ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Лекция 3. ОТНОШЕНИЯ

ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÈÓ5, 3 ñåìåñòð, 2015 ã.
Ëåêöèÿ 3. ÎÒÍÎØÅÍÈß
ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎÑÒÈ È ÏÎÐßÄÊÀ
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
3.1. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè
Ïóñòü A | ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî.
Ñåìåéñòâî (Bi )i∈I íåïóñòûõ è ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ
íàçûâàþò ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà A , åñëè
[
îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ñåìåéñòâà (Bi )i∈I ðàâíî A , ò.å.
Bi = A .
i∈I
Ñàìè ìíîæåñòâà Bi íàçûâàþò ýëåìåíòàìè ðàçáèåíèÿ (Bi )i∈I .
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ îáðàçóåò ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè.
Ýëåìåíòîì ðàçáèåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êàæäîé ïðÿìîé.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïóñòü ρ | ýêâèâàëåíòíîñòü íà ìíîæåñòâå A è x ∈ A .
Êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ
ýëåìåíòîâ A , ýêâèâàëåíòíûõ x , ò.å. ìíîæåñòâî {y: y ρ x} .
Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷àþò [x]ρ .
Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ A êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íå ïóñò â ñèëó
ðåôëåêñèâíîñòè , òàê êàê x ∈ [x]ρ .
Ôàêòîð-ìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A ïî îòíîøåíèþ ρ íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî äàííîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A è îáîçíà÷àþò A/ρ .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Óòâåðæäåíèå 3.1. Ëþáûå äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ
ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò.
J Ïóñòü äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè [x]ρ è [y]ρ èìåþò îáùèé ýëåìåíò
z ∈ [x]ρ ∩ [y]ρ .
Òîãäà z ρ x è z ρ y .
 ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè îòíîøåíèÿ ρ : x ρ z , òîãäà x ρ z è z ρ y .
 ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ρ ïîëó÷èì x ρ y .
Ïóñòü
h ∈ [x]ρ ⇒ (h ρ x ∧ x ρ y) ⇒ h ρ y ⇒ h ∈ [y]ρ.
Ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà h ∈ [x]ρ .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îáðàòíî,
åñëè
h ∈ [y]ρ ⇒ (h ρ y) ∧ (x ρ y) ⇒
⇒ ( òî â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòèρ) (h ρ y) ∧ (y ρ x) ⇒
⇒ (â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè) h ρ x ⇒ h ∈ [x]ρ ⇒ [x]ρ = [y]ρ.
I
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A
ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A .
Îáðàòíî, ëþáîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A çàäàåò íà íåì îòíîøåíèå
ýêâèâàëåíòíîñòè, äëÿ êîòîðîãî êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñîâïàäàþò ñ
ýëåìåíòàìè ðàçáèåíèÿ.
J Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A îïðåäåëÿåò íåêîòî-
ðîå ðàçáèåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà.
Êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ ò.ê. äëÿ ëþáîãî x ∈ A ñïðàâåäëèâî x ∈ [x]ρ
( x ρ x ).
Ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ îáðàçóåò
ðàçáèåíèå èñõîäíîãî ìíîæåñòâà A .
Ò.î., ëþáîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ðàçáèåíèå.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïóñòü (Bi )i∈I | íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A .
Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ρ , òàêîå, ÷òî
x ρ y ⇔ (∃i ∈ I)(x ∈ Bi) ∧ (y ∈ Bi).
Ââåäåííîå îòíîøåíèå ρ ðåôëåêñèâíî è ñèììåòðè÷íî.
Åñëè äëÿ ëþáûõ x , y è z èìååò ìåñòî x ρ y è y ρ z ,òî x , y è z â
ñèëó îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ρ ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå ýëåìåíòó
Bi ðàçáèåíèÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, x ρ z è îòíîøåíèå ρ òðàíçèòèâíî.
Òàêèì îáðàçîì, ρ | ýêâèâàëåíòíîñòü íà A . I
Ëþáàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííîå ðàçáèåíèå è íàîáîðîò.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.1. Íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë Z îïðåäåëèì îòíîøåíèå
≡(mod k) îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ïî ìîäóëþ k , ãäå k ∈ N :
x ≡(mod k) y , åñëè è òîëüêî åñëè x − y äåëèòñÿ íà k .
