Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики
Элементы комбинаторики
Содержание
1. Перестановки
2. Размещения
3. Сочетания
4. Правила суммы и умножения
Элементы комбинаторики
Предмет комбинаторики
Определение
Комбинаторика — это раздел математики, посвященный дискретным
объектам и конечным множествам. Здесь решаются задачи о способах
выбора из конкретного множества заданного количества элементов, т. е.
комбинаций.
Элементы комбинаторики
Предмет комбинаторики
Определение
Комбинаторика — это раздел математики, посвященный дискретным
объектам и конечным множествам. Здесь решаются задачи о способах
выбора из конкретного множества заданного количества элементов, т. е.
комбинаций.
Термин «комбинаторика» был введен Г. Лейбницем в 1666 г.
Элементы комбинаторики
Предмет комбинаторики
Определение
Комбинаторика — это раздел математики, посвященный дискретным
объектам и конечным множествам. Здесь решаются задачи о способах
выбора из конкретного множества заданного количества элементов, т. е.
комбинаций.
Термин «комбинаторика» был введен Г. Лейбницем в 1666 г.
Понятия комбинаторики:
перестановки;
размещения;
сочетания.
Элементы комбинаторики
Предмет комбинаторики
Определение
Комбинаторика — это раздел математики, посвященный дискретным
объектам и конечным множествам. Здесь решаются задачи о способах
выбора из конкретного множества заданного количества элементов, т. е.
комбинаций.
Термин «комбинаторика» был введен Г. Лейбницем в 1666 г.
Понятия комбинаторики:
перестановки;
размещения;
сочетания.
Правила комбинаторики:
правило суммы и правило умножения.
Элементы комбинаторики
Перестановки
Определение
Пусть дано множество, состоящее из n (различных) элементов.
Всевозможные упорядоченные множества, которые могут быть составлены
из этих элементов, называются перестановками из n элементов.
Элементы комбинаторики
Перестановки
Определение
Пусть дано множество, состоящее из n (различных) элементов.
Всевозможные упорядоченные множества, которые могут быть составлены
из этих элементов, называются перестановками из n элементов.
Пример
Из элементов {1, 2, 3} можно составить 6 перестановок:
{1, 2, 3} , {1, 3, 2} , {2, 1, 3} , {2, 3, 1} , {3, 1, 2} , {3, 2, 1} .
Элементы комбинаторики
Перестановки
Определение
Пусть дано множество, состоящее из n (различных) элементов.
Всевозможные упорядоченные множества, которые могут быть составлены
из этих элементов, называются перестановками из n элементов.
Пример
Из элементов {1, 2, 3} можно составить 6 перестановок:
{1, 2, 3} , {1, 3, 2} , {2, 1, 3} , {2, 3, 1} , {3, 1, 2} , {3, 2, 1} .
Теорема
Общее число перестановок Pn из n элементов вычисляется по формуле:
Pn = n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n .
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
Сколькими способами можно расположить на полке четыре различных
книги?
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
Сколькими способами можно расположить на полке четыре различных
книги?
Решение. Количество способов равно числу перестановок из четырех
элементов:
P4 = 4! = 24 .
Элементы комбинаторики
Размещения
Определение
Размещением из n элементов по k элементов называется любое
упорядоченное множество, состоящее из k элементов, выбранных из
данных n.
Элементы комбинаторики
Размещения
Определение
Размещением из n элементов по k элементов называется любое
упорядоченное множество, состоящее из k элементов, выбранных из
данных n.
Теорема
Число размещений Akn из n элементов по k элементов вычисляется по
формуле:
Akn = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) =
n!
.
(n − k)!
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
В сборной команде 10 спортсменов. Сколькими способами можно
отобрать и расставить по этапам 4 человек для эстафеты?
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
В сборной команде 10 спортсменов. Сколькими способами можно
отобрать и расставить по этапам 4 человек для эстафеты?
Решение. Из 10 спортсменов выбирают 4, причем комбинации необходимо
различать по порядку (расстановка по этапам). Таким образом речь идет
о размещениях из 10 по 4:
A410 =
10!
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10
=
= 7 · 8 · 9 · 10 = 5040 .
(10 − 4)!
1·2·3·4·5·6
Элементы комбинаторики
Сочетания
Определение
Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое множество
(без учета порядка), состоящее из k элементов, выбранных из данных n.
Элементы комбинаторики
Сочетания
Определение
Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое множество
(без учета порядка), состоящее из k элементов, выбранных из данных n.
Теорема
Число сочетаний Cnk из n элементов по k элементов вычисляется по
формуле:
n!
Cnk =
.
k!(n − k)!
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
Из 10 спортсменов нужно отобрать 4 для поездки на соревнования.
Сколькими способами это можно сделать?
Элементы комбинаторики
Пример
Пример
Из 10 спортсменов нужно отобрать 4 для поездки на соревнования.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Понятно, что сейчас порядок не учитывается. Поэтому число
способов
7 · 8 · 9 · 10
10!
4
C10
=
=
= 210 .
4!6!
