (для метода 5 p 0 ≈ p1 ≈ P ) и плотности компонентов.
Также на всех рисунках нанесено аналитическое решение.
18
6
P1_visc 1, 2, 3, 4
16
P1_visc 5
5
P1_visc 6
14
P_Analitic
12
4
P0_visc 1, 2, 3, 4
10
P0_visc 6
6
P_Analitic
P
P
P0_visc 5
8
3
2
4
1
2
0
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
100
50
55
60
65
70
a)
75
X
80
85
90
95
100
b)
12
9
8
Ro0(Ro1)_visc 1, 2, 3, 4
Ro0(Ro1)_visc 5
10
Ro0(Ro1)_visc 6
7
Ro_0_Analitic
6
8
P_Average_visc 1, 2, 3, 4
5
P_Average_visc 6
4
Ro_1_Analitic
6
Ro
P
P_Average_visc 5
P_Analitic
4
3
2
2
1
0
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
50
100
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
100
d)
c)
Рис.6. Профили давления 0 (a) и 1 (b) компонентов, среднего давления (с) и плотностей компонентов (d) для метода 1
7
3
P0(P1)_visc 1
Ro0_visc 1
Ro0_visc 2
P0(P1)_visc 2
6
P0(P1)_visc 3
Ro0_visc 3
2.5
Ro0_visc 4
P0(P1)_visc 4
5
Ro0_visc 5, 6
P0(P1)_visc 5, 6
2
P_Analitic
Ro0_Analitic
P
Ro
4
3
1.5
2
1
1
0.5
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
50
100
a)
55
60
65
70
75
X
b)
13
80
85
90
95
100
25
Ro1_visc 1
Ro1_visc 2
20
Ro1_visc 3
Ro1_visc 4
Ro1_visc 5, 6
15
Ro
Ro1_Analitic
10
5
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
100
c)
Рис. 7. Профили среднего давления (a) и плотностей компонентов 0 (b) и 1 (с) для метода 3
7
3
P0(P1)_visc 1
Ro0_visc 1
Ro0_visc 2
P0(P1)_visc 2
6
Ro0_visc 3
2.5
P0(P1)_visc 3
Ro0_visc 4
P0(P1)_visc 4
5
P0(P1)_visc 5
4
Ro0_visc 6
Ro
P0(P1)_visc 6
P_Analitic
P
Ro0_visc 5
2
3
Ro0_Analitic
1.5
2
1
1
0.5
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
100
50
55
60
65
70
80
85
90
95
100
b)
a)
20
Ro1_visc 1
18
Ro1_visc 2
16
Ro1_visc 3
Ro1_visc 4
14
Ro1_visc 5
12
Ro
75
X
Ro1_visc 6
Ro1_Analitic
10
8
6
4
2
0
50
55
60
65
70
75
X
80
85
90
95
100
c)
Рис.8. Профили среднего давления (a) и плотностей компонентов 0 (b) и 1 (с) для метода 5
3.2 Прохождение УВ через контактную границу 2-х веществ (из тяжёлого в лёгкое)
Задача 2. В области 1 (0<x<20) находится идеальный газ с параметрами ρ 0 = 0.00125, e 0 = 0, γ 0 = 2 . В
области 2 (20<x<60) содержится вещество с параметрами ρ1 = 7.82, e1 = 0 и уравнением состояния (53) с
параметрами c10 = 4.9, n = 3, Г = 3.54777 , ρ10 = 7.82 .
Область 0 < x < 20 равномерно разбивалась на 200 интервалов, 20 < x <60 – на 400. Расчёты проводились
на неподвижной сетке. При этом на правой границе x=60 задаётся втекающий поток вещества с номером 1 и
параметрами ρ1гр = 8.571, e 1гр = 0.112, u гр = −0.473 , что аналогично заданию давления P=20 на границе
области в лагранжевом расчёте. На левой границе x=0 – условие жёсткой стенки.
Задача 3. Отличается от задачи 2 только увеличенной в 100 раз плотностью вещества 0, т.е. ρ 0 = 0.125 .
На рис.9-11 представлены профили средней внутренней энергии, среднего давления и массовой скорости
от расстояния на момент времени t=12 для задачи 2 (с использованием методов замыкания 1, 3 и 5), а на
рис.12 – для задачи 3 (с использованием метода 3). Также на всех рисунках приводятся результаты
лагранжевого расчёта без смешанных ячеек и положение контактной границы веществ (Interface). Отметим,
что результаты расчетов задачи 3 по методам 1 и 5 не приводятся, так как они ничего нового по сравнению с
задачей 2 не дали.