≡(mod k) | ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Ðàâåíñòâî ÷èñåë m è n ïî ìîäóëþ k îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äåëåíèè íà k
ýòè ÷èñëà äàþò îäèíàêîâûå îñòàòêè.
Ðàçëè÷íûõ îñòàòêîâ ìîæåò áûòü ðîâíî k : 0 , 1 , . . . , k − 1 .
Ïîëó÷àåì ðîâíî k ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè:
[0]≡(mod k) , [1]≡(mod k) , . . . , [k − 1]≡(mod k) ,
ãäå êëàññ [r]≡(mod k) ñîñòîèò èç âñåõ öåëûõ ÷èñåë, äàþùèõ ïðè äåëåíèè íà
k îñòàòîê r .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
3.2. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâî âìåñòå ñ çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà íàçûâàþò
óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà áóäåì îáîçíà÷àòü ≤ (èëè çíà÷êàìè 4 , v è ò.ï.,
ïîõîæèìè íà ≤ ).
Ìíîæåñòâî M ñ çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ≤ áóäåì
çàïèñûâàòü êàê ïàðó (M, ≤) .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êàæäîìó îòíîøåíèþ ïîðÿäêà ≤ íà ìíîæåñòâå M ìîæíî ñîïîñòàâèòü
ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ.
1. Îòíîøåíèå < , ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ≤
âûáðàñûâàíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ äèàãîíàëè idM .
(x < y) ∀ x, y ∈ M ⇔ ((x ≤ y) ∧ (x 6= y))
"Ýëåìåíò x ñòðîãî ìåíüøå ýëåìåíòà y ."
Áèíàðíîå îòíîøåíèå < íà ìíîæåñòâå M |îòíîøåíèå ñòðîãîãî
ïîðÿäêà. Îíî èððåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
2. Äâîéñòâåííûé ïîðÿäîê. Ýòî áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå M ,
îáðàòíîå ê îòíîøåíèþ ≤ .
Îáîçíà÷åíèå ≥ .
Òîãäà äëÿ ëþáûõ x , y óñëîâèå x ≥ y ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî y ≤ x .
Îòíîøåíèå ≥ òîæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà.
Îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà,àññîöèèðîâàííîå ñ ≥ , îáîçíà÷èì > .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
3. Îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ x C y .
Äëÿ äâóõ ýëåìåíòîâ x è y , ïî îïðåäåëåíèþ, x C y òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà x ñòðîãî ìåíüøå y è íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ýëåìåíòà z , ÷òî
x<z <y.
Îòíîøåíèå x C y íàçûâàþò îòíîøåíèåì äîìèíèðîâàíèÿ (èëè ïðîñòî
äîìèíèðîâàíèåì), àññîöèèðîâàííûì ñ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ≤ .
"Ýëåìåíò y äîìèíèðóåò íàä ýëåìåíòîì x ".
Îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ èððåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî, íî íå
òðàíçèòèâíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.2. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N çàäàíî îòíîøåíèå
äåëèìîñòè
Ïî îòíîøåíèþ äåëèìîñòè 15 äîìèíèðóåò íàä 3 è 5, íî 20 íå äîìèíèðóåò
íàä 5, òàê êàê ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò | 10, äåëèòåëü 20,
"
êîòîðûé äåëèòñÿ íà 5, íî íå ðàâåí íè 20, íè 5.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
3.3. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
Ðàññìîòðèì óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M, ≤) .
Ýëåìåíòû x è y óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) íàçûâàþò ñðàâíèìûìè ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà ≤ , åñëè x ≤ y èëè U ≤ x .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýëåìåíòû x è y íàçûâàþòñÿ íåñðàâíèìûìè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî ïîïàðíî ñðàâíèìû,
íàçûâàþò ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì, à ñîîòâåòñòâóþùåå îòíîøåíèå |
îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà (èëè ïðîñòî ëèíåéíûì ïîðÿäêîì).
Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî íàçûâàþò öåïüþ.
Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ äàííîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþò àíòèöåïüþ.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.3. à. Îòíîøåíèå åñòåñòâåííîãî ÷èñëîâîãî ïîðÿäêà íà
ìíîæåñòâå R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî
ïîðÿäêà, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a , b èìååò ìåñòî èëè
íåðàâåíñòâî a ≤ b , èëè íåðàâåíñòâî b ≤ a .