1·2·3·4
Элементы комбинаторики
Правила комбинаторики
Правило умножения
Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое
действие может быть выполнено n1 способами, второе — n2 способами,
. . ., k-ое — nk способами. Тогда общее число способов выполнения всех
этих действий равно
n = n1 · n2 · . . . · nk .
Элементы комбинаторики
Правила комбинаторики
Правило умножения
Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое
действие может быть выполнено n1 способами, второе — n2 способами,
. . ., k-ое — nk способами. Тогда общее число способов выполнения всех
этих действий равно
n = n1 · n2 · . . . · nk .
Правило суммы
Если требуется выполнить одно из k действий, причем первое действие
может быть выполнено n1 способами, второе — n2 способами, . . ., k-ое —
nk способами, то общее число способов совершения действия равно
n = n1 + n2 + . . . + nk .
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
На полке стоит 6 книг и 10 журналов. Сколькими способами можно взять
а) одну книгу и один журнал;
б) книгу или журнал?
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
На полке стоит 6 книг и 10 журналов. Сколькими способами можно взять
а) одну книгу и один журнал;
б) книгу или журнал?
Решение. Действия:
взять книгу — число способов n1 = 6;
взять журнал — число способов n2 = 10.
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
На полке стоит 6 книг и 10 журналов. Сколькими способами можно взять
а) одну книгу и один журнал;
б) книгу или журнал?
Решение. Действия:
взять книгу — число способов n1 = 6;
взять журнал — число способов n2 = 10.
а) Т. к. мы берем и книгу, и журнал, то по правилу умножения общее
число способов
n = 6 · 10 = 60 .
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
На полке стоит 6 книг и 10 журналов. Сколькими способами можно взять
а) одну книгу и один журнал;
б) книгу или журнал?
Решение. Действия:
взять книгу — число способов n1 = 6;
взять журнал — число способов n2 = 10.
а) Т. к. мы берем и книгу, и журнал, то по правилу умножения общее
число способов
n = 6 · 10 = 60 .
б) Т. к. мы берем что-то одно: книгу или журнал, то в соответствии с
правилом суммы
n = 6 + 10 = 16 .
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Решение. Первое действие — выбор одного вратаря из двух возможных,
n1 = 2 .
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Решение. Первое действие — выбор одного вратаря из двух возможных,
n1 = 2 .
Второе действие — выбор двух защитников из 7, причем порядок выбора
значения не имеет,
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Решение. Первое действие — выбор одного вратаря из двух возможных,
n1 = 2 .
Второе действие — выбор двух защитников из 7, причем порядок выбора
значения не имеет,
n2 = C72 =
7!
6·7
=
= 21 .
2!5!
2
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Решение. Первое действие — выбор одного вратаря из двух возможных,
n1 = 2 .
Второе действие — выбор двух защитников из 7, причем порядок выбора
значения не имеет,
7!
6·7
=
= 21 .
2!5!
2
Третье действие — выбор трех нападающих из 10,
n2 = C72 =
3
n3 = C10
=
10!
8 · 9 · 10
=
= 120 .
3!7!
2·3
Элементы комбинаторики
Примеры
Пример
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Решение. Первое действие — выбор одного вратаря из двух возможных,
n1 = 2 .
Второе действие — выбор двух защитников из 7, причем порядок выбора
значения не имеет,
7!
6·7
=
= 21 .
2!5!
2
Третье действие — выбор трех нападающих из 10,
n2 = C72 =
3
n3 = C10
=
10!
8 · 9 · 10
=
= 120 .
3!7!
2·3
По правилу умножения общее число способов тогда равно
n = 2 · 21 · 120 = 5040 .
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Что такое перестановка из n элементов? Чему равно общее число
перестановок из n элементов?
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Что такое перестановка из n элементов? Чему равно общее число
перестановок из n элементов?
3. Что такое размещение из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число размещений из n элементов по k элементов?
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Что такое перестановка из n элементов? Чему равно общее число
перестановок из n элементов?
3. Что такое размещение из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число размещений из n элементов по k элементов?
4. Что такое сочетание из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число сочетаний из n элементов по k элементов?
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Что такое перестановка из n элементов? Чему равно общее число
перестановок из n элементов?
3. Что такое размещение из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число размещений из n элементов по k элементов?
4. Что такое сочетание из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число сочетаний из n элементов по k элементов?
5. Сформулируйте правило умножения.
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Что такое перестановка из n элементов? Чему равно общее число
перестановок из n элементов?
3. Что такое размещение из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число размещений из n элементов по k элементов?
4. Что такое сочетание из n элементов по k элементов? Чему равно
общее число сочетаний из n элементов по k элементов?
5. Сформулируйте правило умножения.
6. Сформулируйте правило суммы.
Элементы комбинаторики
Литература
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.: Логос, 2006.
2. Дорофеева А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений
(учебник для бакалавров, 3-е издание). М.: Юрайт, 2012.
3. Пилиди В.С. Курс математики для гуманитариев. М.: Вузовская
книга, 2006.
Элементы комбинаторики