14
0.5
0.004
E_Average_visc 1-6
0.45
E_Lagrange
Interface
0.4
P_Lagrange
Interface
0.003
0.35
0.0025
0.3
0.25
P
E
P_Average_visc 1-6
0.0035
0.2
0.002
0.0015
0.15
0.001
0.1
0.0005
0.05
0
0
0
5
10
15
20
25
X
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
X
a)
30
35
40
45
50
b)
0
-0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0.2
50
U_visc 1-6
U_Lagrange
-0.3
Interface
U
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
X
c)
Рис.9. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 2 (метод 1)
1
E_Average_visc 2
0.8
E_Average_visc 3
P_Average_visc 3
P_Average_visc 4
P_Average_visc 5, 6
0.0025
E_Lagrange
0.5
P_Average_visc 2
0.003
E_Average_visc 5, 6
0.6
P_Average_visc 1
0.0035
E_Average_visc 4
0.7
P_Lagrange
Interface
0.002
Interface
P
E
0.004
E_Average_visc 1
0.9
0.4
0.0015
0.3
0.001
0.2
0.0005
0.1
0
0
0
5
10
15
20
25
X
30
35
40
45
0
50
5
10
15
20
25
X
30
35
40
45
50
b)
a)
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.2
-0.4
U
-0.6
U_visc 1
-0.8
U_visc 2
U_visc 3
-1
U_visc 4
U_visc 5, 6
-1.2
U_Lagrange
Interface
-1.4
X
c)
Рис.10. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 2 (метод 3)
0.7
0.004
E_Average_visc 1
E_Average_visc 2
0.6
0.003
E_Average_visc 4
E_Average_visc 5
0.4
P_Average_visc 2
P_Average_visc 3
E_Average_visc 3
0.5
P_Average_visc 1
0.0035
P_Average_visc 4
P_Average_visc 5
0.0025
P_Average_visc 6
E_Average_visc 6
0.3
P
E
E_Lagrange
Interface
P_Lagrange
0.002
Interface
0.0015
0.2
0.001
0.1
0.0005
0
0
0
5
10
15
20
25
X
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
X
b)
a)
15
30
35
40
45
50
0
-0.1
0
5
10
15
20
25
30
-0.2
U_visc 2
-0.3
U_visc 3
40
45
50
U_visc 4
-0.4
U
35
U_visc 1
U_visc 5
-0.5
U_visc 6
-0.6
U_Lagrange
Interface
-0.7
-0.8
-0.9
-1
X
c)
Рис.11. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 2 (метод 5)
0.5
0.35
E_Average_visc 2
0.4
E_Average_visc 3
0.35
E_Average_visc 4
0.3
E_Average_visc 5, 6
0.3
0.25
E_Lagrange
0.25
Interface
P_Average_visc 1
0.2
P
E
0.4
E_Average_visc 1
0.45
P_Average_visc 2
0.2
0.15
0.15
P_Average_visc 3
P_Average_visc 4
0.1
P_Average_visc 5, 6
0.1
0.05
0.05
P_Lagrange
Interface
0
0
10
15
20
25
30
X
35
40
45
10
50
15
20
25
30
X
35
40
45
b)
a)
0
-0.1
10
15
20
25
30
35
45
50
U_visc 2
-0.3
U
40
U_visc 1
-0.2
U_visc 3
-0.4
U_visc 4
-0.5
U_visc 5, 6
U_Lagrange
-0.6
Interface
-0.7
-0.8
-0.9
-1
X
c)
Рис.12. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 3 (метод 3)
3.3 Прохождение УВ через контактную границу 2-х веществ (из лёгкого в тяжёлое)
Задача 4. В области 1 (0<x<19.95) находится идеальный газ с параметрами ρ 0 = 0.125, e 0 = 0, γ 0 = 2 . В
области 2 (19.95<x<60) содержится газ с параметрами ρ1 = 7.82, e1 = 0 и уравнением состояния (53) с
параметрами c10 = 4.9, n = 3, Г = 3.54777 , ρ10 = 7.82 . Область 0<x<20 равномерно разбивалась на 200
интервалов, 20<x<60 – на 400. Расчёты проводились на неподвижной сетке, контактная граница веществ
находится внутри ячейки с номером 200 ( β 0 = β1 = 0.5 ). На левой границе x=0 задаётся втекающий поток
вещества с номером 0 и параметрами ρ гр0 = 0.375, e гр0 = 2.666, u гр = 2.309 , что аналогично заданию давления
P=1 на границе области в лагранжевом расчёте. На правой границе x=60 – условие жёсткой стенки.