á. Îòíîøåíèå äåëèìîñòè íà ìíîæåñòâå N íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
ïîðÿäêîì. #
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïóñòü (A, ≤) | óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàþò íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A , åñëè
äëÿ âñåõ x ∈ A âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x ≤ a .
Ýëåìåíò b íàçûâàþò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A , åñëè
äëÿ âñÿêîãî x ∈ A èìååò ìåñòî îäíî èç äâóõ: èëè x ≤ b , èëè x è b íå
ñðàâíèìû.
Íàèìåíüøèé ýëåìåíò óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A | ýòî òàêîé åãî
ýëåìåíò a , ÷òî a ≤ x äëÿ êàæäîãî x ∈ A .
Ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò | ýòî òàêîé ýëåìåíò b ∈ A , ÷òî äëÿ ëþáîãî
x ∈ A ýëåìåíòû b è x íå ñðàâíèìû èëè b ≤ x .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Óòâåðæäåíèå 3.2. Íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ýëåìåíò ìíîæåñòâà, åñëè
îí ñóùåñòâóåò, ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.
J Ïóñòü a è a0 | íàèáîëüøèå ýëåìåíòû A ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà
≤.
Äëÿ âñÿêîãî x ∈ A âûïîëíÿåòñÿ x ≤ a è x ≤ a0 .
 ÷àñòíîñòè, a0 ≤ a è a ≤ a0 . Ñëåäîâàòåëüíî, a = a0 (àíòèñèììåòðè÷íîñòü îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà). I
Åäèíñòâåííîñòü íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ìàêñèìàëüíûõ (ìèíèìàëüíûõ) ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ñêîëüêî óãîäíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.4.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå òî÷åê ïëîñêîñòè ñ ôèêñèðîâàííîé
ñèñòåìîé êîîðäèíàò:
(a, b) ≤ (c, d) , åñëè è òîëüêî åñëè a ≤ c è b ≤ d .
Ðèñ. 1
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê òðåóãîëüíèêà OAB . Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
(0, 0) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ýòîãî ìíîæåñòâà.
Ìàêñèìàëüíûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ âñå òî÷êè, ëåæàùèå íà ñòîðîíå
AB . Íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà íåò. #
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïóñòü (A, ≤) | óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî è B ⊆ A .
Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé) ãðàíüþ
ìíîæåñòâà B , åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ x ∈ B èìååò ìåñòî (x ≤ a)
(ñîîòâåòñòâåííî (x ≥ a) ).
Òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ B íàçûâàþò íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé ìíîæåñòâà B è îáîçíà÷àþò sup B
Òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ B íàçûâàþò íàèáîëüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
âñåõ íèæíèõ ãðàíåé è îáîçíà÷àþò( inf B ).
Ýëåìåíòû sup B è inf B ìîãóò íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó B .
(íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B âñåãäà ïðèíàäëåæàò
ìíîæåñòâó B )
Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò íå âñåãäà.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.5.
Ðèñ. 2
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî D òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà OABC ñ îòíîøåíèåì
ïîðÿäêà (a, b) ≤ (c, d) , åñëè è òîëüêî åñëè a ≤ c è b ≤ d .
Òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ, à òî÷êà B | òî÷íîé âåðõíåé
ãðàíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà. Îáå òî÷êè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.6.
Ðèñ. 3
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî F ñ òåì æå îòíîøåíèåì ïîðÿäêà.
Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü (òî÷êà O ) è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü (òî÷êà E )
ìíîæåñòâà F ñóùåñòâóþò, íî íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Èíäóêòèâíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xi }i∈N ýëåìåíòîâ óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
íàçûâàþò íåóáûâàþùåé, åñëè äëÿ êàæäîãî i ∈ N ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî xi ≤ xi+1 .
Ýëåìåíò a óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) íàçûâàþò òî÷íîé
âåðõíåé ãðàíüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xi }i∈N , åñëè îí åñòü òî÷íàÿ
âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà âñåõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îïðåäåëåíèå 3.1. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M, ≤) íàçûâàþò èíäóêòèâíûì, åñëè:
1) îíî ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò;
2) âñÿêàÿ íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà
èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü.
Ïðèìåð 3.7. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ïî
îòíîøåíèþ âêëþ÷åíèÿ áóäåò èíäóêòèâíûì.
Íàèìåíüøèé ýëåìåíò | ∅ .
sup{Ai}i∈N = ∪i∈NAi.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü (M1 , ≤) è (M2 , 4) | èíäóêòèâíûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà.
Îòîáðàæåíèå f : M1 → M2 îäíîãî èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå íàçûâàþò íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîé íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1 , . . . , an , . . . ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M1
îáðàç åå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ðàâåí òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçîâ f (a1 ) , . . . , f (an ) , . . . , ò.å. ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
f (sup an) = sup f (an) .
Îïðåäåëåíèå 3.3. Îòîáðàæåíèå f : M1 → M2 óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
(M1, ≤) è (M2, 4) íàçûâàþò ìîíîòîííûì, åñëè äëÿ ëþáûõ a , b ∈ M1
èç a ≤ b ñëåäóåò f (a) 4 f (b) .
Ôóíêöèÿ f : R → R áóäåò ìîíîòîííîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 3.3 òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òåîðåìà 2. Âñÿêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îäíîãî èíäóêòèâíîãî
óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå ìîíîòîííî.
J Ïóñòü f | íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà (M1 , ≤) â èíäóêòèâíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M2 , 4) .
Ïóñòü a, b ∈ M1 è a ≤ b .
Îáðàçóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }n∈N , ãäå x1 = a , à xn = b , n ≥ 2 .
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåóáûâàþùàÿ.
Äëÿ íåå sup xn = sup {a, b} = b .
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f
f (b) = f (sup xn) = f (sup {a, b}) = sup {f (a), f (b)},
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f (a) 4 f (b) . I
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
3.4. Òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå.
Íàèáîëåå âàæíû íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â ñåáÿ.
Îïðåäåëåíèå 3.4. Ýëåìåíò a ìíîæåñòâà A íàçûâàþò íåïîäâèæíîé
òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f : A → A , åñëè f (a) = a .
Ýëåìåíò a óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà M íàçûâàþò íàèìåíüøåé
íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f : M → M , åñëè îí ÿâëÿåòñÿ
íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà âñåõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ
f.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Óòâåðæäåíèå 3.3. Åñëè ó íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }n≥0
îòáðîñèòü ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ, òî åå òî÷íàÿ âåðõíÿÿ
ãðàíü íå èçìåíèòñÿ.
Òåîðåìà 3 (òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå). Ëþáîå íåïðåðûâíîå
îòîáðàæåíèå f èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) â ñåáÿ
èìååò íàèìåíüøóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
J O | íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M .
Ïîëàãàåì f 0 (x) = x .
f n(x) = f (f n−1(x)) äëÿ ëþáîãî n > 0 ,
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ M
{f n(O)}n≥0 = {O, f (O), . . . , f n(O), . . .}.
(3.1)
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (3.1) íåóáûâàþùàÿ.
Èñïîëüçóåì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Äëÿ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà ìíîæåñòâà M O èìååì
O = f 0(O) ≤ f (O).
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n âåðíî ñîîòíîøåíèå
f n−1(O) ≤ f n(O).
Îòîáðàæåíèå f ìîíîòîííî (òåîðåìà 2), ïîýòîìó
f n(O) = f (f n−1(O)) ≤ f (f n(O)) = f n+1(O),
ò.å. ñîîòíîøåíèå âåðíî è äëÿ íîìåðà n + 1 .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ñîãëàñíî ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè,
f n(O) ≤ f n+1(O) äëÿ ëþáîãî n ∈ N,
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (3.1) íåóáûâàþùàÿ.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, îíà èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü a .
a = sup f n(O).
(3.2)
n≥0
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè f ïîëó÷àåì
n
f (a) = f sup f (O) = sup f (f n(O)) = sup f n+1(O).
n≥0
n≥0
n≥0
Íî
sup f n+1(O) = sup {f 1(O), f 2(O), . . .} = sup f n(O) = a.
n≥0
n≥1
a ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äîêàæåì, ÷òî íàéäåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé.
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî y ∈ M f (y) = y , ò.å. y | äðóãàÿ íåïîäâèæíàÿ
òî÷êà.
O ≤ y (ïîñêîëüêó O | íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M .)
Îòîáðàæåíèå f íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî.
Ñëåäîâàòåëüíî, f (O) ≤ f (y) = y , f (f (O)) ≤ f (f (y)) = y è ò.ä.