На рис.13-15 представлены профили средней внутренней энергии, среднего давления и массовой
скорости от расстояния на момент времени t=6.2. Так же на всех рисунках проводятся результаты
лагранжевого расчёта без смешанных ячеек и положение контактной границы веществ (Interface).
10
6
E_Average_visc 1-6
9
E_Lagrange
8
P_Average_visc 1-6
P_Lagrange
5
Interface
7
Interface
4
5
P
E
6
3
4
2
3
2
1
1
0
0
15
17
19
21
23
25
27
29
15
17
19
21
23
X
X
a)
b)
16
25
27
29
50
3
U_visc 1-6
U_Lagrange
2.5
Interface
2
U
1.5
1
0.5
0
15
17
19
21
23
25
27
29
X
c)
Рис.13. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 4 (метод 1)
10
6
E_Average_visc 1-6
9
E_Lagrange
Interface
8
P_Average_visc 1-6
P_Lagrange
5
7
Interface
4
5
P
E
6
3
4
2
3
2
1
1
0
0
15
17
19
21
23
25
27
29
15
17
19
21
23
X
25
27
29
X
a)
b)
3
U_visc 1-6
U_Lagrange
2.5
Interface
2
U
1.5
1
0.5
0
15
17
19
21
23
25
27
29
X
c)
Рис.14. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 4 (метод 3)
3
U_Lagrange
2.5
P_Average_visc 1-6
P_Lagrange
5
Interface
4
1.5
3
P
2
1
2
0.5
1
Interface
0
0
15
17
19
21
23
25
27
15
29
17
19
21
23
25
27
X
X
b)
a)
3
U_visc 1-6
U_Lagrange
2.5
Interface
2
U
U
6
U_visc 1-6
1.5
1
0.5
0
15
17
19
21
23
25
27
29
X
c)
Рис.15. Профили внутренней энергии (a), давления (b) и массовой скорости (c) в задаче 4 (метод 5)
17
29
3.4 Обсуждение результатов расчетов
В таблице 4 приводятся оценки расчетов вышеуказанных задач, проведенных с применением трех
методов замыкания и 6 способов задания квадратичной вязкости компонентов в смешанных ячейках.
Оценки даются следующим образом: за хороший по точности результат ставится отметка +, за
неудовлетворительный результат ставится знак -, за более-менее приемлемый результат +-. Конечно, все эти
оценки довольно условны и субъективны, так как не имеют за собой строгого математического
обоснования. Соответствие выставленных оценок реальным результатам каждый может проверить по
результатам приведенных расчетов.
Таблица 4. Оценка результатов тестовых расчетов
Метод распределения
Номер
дивергенции
задачи
1
3
5
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Способы задания qi
1
+
+
+
+
+
+
+
2
+
+
+
+
+
+
+
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4
+
+
+
+
+
+
+
+
5
+
+
+
+
++
+
6
+
+
++
+
++
+
+
Анализ приведенных рисунков и таблицы 4 дает следующую картину точности использованных методов.
Задача 1. Результаты расчетов по методу 1 неудовлетворительны по точности описания как давлений и
плотностей компонентов, так и среднего давления для всех видов вязкости. Лишь для вязкости 5 можно
отметить приемлемое согласие с аналитическим решением для среднего давления, однако давления и
плотности компонентов существенно отличаются от аналитического решения. Методы замыкания 3 и 5
дают значительно лучшие результаты, однако, лишь для определенных видов вязкости. Лучший результат
для метода 3 получен для вязкости 3 и более-менее приемлемый результат для вязкости 6. Метод 5 лучший
результат показал также для вязкости 3 и вполне точный результат для вязкости 6.
Задача 2. Результаты расчетов по методу замыкания 1 хорошо согласуются с результатом расчета в
лагранжевых переменных для всех видов вязкости. Для метода 3 лишь для вязкости 4 можно отметить
хорошее согласие с лагранжевым расчетом, остальные вязкости дают неприемлемые результаты. Метод
замыкания 5 дал хорошее согласие с лагранжевым расчетов для всех видов вязкости, кроме вязкости 5,
однако, и для этой вязкости согласие вполне приемлемо.
Задача 3. Результаты расчетов по всем трем методам замыкания с использованием всех вязкостей
удовлетворительно согласуются с результатом расчета в лагранжевых переменных.
Задача 4. Результаты расчетов по методу 1 с использованием всех вязкостей неудовлетворительны с
точки зрения описания профилей давления и массовой скорости. Хорошие результаты получены по методам
замыкания 3 и 5 для всех использованных видов вязкостей, однако результат по методу 5 все же несколько
лучше.
По результатам численного исследования раздела 3 для различных методов замыкания были выбраны те
типы искусственной вязкости, с которыми они показали наилучшие результаты (см. раздел 1.4).
Заключение
Исследованы несколько моделей замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках и несколько
способов определения искусственной вязкости для компонентов в таких ячейках. Проведенное
исследование тестовых задач в разных постановках позволяют однозначно ответить на вопрос о точности
рассмотренных методов.
Метод замыкания 1 (равенство дивергенций компонентов) имеет недостаточную точность в расчетах
задач со смесями с сильно отличающимися сжимаемостями компонентов. Тем не менее, допустимо
применения этой модели в ряде задач, в которых смешанные ячейки существуют только из-за наличия
контактных границ.
Методы замыкания 2, 3 и 4, которые, в принципе, основаны на едином физическом приближении –
равенстве давлений компонентов в смешанных ячейках, показали себя достаточно точными при
моделировании ударноволновых течений при больших областях смешанных ячеек. Однако, требуется
осторожный подход при моделировании слабосжимаемых течений гетерогенных смесей с малым
количеством смешанных ячеек, так как в этом случае может занижаться скорость распространения
возмущений. Если сравнивать эти три модели между собой, то предпочтение необходимо отдать методу 3.
Метод 2 отличается дороговизной и необходимостью итерационного решения уравнений газодинамики.
18
Метод 4, по-видимому, ограничен только расчетами в чисто лагранжевой постановке со сравнимыми по
величине значениями объемных концентраций компонентов.
Наиболее универсальным представляется метод 5, основанный на равенстве скоростей компонентов
после прохождения слабой волны, с заданием квадратичной искусственной вязкости компонентов
пропорционально плотности компонентов. Во всех рассмотренных в данной работе тестовых расчетах при
использовании этого метода получены удовлетворительные результаты.
Список использованных источников
1. Янилкин Ю.В., Шанин А.А., Ковалев Н.П., Гаврилова Е.С., Губков Е.В., Дарова Н.С., Дибиров О.А., Жарова Г.В.,
Калманович А.И., Павлуша И.Н., Самигулин М.С., Симонов Г.П., Синькова О.Г., Сотникова М.Г., Тарасов В.И.,
Торопова Т.А. Комплекс программ ЭГАК для расчетов двумерных течений многокомпонентной среды // ВАНТ, сер.
ММФП, вып. 4, 69-75, 1993.
2. Софронов И.Д., Дмитриев Н.А., Дмитриева Л.В., Малиновская Е.В. Методика расчета двумерных нестационарных
задач газодинамики в переменных Лагранжа. ИПМ АН СССР, препринт N59, 1976.
3. Бахрах С.М., Спиридонов В.Ф., Шанин А.А. Метод расчета двумерных осесимметричных газодинамических течений
неоднородной среды в лагранжево-эйлеровых переменных //ДАН СССР, т.276, N4, 1984.
4. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в
гидродинамике. М.: Мир, 1967.
5. Жарова Г.В., Янилкин Ю.В. Комплекс программ ЭГАК. Алгоритм выравнивания давлений веществ в смешанных
ячейках //ВАНТ, сер. ММФП, вып. 3, 77-82, 1993.
6. Бондаренко Ю.А., Янилкин Ю.В. Расчет термодинамических параметров смешанных ячеек в газовой динамике //
ВАНТ, сер. ММФП, вып. 4. 12-25, 2000.
7. Гончаров Е.А., Янилкин Ю.В. Новый метод расчёта термодинамического состояния веществ в смешанных ячейках //
ВАНТ, сер. ММФП, вып. 3,16-30, 2004.
8. Делов В.И., Садчиков В.В. Сравнение некоторых моделей для расчета термодинамических параметров
неоднородных по составу лагранжевых ячеек // ВАНТ, сер. ММФП, в.1, 57-70, 2005.
9. Гончаров Е.А., Колобянин В.Ю., Янилкин Ю.В. Метод замыкания уравнений газовой динамики в смешанных
ячейках для гетерогенной смеси, основанный на равенстве скоростей компонентов // ВАНТ, сер. ММФП, настоящий
выпуск, 2006.
10. Физика взрыва / Под ред. Л.П. Орленко. М.: Физматлит., Том 1, 711-713, 2002.
11. Бондаренко Ю.А., Воронин Б.Л., Делов В.И., Зубов Е.Н., Ковалев Н.П., Соколов С.С., Шемарулин В.Е. Описание
системы тестов для двумерных газодинамических методик и программ. Ч.1. Требования к тестам. Тесты 1-7 // ВАНТ,
сер. ММФП, вып. 2, с. 3- 9, 1991.
19