Òî åñòü, äëÿ ëþáîãî n ≥ 0 f n (O) ≤ y .
Ýëåìåíò y åñòü âåðõíÿÿ ãðàíü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f n (O)}n≥0 .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ýëåìåíò a | òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü (íàèìåíüøèé ýëåìåíò íà ìíîæåñòâå
âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè), òî y ≥ a .
Ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f íå ìåíüøå ýëåìåíòà a | íåïîäâèæíîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f . Ñëåäîâàòåëüíî,
a | íàèìåíüøàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f .
I
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïîèñê íåïîäâèæíîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f : M → M ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çàäà÷ó ïîèñêà íàèìåíüøåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
x = f (x).
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î íåïîäâèæíîé òî÷êå êîíñòðóêòèâíîå: îíî äàåò
ìåòîä ïîëó÷åíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè.
Äëÿ åå íàõîæäåíèÿ íàäî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{O, f (O), . . . , f n(O), . . .}
è íàéòè åå òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåð 3.8. Âû÷èñëåíèå íàèìåíüøåé íåïîäâèæíîé òî÷êè.
Îòðåçîê [0, 1] ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì ≤ - ýòî èíäóêòèâíîå
óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
Çàäàäèì íà ýòîì ìíîæåñòâå îòîáðàæåíèå f (x) =
óðàâíåíèå x =
1
2
x+
1
4
1
2
x+
1
4
è ðàññìîòðèì
.
Äëÿ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ([0, 1], ≤) ìîíîòîííàÿ
ôóíêöèÿ f : [0, 1] → [0, 1] | íåïðåðûâíà.
Äëÿ ëþáîé íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íà ìíîæåñòâå [0, 1]
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sup{xn } = lim xn .
n→∞
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èìååì
f ( lim xn) = lim f (xn)
n→∞
n→∞
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òàê êàê ôóíêöèÿ f
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü .
ìîíîòîííà, òî {f (xn )}n≥0 | íåóáûâàþùàÿ
lim f (xn) = sup f (xn)
n→∞
 èòîãå ïîëó÷àåì
f (sup xn) = f ( lim xn) = lim f (xn) = sup f (xn)
n→∞
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíà.
Íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Âû÷èñëÿåì:
f 0(0) = 0,
f 1(0) = 1/4,
f 2(0) = (1/2) · (1/4) + 1/4 = 3/8,
f 3(0) = (1/2) · (3/8) + 1/4 = 7/16,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïîëó÷àÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé ê íàèìåíüøåé íåïîäâèæíîé
òî÷êå.
Ìîæíî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ÷òî
f n(0) =
2n − 1
2n+1
, n ∈ N.
Ïðåäåë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí 1/2 .
Òàêèì îáðàçîì, íàèìåíüøàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f , îïðåäåëÿåìîãî ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ, ðàâíà 1/2 .
Ýòî åäèíñòâåííàÿ â äàííîì
íåïîäâèæíàÿ
• First •ñëó÷àå
Prev • Next
• Last • Go òî÷êà
Back • îòîáðàæåíèÿ
Full Screen • Close f• .Quit
Ìàòåðèàë äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè
Ïðèìåð 3.9. Íà ìíîæåñòâå R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë çàäàäèì îòíîøåíèå
a ≡(mod 1) b , ïîëàãàÿ, ÷òî ÷èñëà a è b ðàâíû ïî ìîäóëþ 1 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ÷èñëî a − b ÿâëÿåòñÿ öåëûì.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êàæäîå ÷èñëî ïî ìîäóëþ 1 ðàâíî ñâîåé
äðîáíîé ÷àñòè
Òàê êàê îòíîøåíèå ≡(mod 1) îïðåäåëåíî ÷åðåç ðàâåíñòâî, âñå ñâîéñòâà
îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ íåãî âûïîëíÿþòñÿ.
Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè áóäåò ñîäåðæàòü ÷èñëà ñ ðàâíûìè äðîáíûìè ÷àñòÿìè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî äàííîìó îòíîøåíèþ îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ÷èñëî èç ïîëóèíòåðâàëà [0, 1) .
Íàîáîðîò, êàæäîìó ÷èñëó γ ∈ [0, 1) îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâëÿåòñÿ êëàññ
ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîñòîÿùèé èç âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, äðîáíàÿ
÷àñòü êîòîðûõ ðàâíà γ .
Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîð-ìíîæåñòâî R/ ≡(mod 1) è ïîëóèíòåðâàë [0, 1) íà
÷èñëîâîé ïðÿìîé íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè è îòîáðàæåíèÿ.
Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A ìîæíî
îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå fρ : A → A/ρ , ñîïîñòàâèâ êàæäîìó x ∈ A
ñîäåðæàùèé åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè.
fρ(x) = [x]ρ
Ýòî îòîáðàæåíèå ñþðúåêòèâíî, òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
A ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. äëÿ êàæäîãî
[x]ρ ∈ A/ρ ñïðàâåäëèâî [x]ρ = fρ(x) .
Îòîáðàæåíèå fρ , îïðåäåëåííîå òàêèì îáðàçîì, íàçûâàþò
êàíîíè÷åñêîé ñþðúåêöèåé ìíîæåñòâà A .
Ëþáîå îòîáðàæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òåîðåìà 4. Ïóñòü f : A → B | ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå.Íà
ìíîæåñòâå A îïðåäåëèì îòíîøåíèå ρf : (x, y) ∈ ρf , åñëè è
òîëüêî åñëè f (x) = f (y) . Ýòî îòíîøåíèå ρf ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì
ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðè÷åì ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ôàêòîð-ìíîæåñòâà A/ρf
íà ìíîæåñòâî f (A) .
J Ðåôëåêñèâíîñòü : f (x) = f (x) ;
Ñèììåòðè÷íîñòü : f (x) = f (y) è f (y) = f (x) ;
Òðàíçèòèâíîñòü : f (x) = f (y) ∧ f (y) = f (z) ⇒ f (x) = f (z) ;
ò.å. ρf | ýêâèâàëåíòíîñòü.
ϕ: A/ρf → f (A) ϕ([x]ρf ) = f (x) .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êàæäîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò y ∈ f (A) (îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî).
ϕ | áèåêöèÿ (èíúåêöèÿ è ñþðúåêöèÿ îäíîâðåìåííî).
Ïóñòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè [x]ρf è [y]ρf íå ñîâïàäàþò.
 ñèëó òåîðåìû 1 îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ, ò.å. x íå ýêâèâàëåíòíî y .
Èç îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ρf ñëåäóåò, ÷òî f (x) 6= f (y) .
Òàêèì îáðàçîì, ϕ | èíúåêöèÿ.
Åñëè ýëåìåíò u ∈ f (A) , òî íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x ∈ A , ÷òî
u = f (x) = ϕ([x]ρf ) , ò.å. ϕ | ñþðúåêöèÿ .
Èòàê, ϕ | áèåêöèÿ. I
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó äîêàçàííûõ òåîðåì 1 è 4 ñóùåñòâóåò ñâÿçü
ìåæäó òðåìÿ ïîíÿòèÿìè | îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà, îòíîøåíèåì
ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå è ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà.
Íî íåâåðíî, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
îòîáðàæåíèÿìè è îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè.
Äâà ðàçíûõ îòîáðàæåíèÿ ìîãóò îïðåäåëÿòü îäíî è òî æå ðàçáèåíèå
îòîáðàæàåìîãî ìíîæåñòâà, òåì ñàìûì çàäàâàÿ íà íåì îäíî è òî æå
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Ïðèìåð 3.10.
a. Ëþáîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : A → B çàäàåò íà A îäíî è òî æå
ðàçáèåíèå | òðèâèàëüíîå ðàçáèåíèå íà îäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà.
b. Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë è îòîáðàæåíèå,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó öåëîìó n ÷èñëî n + 1 , çàäàþò îäèíàêîâûå
ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
Ïðèìåð 3.11. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R ñ
åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì.
Ïóñòü a < c .
Äëÿ ëþáûõ a è c íàéäåòñÿ òàêîå b , ÷òî a < b < c .
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì.
Ïîýòîìó îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ áóäåò ïóñòûì.
Ïóñòûì áóäåò è îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ, àññîöèèðîâàííîå ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ íå ïóñòî.
1 C 2 , −5 C −4 ;
ìåæäó 1 è 2 íå ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò.
"
Çàïèñûâàòü 1 C 3 íåâåðíî, ÷òî, ïîñêîëüêó ìåæäó åäèíèöåé è òðîéêîé
ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò | äâîéêà.
"
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit